2022年高等数学B复习资料 2.pdf

学习资料收集于网络，仅供参考学习资料华南理工大学网络教育学院高等数学（上）辅导一、 求函数值例题：1、若2( )f xx ，( )xxe ，则( ( )fx解：22( ( )()xxxfxf eee2、若(1)21f xx，则( )fx解：令1xt ，则1xt所以( )2(1) 123f ttt即( )23fxx二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小：0 sin tan arcsin arctanxxxxxx时, ln(1) xxxe -1211cos,2xx1112xx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题：1、320sin 3limxxx？解：当0 sin3 3xxx，原式=3200(3 )limlim270 xxxxx2、0sin3limxxx？解：原式 =03lim3xxx3、201-coslimxxx？解：当210cos2xxx，1-原式=220112lim2xxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料4、0ln(13 )limxxx？解：当03 ) 3xxx，ln(1+原式=.03lim3xxx. 5、201limxxex？解：当201 2xxex，原式=.02lim2xxx. 三、 多项式之比的极限2lim03xxxx，2211lim33xxxx，23limxxxx四、 导数的几何意义（填空题）0()fx：表示曲线( )yf x 在点00(,()M xf x处的 切线斜率曲线 .( )yf x . 在点00(,()M xf x处的切线方程 为：000()()()yf xfxxx曲线( )yf x 在点00(,()M xf x处的法线方程 为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料0001()()()yf xxxfx例题：1、曲线44xyx在点(2,3)M的切线的斜率解：222(4)(4)(4)(4)(4)xxxxxxyx2282(4)xx2、曲线cosxxye在点(0,1)M处的切线方程解：200(cos )cos ()()xxxxxx ex eye20sincos1()xxxxxexee所以曲线cosxxye在点(0,1)M处的切线方程为：1(0)yx，即10 xy3、曲线231yx在点(1,1)M处的切线方程解：53112233xxyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料所以曲线231yx在点(1,1)M处的切线方程为：21(1)3yx，即 2350 xy五、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分复合函数求导的链式法则：ddd( ),( )( ):dddyyuyf u ug xyf g xxux( )( )( ).y xfug x或微分：( )dyfx dx例题：1、设21yx，则y？解：1222211121xyxxx2、设2sinyx ，则y？解：222cos2 cosyxxxx3、设sin2xy，则dy？解：sinsin2ln 2sin2cos ln 2xxyxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料则dysin2cos ln 2xxdx4、设sinxye ，则dy？解：coscosxxxxyeeee所以cosxxdyee dx5、设2xye，则dy？（答案：22xxedx）六、 运用导数判定单调性、求极值例题：1、求lnyxx的单调区间和极值解：定义域(0,)x令ln10yx，求出驻点1xex1(0,)e1e1(,)ey- 0 + y单调减极小值点单调增函数的单调递减区间为1(0,e，单调递增区间为1(,)e极小值为11( )yee名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2、求xyxe的单调区间和极值解：定义域(,)x令(1)0 xxxyexex e，求出驻点1xx(,1)1 (1,)y+ 0 - y单调增极大值点单调减函数的单调递减区间为1,)，单调递增区间为 (,1)，极大值为1(1)ye 3、求函数 .2( )xf xe. 的单调区间和极值解： 定义域(,)x令2( )2xfxxe，得0 xx(,0)0 (0,)y+ 0 - y单调增极大值点单调减单调递增区间： (,0) ，单调递减区间：(0,) ，极大值为(0)1f4、求函数31( )3f xxx的极值 答案：极小值为2(1)3y，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料极大值为2( 1)3y七、 隐函数求导例题：1、 求由方程2sin0 xeyxy所确定的隐函数( )yy x 的导数dydx解：方程两边关于x求导，得：2cos(2)0 xey yyxy y即2cos2xyeyyxy2、求由方程cos()yxy所确定的隐函数( )yy x 的导数dydx解：方程两边同时关于x 求导，得：sin()(1)yxyy即sin()1sin()xyyxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料3、求由方程sin()yxy所确定的隐函数( )yy x 的导数dydx 答案：cos()1cos()dyxydxxy4、求由方程lnln0 xyxy所确定的隐函数( )yy x 的导数dydx 答案：dyydxx八、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理例题：1、求极限011lim1sinxxex解：原式0sin(1)lim(1)sinxxxxeex20sin(1)limxxxex.0sin,1xxxx ex 当时，. 0coslim2xxxex0sinlim2xxxe12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2、求极限30sinlimtanxxxx00解：原式 =30sinlimxxxx0tanxxx 当时，201coslim3xxx=22012lim3xxx2101cos2xxx 当时，163、求201limxxexx00（答案：12）九、 原函数、不定积分的概念及其性质知识点：设( )( )Fxf x ， 则 称( )F x 是( )f x 的一 个 原函 数 ，( )F xC是( )f x 的全体原函数，且有：( )( )f x dxF xC例题：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料1、( )是函数33xx的原函数A233xB421342xxC42xxD421142xx解：因为42313342xxxx所以421342xx 是33xx的原函数2、( )是函数2cosxx 的原函数A22sin xB22sin xC21sin2xD21sin2x解：因为22211sin(cos) 2cos22xxxxx所以21sin2x 是2cosxx 的原函数3、x是( )的原函数A12xB12xCln xD3x解：因为12xx所以x 是12 x的原函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料4、( )是函数1x的原函数A21xB21xCln xDln |x解：因为1ln |xx所以ln |x是1x的原函数十、 凑微分法求不定积分（或定积分）简单凑微分问题：2xe dx， sin4xdx， cos5xdx,lnlnxdx一 般 的 凑 微 分 问 题 ：21xdxx，223xx dx ，sin1cosxdxx，ln xdxx例题：1、21xdxx解：注意到2(1)2xx原式 =2211121dxx12dxxCx参考公式1221xC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2、223xx dx解：注意到2(23)6xx原式221=23(23)6x dx3223xdxxC参考公式=231(2-3)9xC3、sin1cosxdxx解：注意到 (1 cos )sinxx原式1=(1 cos )1cosdxx1ln |dxxCx参考公式=ln |1cosx | C4、5 xedx解：原式 =5(5)xedxxxe dxeC参考公式=5 xeC5、cos5xdx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料解：原式1cos5(5 )5xdxcossinxdxxC参考公式1sin55xC6、sin3xdx解：原式1sin3(3 )3xdxsincosxdxxC参考公式1cos33xC十一、不定积分的第二类换元法去根号（或定积分）知识点：利用换元直接去掉根号：1xe，1xe，x ，1x ，1x 等例题：1、求不定积分11xdxe解：令1xet ，则221ln(1)xetxt221tdxdtt原式=22121211tdtdtt tt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料1111dtdtttln |1|ln |1|ttCln |11|ln |11|xxeeC2、4011+dxx解：令xt ，则22xtdxtdt当0042xtxt时，；当时，原式=220011 1221+t1+tttdtdt220012()1+tdtdt202(2ln |1| )t2(2ln3)3、101xxdx解：令1xt ，则21xt，2dxtdt当0 x时，1t；当1x时，2t原积分221(1)2tttdt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料24212()ttdt253111253tt4(21)15十二、不定积分的分部积分法（或定积分）诸 如sinxxdx ，cosxxdx ，xxe dx ，xxe dx ，lnxxdx，可采用分部积分法分部积分公式：( )( )( ) ( )( )( )u x dv xu x v xv x du x例题：1、求不定积分sinxxdx解sin(cos )xxdxxdxcos( cos )xxx dxcoscosxxxdxcossinxxxC2、求不定积分xxe dx解xxxe dxxde名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料xxxee dxxxxeeC3、求不定积分lnxxdx解21lnln()2xxdxxdx2211lnln22xxx dx211ln22xxxdx2211ln24xxxC十三、定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等例题：1、定积分23axax e dx等于解： 因为23xx e 是x的奇函数，所以原式=0 2、定积分23sinaaxxdx等于解： 因为23sinxx是x的奇函数，所以原式=0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料3、定积分22sin1xxdxx等于解： 因为22sin1xxx是x的奇函数，所以原式=0 十四、十五、变上限积分函数求导43()( ),()xaF xf t dtFx则_解33()() ()Fxf xx233()x f x()C变上限积分函数的导数公式()( )()()xaf t dtfxx例题：1、 设函数( )f x在 , a b上连续，3( )( )xaF xf t dt，则( )Fx（ C ） A( )f xB3()f xC 233()x f xD23( )x f x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2、设21( )arctanxf xtdt ，则( )fx22 arctanxx 3、设30( )sinxf xt dt，则( )fx3sin x 十六、凑微分法求定积分（或不定积分）思想与不定积分类似例题：1、12301xxdx解：注意到32(1)3xx原式133011 (1)3xd x3223xdxxC参考公式=13302(1)9x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2(2 21)9十七、定积分的第二类换元法去根号（或不定积分，思想与不定积分类似例题：1、4011+dxx解：令xt ，则22xtdxtdt当0042xtxt时，；当时，原式=220011 1221+t1+tttdtdt220012()1+tdtdt202(2ln |1| )t2(2ln3)2、101xxdx解：令1xt ，则21xt，2dxtdt当0 x时，1t；当1x时，2t原积分221(1)2tttdt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料24212()ttdt253111253tt4(21)15十八、定积分的分部积分法（或不定积分）思想与不定积分类似例题：1、求定积分20sinxxdx解2200sin(cos )xxdxxdx2200cos( cos )xxx dx20cosxdx20sin1x2、求定积分10 xxe dx解1100 xxxe dxxde1100 xxxee dx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料110(0)xee121e十九、求平面图形面积知识点： X型积分区域的面积求法 Y型积分区域的面积求法通过作辅助线将已知区域化为若干个X 型或 Y 型积分区域的面积求法例题：1、求由lnyx、0 x，ln 2y及ln 7y所围成的封闭图形的面积解：由lnyx得yxe面积为ln 7ln 2(0)ySedy7ln2lmye52、计算由曲线yx 与直线1y及0 x所围成的图形的面名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料积解：由1yxy得交点 A为 (1,1)面积为10(1)Sx dx132023xx133、求由曲线1yx与直线 yx及2x所围成的平面图形的面积解：由2yxx得交点 A为 (2,2)由1yxyx得交点 B为 (1,1)面积为211()Sxdxx2211ln |2xx3ln 22名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 23 页 - - - - - - - - -