2022年高考数学一轮复习教案：第九篇解析几何第讲双曲线 .pdf

第 6 讲 双曲线【20XX 年高考会这样考】1考查利用基本量求双曲线的标准方程，考查双曲线的定义、几何图形2考查求双曲线的几何性质及其应用【复习指导】本讲复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质、近几年高考多以选择题填空题进行考查基础梳理1双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数(小于 |F1F2|且不等于零 )的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距集合 PM|MF1| |MF2| 2a，|F1F2|2c，其中 a、c 为常数且 a0，c0；(1)当 ac 时， P 点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21 (a0，b0)y2a2x2b21 (a0， b0) 图 形性质范 围xa 或 x a，yRxR，y a 或 ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0， a)，A2(0，a) 渐近线ybax yabx离心率eca， e(1， )，其中 ca2b2实虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长 |A1A2|2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长 |B1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a、b、c 的关系c2a2b2(ca0，c b0) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 一条规律双曲线为等轴双曲线? 双曲线的离心率e2? 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系 )两种方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b 或 2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即 “先定型，再定量 ”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2y2n2 ( 0)，再根据条件求的值三个防范(1)区分双曲线中的a，b，c 大小关系与椭圆a，b，c 关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2. (2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e(0,1)(3)双曲线x2a2y2b2 1(a0，b0)的渐近线方程是ybax，y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程是yabx. 双基自测1(人教 A 版教材习题改编)双曲线x210y221的焦距为 ( )A 3 2 B42 C33 D43 解析由已知有 c2a2 b212， c2 3，故双曲线的焦距为43. 答案D 2(2011 安徽 )双曲线 2x2y28 的实轴长是 ( )A 2 B22 C4 D4 2 解析双曲线 2x2y28 的标准方程为x24y281，所以实轴长2a4. 答案C 3(2012 烟台调研 )设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程为( )A y 2xBy 2xC y22xDy12x解析由题意得 b1，c3.a2，双曲线的渐近线方程为ybax，即 y22x. 答案C 4(2011 山东 )已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2 y26x5 0 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - ( )A.x25y241 B.x24y251 C.x23y261 D.x26y231 解析圆心的坐标是 (3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ay0，根据已知得3ba2b22，即3b32，解得 b2，则 a25，故所求的双曲线方程是x25y241. 答案A 5(2012 银川质检 )设 P 是双曲线x2a2y291 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x 2y0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则 |PF2|等于 _解析由渐近线方程y32x，且 b3，得 a2，由双曲线的定义，得|PF2| |PF1|4，又 |PF1|3， |PF2|7. 答案7 考向一双曲线定义的应用【例 1】?(2011 四川 )双曲线x264y2361 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是4，那么点 P 到左准线的距离是_审题视点 利用双曲线的第一定义和第二定义解题解析由已知，双曲线中，a 8，b6，所以 c10，由于点P 到右焦点的距离为4,4ac 18，所以点P 在双曲线右支上由双曲线定义，可知点P 到左焦点的距离为28 420，设点 P 到双曲线左准线的距离为 d，再根据双曲线第二定义，有20dca108，故 d16. 答案16 由双曲线的第一定义可以判断点P 的位置关系，在利用第二定义解题时，要注意左焦点与左准线相对应，右焦点与右准线相对应【训练 1】 (2012 太原重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x24y2121 上一点 M 的横坐标为 3，则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为_解析由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点 M 的坐标为 (3，15)或(3，15)，则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为4. 答案4 考向二求双曲线的标准方程【例 2】?(2012 东莞调研 )设椭圆 C1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线 C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 C2的标准方程为 ( )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - A.x242y2321 B.x2132y2521 C.x232y2421 D.x2132y21221 审题视点 抓住 C2上动点满足的几何条件用定义法求方程解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为：F1(5,0)， F2(5,0)设曲线 C2上的一点P.则|PF1|PF2|8. 由双曲线的定义知：a4，b3. 故曲线 C2的标准方程为x242y2321. 答案A (1)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，求方程时应分类讨论，或者将方程设为mx2ny21(mn0)(2)已知双曲线的渐近线方程bx ay0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2a2y2 ( 0)根据其他条件确定 的值若求得 0，则焦点在x 轴上；若求得 0，则焦点在y 轴上【训练2】 (2012 郑州模拟 )已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程是y3x，它的一个焦点与抛物线y216x 的焦点相同则双曲线的方程为_解析双曲线的渐近线为y3x，ba3，双曲线的一个焦点与y216x 的焦点相同c4. 由可知a24，b212. 双曲线的方程为x24y2121. 答案x24y2121. 考向三双曲线的几何性质的应用【例 3】?(2011 浙江 )已知椭圆C1：x2a2y2b21(a b0)与双曲线C2：x2y241 有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B 两点若 C1恰好将线段AB 三等分，则 ( )A a2132Ba213 Cb212Db22 审题视点 取一条 C2的渐近线，将其与C1联立求得弦长 |AB|，令 |AB|23a，方可得出结论解析依题意 a2b2 5，根据对称性，不妨取一条渐近线y2x，由y2x，x2a2y2b21，解得 xab4a2b2，故被椭圆截得的弦长为2 5ab4a2b2，又 C1把 AB 三等分，所以25ab4a2b22a3，两边平方并整理得a211b2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 代入 a2b25 得 b212. 答案C 在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程；(3)渐近线的斜率与离心率的关系，如 kbac2a2ac2a21e21. 【训练 3】 (2010 辽宁 )设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A.2 B.3 C.3 12D.512解析设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，F(c,0)，B(0，b)，则 kBFbc，双曲线的渐近线方程为ybax，bcba 1，即 b2ac，c2a2ac， e2e10，解得 e1 52.又 e1， e512. 答案D 难点突破 21高考中椭圆与双曲线的离心率的求解问题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆或双曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c 的关系式 (等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用 a，c 表达，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆和双曲线的离心率问题难点的根本方法【示例 1】 ? (2010 广东 )若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 【示例 2】 ? (2011 福建 )设圆锥曲线 的两个焦点分别为F1， F2.若曲线 上存在点 P满足 |PF1|F1F2|PF2|4 32，则曲线 的离心率等于( )A.12或32B.23或 2 C.12或 2 D.23或32名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -