2022年高考数学总复习教案平面向量的数量积及平面向量的应用举例 .pdf

第四章平面向量与复数第3 课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例(对应学生用书(文)、(理)6567页)考情分析考点新知理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题. 1. (必修 4P77 练习第 2(1)题改编 )已知向量a 和向量 b 的夹角为135， |a| 2，|b| 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a2 b_答案： 32 解析： a2 b |a| 2 |b|cos135 23 3322 32. 2. (必修 4P80 练习第 3 题改编 )已知向量a、b 满足 |a| 1，|b| 4，且 a2 b2，则 a 与 b 的夹角为 _答案：3解析：cosa，ba2 b|a|b|12，a，b3. 3. (必修 4P81 习题 2.4 第 2 题改编 )已知向量a，b 满足 |a| 1，|b| 2，a 与 b 的夹角为60，则 |a b| _答案：3 解析： |a b| （ab）2a2b22a2 b122223 13 2cos603. 4. (必修 4P81 习题 2.4 第 3(1)题改编 )已知两个单位向量e1、e2 的夹角为3，若向量b1e12e2，b23e14e2，则 b12 b2_答案： 6 解析： b1 e12e2，b23e14e2，则b12 b2(e12e2)2 (3e14e2)3e2 12e12 e28e2 2.因为 e1， e2 为单位向量， e1，e23，所以 b12 b2323128318 6. 5. (必修 4P84 习题 4 改编)若平面四边形ABCD满足 ABCD0，(ABAD)2 AC0，则该四边形一定是 _答案：菱形解析：四边形ABCD 满足 ABCD0 知其为平行四边形，(ABAD)2 AC0 即DB2 AC0 知该平行四边形的对角线互相垂直，从而该四边形一定是菱形1. 向量数量积的定义(1) 向量 a 与 b 的夹角名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - (2) 已知两个非零向量a 和 b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积 )，记作 a2 b，并规定零向量与任一向量的数量积为0. 2. 向量数量积的性质设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量， 是 a 与 b 的夹角，则(1) e2 aa2 e. (2) ab a2 b0(3) 当 a 与 b 同向时， a2 b|a|b|；当 a 与 b 反向时， a2 b |a|b|；特殊的， a2 a|a|2 或|a| a2 a. (4) cosa2 b|a|b|. (5) |a 2 b| |a| 2 |b|. 3. 向量数量积的运算律(1) 交换律： a2 bb2 a. (2) 分配律： (ab)2 ca2 cb2 c. (3) 数乘结合律： (a)2 b(a2 b)a2 (b)4. 平面向量数量积的坐标表示(1) 若非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a2 bx1x2y1y2.故 abx1x2y1y20. (2) 设 a(x，y)，则|a| x2y2(3) 若 向 量a (x1 ， y1) 与 向 量b (x2 ， y2) 的 夹 角 为 ， 则 有cos a2 b|a|b|x1x2y1y2x2 1y2 12x2 2y2 2. 备课札记 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 题型 1向量平行与垂直的充分条件例 1已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR. (1) 若 ab，求 x 的值；(2) 若 ab，求 |a b| 的值解： (1) 若 ab，则 a2 b(1，x)2 (2x3，x)13 (2x3)x(x)0，整理得 x22x30，解得 x 1 或 x3. (2) 若 ab，则有 13 (x)x(2x3)0，即 x(2x4)0，解得 x0 或 x2. 当 x0 时， a(1，0)，b(3，0)，ab(2，0)，|a b| （ 2）2022；当 x2 时， a(1，2)，b(1，2)，ab(2， 4)，|a b| 22（ 4）225. 综上，可知 |a b| 2 或 25. 变式训练已知向量a(1，2)，b(2，m)，xa(t21)b，y ka1tb，mR，k、t 为正实数(1) 若 ab，求 m 的值；(2) 若 ab，求 m 的值；(3) 当 m1 时，若 xy，求 k 的最小值解： (1) 因为 ab，所以 12 m22 ( 2)0，解得 m 4. (2) 因为 ab，所以 a2 b0，所以 12 ( 2)2m0，解得 m1. (3) 当 m1 时，a2 b0. 因为 xy，所以 x2 y0. 则 x2 y ka21tk（t21） a2 b(t1t)b20. 因为 t0，所以 kt1t2，当 t1 时取等号，即 k 的最小值为2. 题型 2向量的夹角与向量的模例 2已知 |a| 4，|b| 3，(2a3b)2 (2ab)61. (1) 求 a 与 b 的夹角 ；(2) 求|a b| ；(3) 若ABa，BCb，求 ABC的面积解： (1) (2a3b)2 (2ab)61，4|a|2 4a2 b3|b|2 61. 又|a| 4，|b| 3，644a2 b2761，a2 b 6. cosa2 b|a|b|643 312. 又 0，23. (2) 可先平方转化为向量的数量积|a b|2 (ab)2|a|2 2a2 b|b|2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 4223 (6)3213，|a b| 13. (3) AB与BC的夹角 23，ABC233. 又|AB| |a| 4，|BC| |b| 3，SABC12|AB|BC|sin ABC123 43 333233. 备选变式（教师专享）已知非零向量a、b、c 满足 abc0 ，向量 a、b 的夹角为 120，且 |b| 2|a| ，则向量a 与 c 的夹角为 _答案： 90解析：由题意，得c ab， a2 c a2a2 b |a|2 |a|b|cos120 |a|2 12|a|b| |a|2 12|a| 2 2|a| |a|2 |a|2 0，所以 ac，即 a 与 c 的夹角为90. 题型 3平面向量与三角函数的交汇例 3在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (2ac)2 BC2 BAcCA2 CB0. (1) 求角 B 的大小；(2) 若 b23，试求 AB2 CB的最小值解： (1) 因为 (2ac)BC2 BAcCA2 CB0，所以 (2ac)accosBabccosC0，即(2ac)cosBbcosC 0，所以 (2sinAsinC)cosBsinBcosC 0，即 2sinAcosBsin(BC)0. 因为 sin(BC)sinA0，所以 cosB12，所以 B23. (2) 因为 b2 a2c22accos23，所以 12a2c2ac3ac，即 ac4，所以 AB2 CBaccos2312ac 2，当且仅当ac2 时等号成立，所以 AB2 CB的最小值为 2. 备选变式（教师专享）(20132山东卷)设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 ac6，b2，cosB79. (1) 求 a，c的值；(2) 求 sin(A B)的值解： (1) 由余弦定理b2a2c22accosB，得 b2(ac)22ac(1cosB)，又 ac6，b2，cosB79，所以 ac9，解得 a3，c3. (2) 在ABC中， sinB1cos2B429， 由正弦定理得sinAasinBb223，因为ac，所以 A 为锐角，所以cosA1sin2A13，因此 sin(AB)sinAcosBcosAsinB10227. 例4(20132泰州市期末)已知向量a (cos ，cos(10 ) ，b (sin(10) ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - sin)，、R. (1) 求|a|2 |b|2的值；(2) 若 ab，求 ；(3) 若 20，求证： ab. (1) 解：|a| cos2cos2（10），|b| sin2（ 10）sin2，|a|2 |b|2 2. (2) 解：ab，cos2 sin(10)cos(10)2 sin0，sin(10 )0，sin100，10k，kZ，k10，kZ. (3) 证明：20，cos 2 sincos(10)2 sin(10) cos202 sin20cos2202 sin220cos202 sin20sin202 cos200，ab. 备选变式（教师专享）(20132陕西卷)已知向量a cosx，12，b(3sinx，cos2x)，xR, 设函数 f(x)a2 b. (1) 求 f (x)的最小正周期 . (2) 求 f (x) 在0，2上的最大值和最小值解： (1) f(x)a2 bcosx23sinx12cos2x32sin2x12cos2xsin 2x6.最小正周期T22. 所以 f(x)sin2x6，最小正周期为. (2) 当 x 0，2时， 2x6 6，56，由标准函数ysinx 在 6，56上的图象知，f(x)sin 2x6f6，f2 12，1 . 所以， f (x) 在0，2上的最大值和最小值分别为1，12. 探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14 分) 设两个向量e1、e2 满足 |e1| 2，|e2| 1，e1、e2 的夹角为60，若向量2te17e2 与向量 e1te2 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围学生错解：解： e12 e2|e1| 2 |e2| 2 cos60 23 13121， (2te17e2)2 (e1te2) 2te2 17te2 2(2t27)e12 e2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 8t7t2t272t215t7. 因为向量2te17e2 与向量 e1te2 的夹角为钝角，所以(2te17e2)2 (e1te2)0，即 2t215t 70，解得 7t12. 审题引导：当(2te17e2)2 (e1te2)0 时，其夹角一定为钝角吗？规范解答：解： e12 e2|e1| 2 |e2| 2 cos60 23 13121，(2 分) (2te17e2)2 (e1te2) 2te2 17te2 2(2t27)e12 e2 8t7t2t272t215t7.(4 分) 因为向量2te17e2 与向量 e1te2 的夹角为钝角，所以(2te17e2)2 (e1te2)0，即 2t215t 70，解得 7t12.(9 分) 当向量 2te17e2 与向量 e1te2 反向时，设 2te17e2(e1te2)，0，则2t，t72t27t142或 t142(舍 )(12 分) 故 t 的取值范围为7，142 142，12.(14 分) 错因分析：向量 2te17e2 与向量 e1te2 的夹角为钝角，可得(2te17e2)2 (e1te2)0，但由 (2te1 7e2)2 (e1te2)0 ，并不能推出向量2te17e2 与向量e1te2 的夹角为钝角如t142时， (2te17e2)2 (e1te2)0，向量2te17e2 与向量e1te2 的夹角为，所以 (2te17e2)2 (e1te2)0 仅是向量2te17e2 与向量e1te2 的夹角为钝角的必要条件，而不是充分条件探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件1. (20132南通三模)在平面四边形ABCD中，点 E，F分别是边AD，BC 的中点，且AB1，EF2，CD3.若AD2 BC15，则AC2 BD_答案： 13 解析： 2EFABDC，平方并整理得AB2 DC2，即 AB2 (ACAD)AB2 ACAB2 AD2，由 AD2 BC15，得AD2 (ACAB)AD2 ACAD2 AB15，得 AC2 BDAC2 (ADAB)13. 2. (20132山东 )已知向量 AB与AC的夹角为 120，且 |AB| 3，|AC| 2.若APABAC，且APBC，则实数 _答案：712解析：APBC，AP2 BC(ABAC)2 (ACAB) AB2AC2(1)AC2 AB0，即 3 94(1)3 33 23120，解之得 712. 3. 如图，在矩形ABCD中， AB2，BC2，点 E为 BC的中点，点F在边 CD上若 AB2 AF2，则 AE2 BF_名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 答案：2 解析： (解法 1)由AB2 AF2，得|AB| 2 |AF| 2 cosFAB 2. 由矩形的性质，得|AF| 2 cosFAB DF. AB2，22 DF2，DF1. CF 21. 记AE和BF之间的夹角为， AEB ， FBC，则 . 又BC 2，点 E为 BC的中点，BE1. AE2 BF|AE| 2 |BF| 2 cos|AE| 2 |BF| 2 cos() |AE| 2 |BF| 2 (coscossinsin) |AE|cos2 |BF| 2 cos|AE|sin 2 |BF|sin BE 2 BC AB2 CF13 22(21)2. (解法2)以 A 为坐标原点、 AB 为 x 轴建立直角坐标系，则B( 2，0)，D(0，2)，C( 2，2)，E(2，1)，可设 F(x，2)由AB2 AF2，计算可得x1，AE2 BF(2，1)2 (12，2)2. 4. 设点O 是 ABC 的三边中垂线的交点，且AC22ACAB20，则 BC2 AO的范围是_答案：14， 2解析： BC2 AOBC2 (ADDO)BC2 ADBC2 DOBC2 AD12(ACAB)2 (ABAC)12(AC2AB2)AC22ACAB20，即 AB22ACAC2，BC2 AO12AC212(2ACAC2)AC2ACAC12214. AB20，2ACAC20，0AC2，BC2 AO 14，2 . 1. 已知 a(3，4)，b(4，3)，求 x、y 的值使 (xayb)a，且 |xa yb| 1. 解：由 a(3，4)，b(4，3)，有 xayb(3x4y，4x3y)(xayb)a(xayb)2 a03(3x4y)4(4x3y)0，即 25x24y0.又|xayb| 1|xa yb|2 1，有(3x4y)2 (4x3y)21，整理得 25x248xy25y21，即 x(25x24y)24xy25y21，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 由有24xy25y21，将变形代入可得y57，再代回得x2435，y57和x2435，y57.2. 已知平面上三个向量a、b、c 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为120. (1) 求证： (ab)c；(2) 若|ka bc| 1(kR)，求 k 的取值范围(1) 证明： (ab)2 ca2 cb2 c |a|c|cos120 |b|c|cos120 0，(ab)c. (2) 解：|ka bc|1|ka bc|21k2a2b2c22ka2 b2ka2 c2b2 c1. |a| |b| |c| 1，且 a、b、c 夹角均为 120，a2b2c21，a2 bb2 ca2 c12. k22k0，即 k2 或 k0. 3. 设两向量e1、e2 满足|e1| 2，|e2| 1，e1、e2 的夹角为60，若向量2te17e2 与向量 e1te2 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围解：由已知得e2 14，e2 21，e12 e223 13 cos601. (2te17e2)2 (e1te2)2te2 1(2t27)e12 e27te2 22t215t 7.欲使夹角为钝角，需2t215t70，得 7t12. 设 2te17e2(e1te2)(0)，2t，7t. 2t27， t142，此时 14. 即 t142时，向量 2te17e2 与 e1te2 的夹角为 . 夹角为钝角时，t 的取值范围是7，142142，12. 4. (20132辽宁卷)设向量 a(3sinx，sinx)，b(cosx，sinx)，x 0，2. (1) 若|a| |b|. 求 x 的值；(2) 设函数 f(x)a2 b，求 f(x)的最大值解： (1) 由|a|2 (3sinx)2(sinx)24sin2x. |b|2 (cosx)2(sinx)21. 由|a| |b| ，得 4sin2x1，又 x0，2，从而 sinx12，所以 x6. (2) f(x)a2 b3sinx2 cosxsin2x 32sin2x12cos2x12sin2x612，当 x30，2时， sin2x6取最大值 1，所以 f(x)的最大值为32. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 1. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a| a2 a要引起足够重视，是求距离常用的公式2. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算3. 应用向量运算将问题转化为与代数函数有关的问题，其中转化是关键4. 向量与三角的交汇是高考最常见的题型之一，其中用向量运算进行转化，化归三角函数问题或三角恒等变形等问题是常规的解题思路和基本方法请使用课时训练（A）第3课时（见活页）.备课札记 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -