2022年高二数学单元专题：理科数列 .pdf
福建省基地校单元专题：理科数列（仙游金石中学）一、选择填空1已知对任意nN都有()nan n恒成立，且数列na是递增数列，则实数的取值范围是 () A(72， ) B(3， )C(， 3) D2， ) 【答案】B. 【解析】 .na是递增数列， 1nnaa，即22(1)(1)nnnn， 2n1 对于nN恒成立 3，故选 B. 2111141,33nnnnnnabababba已知数列和满足且+2=3,+2=4, 则( )222 -12 -1nnnnnnnnabababab(A)是递增数列，是递减数列(B)是递减数列，是递增数列(C)是递增数列，是递减数列(D)是递减数列，是递减数列【答案】D 111111=41,=1133nnnnnnnnnnnnnnabbaababababababD解+2=3+2=42(）-1又与的单调性一样，故选3. 设数列na的前n项积为nT，且nnaT1，则满足不等式2222121nTTTk的最小整数k为( ) 1.A2.B3.C4.D【答案】B 【解析】111nnaT，nnnnnaaTTa11111，整理得111111nnaa，且211,2111aa，11,1, 111nTnnanannn，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 11111113121211) 1(1321211)1(1312122222221nnnnnnTTTn2, 121kk. 4. 已知nS是数列na的前n项和，11a，22a，33a，数列12nnnaaa是公差为2的等差数列，则25S( ) A232B233C234D235【答案】B 试题分析：由题前25 项的和可以看做第1 项加上以第2,3,4 项为首项，三个公差为2 的等差数列的前8 项之和 . 由题可得43a，所以2348aaa，258 7878712823823 82233222S，故选 B. 考点：等差数列的性质5.已知等差数列na的公差(0,1)d，且223737sinsin1sin()aaaa，当10n时，数列na的前n项和nS取得最小值，则首项1a的取值范围是 ( ) A.59(,)816B.59,816C.59(,)48D.59,48【答案】D 试题分析：利用三角函数的降幂公式将条件223737sinsin1sin()aaaa转化为7337222cos acos asin aa（）再利用和差化积公式转化，求得731sin aa（），从而可求得等差数列na的公差8d，根据101100aa即可求得首项1a的取值范围na为等差数列，223737sinsin1sin()aaaa，377337372222112212cos acos acos acos asin aasin aa，（），名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 737337377312201sin aasin aasin aasin aasin aa（）（）（）（），（），（），420 404228dkkdd（ ，），10n时，数列na的前n项和nS取得最小值，110111190080159,48800aaaaa，故选 D 6. 已知数列na满足21,nnnaaa nN,12,aa ab其前n项和为nS,则2016S_. 【答案】0. 【解析】由递推公式21,nnnaaa nN可得数列的前几项为:, , , ,a b baab ab a b由此可得数列是周期为6的周期数列 . 又因为0abbaabab,且20166336, 所以20160.S7. 设nS为数列na的前n项和，)()1(21*NnaSnnnn，则数列nS的前 9 项和为 _. 【答案】1024341【解析】当)(2*Nkkn时，kkkaS22221，kkS21221，当)(12*Nkkn时，12121221kkkaS，kkkka212212212121，)2(0121222kaSSkkk，1024341)212121(1042931921SSSSSS. 二、解答题1. 已知na是各项均为正数的等比数列，nb是等差数列，332112, 1abbba，7325ba. (I) 求na和nb的通项公式；(II) 设*,Nnabcnnn，求证：621nccc. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 解析： (I) 设数列na公比为)0(qq，数列nb公差为d，依题有7)1(3)21(242dqdqq，解得22dq，12,21nbannn；(II) 1212nnnc，记nncccS21，则62326212211211121222222222121,2122725232121212272523111132432132nnnnnnnnnnnnSnnSnSnS两式相减得证毕 . 2. 数列na的前n项和为nS，111,11,nnaaSnN且123,2,3aaa成等差数列 . (I) 求na；(II) 设41121log,nnnnnnbaCbbb，求证：122nCCC. 解： (I)11112,nnnnaSaSnnN1nnnaaa即11nnaa因为123,2,3aa a成等差数列，所以21114113aaa111122nnaaan又因为121 ,2aa也满足上式，故12nna. （II ）证明414loglog 22nnnnba181141212112222nCn nnnnnnnnn121142212nCCCnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 3. 设正项数列na的前n项和为nS，nnnaSa1,成等差数列 . (I) 证明2nS是等差数列，并求na的通项公式；(II) 证明12111)11(221nSSSnn. 解法一： (I) nnnaaS12，当1n时，11112aaa，0na，1na；当2n时，1nnnSSa，1112nnnnnSSSSS，整理得1212nnSS，2nS是等差数列，nSn2，nSn，1,21nnSSannnn时当，11a因为也满足上式，1nnan. (II) 证明：12) 1(21)12312(21)11321211(21223222221131211111121nnnnnnnnSSSn)11(2)1342312(2)11431321211(2223222221131211111121nnnnnnnSSSn故不等式获证. 4. 在单调递增数列na中，11a，22a，且12212,nnnaaa成等差数列，22122,nnnaaa成等比数列 . (I) 求数列na的通项公式；(II) 设数列1na的前n项和为nS，证明：24nnSn. 解析： (I) 12212,nnnaaa成等差数列，121222nnnaaa，22122,nnnaaa成等比数列，222212nnnaaa，)2(222212naaannn22222222nnnnnaaaaa，0na，)2(222222naaannn，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 即2na是等差数列，由3122aaa得33a，由4223aaa得294a，2224aad，) 1(22)1(2222nnan，2)1(22nan2)1(2) 1(22212nnnnan，为偶数为奇数nnnnnan,8)2(,8)3)(1(2. (II) 依题为偶数为奇数nnnnnan,)2(8,)3)(1(812，下面用数学归纳法证明24nnSn当1n时，2144281S，不等式成立；假设当kn时，不等式也成立，即24kkSk；则当1kn时，若k为奇数，则211)3(824kkkaSSkkk而要证明3) 1(4)3(8242kkkkk，只需)3)(2(13121)3(12kkkkk成立，只需23kk成立，这是显然的，故3) 1(41kkSk；若k为偶数，则)4)(2(82411kkkkaSSkkk而要证明3)1(4)4)(2(824kkkkkk，只需)3)(2(13121)4)(2(1kkkkkk成立，只需34kk成立，这是显然的，故3) 1(41kkSk；综上所述3) 1(41kkSk；由数学归纳法原理知24nnSn成立. 5. 数列na满足121nnnnaaa，当31a时，求证：(I) 2nan；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - (II) 2111111121naaa. 证明： (I)以下用数学归纳法证明2nan. 当1n时，211a成立；假设当kn时，结论也成立，即2kak，则当1kn时有2)1(42121)(121kkakaakaaakkkkkk，故知结论成立. (II) 解法一：121)(121nnnnnnanaanaaa，) 1(211nnaa)1(121111nnaa下面用数学归纳法结论数学归纳法当1n时，2141111a成立；假设当kn时，结论也成立，即2111111121kaaa，则当1kn时有121111111kaaa)111111(2111211kaaaa21212141，由数学归纳法原理知结论成立. 解法二：121)(121nnnnnnanaanaaa，) 1(211nnaa)1(121111nnaa21211)21(1 (41)21(41)21(412141411111111221nnnaaa. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -
