2022年高考数学一轮复习不等关系与不等式理北师大版 .pdf

学习好资料欢迎下载第一节不等关系与不等式【考纲下载 】1了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式 ( 组) 的实际背景3掌握不等式的性质及应用1比较两个实数大小的法则设 a，b R，则：(1)ab?ab0；(2)ab?ab0；(3)ab?ab0. 2不等式的基本性质性质性质内容注意对称性ab?bb，bc?ac ?可加性ab?acbc ?可乘性ab,c0 ?acbcc的符号ab,c0 ?acb,cd ?acbd ?同向同正可乘性ab0,cd0 ?acbd ?可乘方性ab0?anbn(nN，n1)同正可开方性ab0?nanb(nN，n2)3不等式的一些常用性质(1) 倒数性质ab，ab0?1a1b. a0b?1ab0,0cbd. 0axb或axb0?1b1xb0，m0，则：真分数的性质babmam(bm0)假分数的性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载abambm；ab0)1同向不等式相加与相乘的条件是否一致？提示：不一致同向不等式相加，对两边字母无条件限制，而同向不等式相乘必须两边字母为正，否则不一定成立2(1)ab?1ab?anbn(nN，且n1) 对吗？提示： (1) 不成立，当a，b同号时成立，异号时不成立(2) 不对，若n为奇数，成立，若n为偶数，则不一定成立1已知ab，cd，且c，d不为 0，那么下列不等式成立的是( ) Aadbc BacbdCacbd Dacbd解析：选D 由不等式的性质知，ab，cd?acbd. 2已知a，b，cR，则“ab”是“ac2bc2”的 ( ) A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B ac2bc2?ab，但当c0 时，abD? /ac2bc2. 故“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件3如果aR，且a2aaa2a Baa2a2aCaa2aa2 Da2aaa2解析：选B a2a0， 1a0. 不妨令a12，易知选项B正确4已知a1b Ba2b2C2a2b D2a2b解析：选C ab， 2a2b. 5( 教材习题改编 ) 已知 2a1， 3b2，则ab的取值范围是_，a2b2的取值范围是_解析： 2a1，3b2， 2b3,1a24,4b29. 0ab2,5a2b2b1，f(x)m2xx1，则f(a) 与f(b) 的大小关系是 ( ) Af(a)f(b) Bf(a)”或“ 0，又ab1，f(a)f(b) 即f(a) f(b)法二： ( 特值法 ) 令a3，b2. 则f(3) 3m22，f(2) 2m2. 当m0 时，f(a) f(b) ；当m0 时，f(a)f(b) 故f(a) f(b) (2) 可以利用ab1816161818161611629816121698216，982(0,1) ，982160,16180， 18161618. 即ab. 答案 (1)C (2)b1”改为“ab0，又ab0，a10，b1f(b) 故f(a) f(b) 【方法规律】比较大小的常用方法(1) 作差法一般步骤是：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2) 作商法一般步骤是：作商；变形；判断商与1 的大小；结论( 注意所比较的两个数的符号) (3) 特殊值法若是选择题、填空题可以用特殊值法比较大小；若是解答题，可以用特殊值法探究思路1已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是 ( ) AMNCMN D不确定解析：选 B MNa1a2(a1a21) a1a2a1a21a1(a21) (a21)(a11)(a21) ，又a1(0,1) ，a2(0,1) ，a110，a210，即MN0. MN. 2当a0，b0 且ab时，比较aabb与abba的大小解：aabbabbaaabbb aaab1bababab. 当ab，即ab1 时，abab1，aabbabba. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载当ab，即ab1，aabbabba. 当a0，b0且ab时，aabbabba. 高频考点考点二不等式性质的简单应用1不等式性质的考查主要以客观题为主，难度中等偏下2高考对不等式性质的考查有以下几个命题角度：(1) 与充要条件相结合命题；(2) 与命题真假的判断相结合命题；(3) 求代数式的取值范围 例 2 (1)(2013 天津高考)设a，bR，则“(ab) a20”是“ab，则 ( ) Aacbc B.1ab2 Da3b3(3)(2012 湖南高考) 设ab1，ccb；acloga(bc) 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D(4)(2014 鹰潭模拟) 设x，y为实数，满足 3xy28， 4x2y9， 则x3y4的最大值是 _ 自主解答 (1)(ab) a20， 则必有ab0， 即ab； 而ab时， 不能推出 (ab) a20，如a0，b1，所以“(ab) a20”是“ab”的充分而不必要条件(2)A 选项，当c0 时，ac0b时，显然B不正确； C选项，当a1，b 2 时，a2b时，有a3b3，D是正确的(3) 由不等式性质及ab1，知1a1b，又ccb，正确；由指数函数的图象与性质，知正确；由ab1，cbc1c1，由对数函数的图象与性质，知正确(4) 4x2y9，19yx214，181y2x4116. 又3xy28，而x3y41y4x31xy2y2x4，且127xy2y2x412，2x3y427. 答案 (1)A (2)D (3)D (4)27 不等式性质的应用问题的常见类型及解题策略(1) 与充要条件相结合问题用不等式的性质分别判断p?q和q?p是否正确，要注意特殊值法的应用(2) 与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法(3) 求代数式的取值范围要注意不等式同向可乘性的适用条件以及整体思想的运用1已知ab0，给出下列四个不等式：a2b2； 2a2b1；abab；a3b32a2b. 其中一定成立的不等式为( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载A BC D解析：选A 由ab0，可得a2b2，成立；由ab0，可得ab1，而函数f(x)2x在 R 上是增函数，f(a)f(b1) ，即 2a2b1，成立；ab0，ab， (ab)2(ab)22ab2b2b(ab)0，abab，成立； 若a3，b2，则a3b335,2a2b36，则a3b30ba，cdbc；adbcbd；a(dc)b(dc) 中正确的命题为_解析：a0b，cd0，ad0，则ad0ba，知ab0，又cd0，因此a( c)( b) ( d) ，即acbd0，adbcacbdcdbd，正确；ab，dc0，a(dc)b(dc) ，正确答案：考点三不等式与函数、方程的综合问题 例 3 已知f(x) 是定义在 ( ， 4 上的减函数，是否存在实数m，使得f(m sin x) f12m74cos2x对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由 自主解答 假设实数m存在，依题意，可得msin x4，msin x12m74cos2x，即m4sin x，m12m12 sin x122.因为 sin x的最小值为 1，且sin x122的最大值为0，要满足题意，必须有m4 1，m12m120，解得m12或32m3.所以实数m的取值范围是32，3 12. 【方法规律】不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，mf(x) 恒成立，只需mf(x)min；mf(x) 恒成立，只需mf(x)max. 已知奇函数f(x) 在 R上是单调递减函数，R，0，0， 0，说明：f( ) f( ) f( ) 的值与 0 的关系解：由 0，得 ，f(x) 在 R上是减函数，且为奇函数，f( )f( ) f( ) ，f( ) f( )0，同理f( ) f( )0，f( ) f( )0，以上三式相加，得2f( ) f( ) f( )0 ，故f( ) f( ) f( )0. 课堂归纳通法领悟 种方法比较大小的方法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载作差比较法与作商比较法是判定两个数或式大小的两种基本方法，其中变形是关键个注意点应用不等式的性质应注意的问题(1) 在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的如ab，bc?ab?ac2bc2；若无c0这个条件，ab?ac2bc2就是错误结论 (当c0 时，取“” ) (3) “ab0?anbn(nN*，n1)”成立的条件是“n为大于1 的自然数，ab0”，假如去掉“n为大于1 的自然数”这个条件，取n 1，a3，b2，那么就会出现“312 1”的错误结论； 假如去掉“b0”这个条件， 取a3，b 4，n2，那么就会出现“32( 4)2”的错误结论易误警示 ( 八) 忽视不等式的隐含条件致误 典例 (2014海门模拟 ) 已知 1xy4 且 2xy3，则z2x3y的取值范围是_( 答案用区间表示) 解题指导 用xy和xy整体代换 2x3y，进而求出z的取值范围 解析 设 2x3ya(xy) b(xy) ，则由待定系数法可得ab2，ab 3，解得a12，b52，所以z12(xy) 52(xy) 又212xy12，5bd”是“ab且cd”的 ( ) A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A acbd不能推出ab且cd，反之ab且cd可以推出acbd. 2若1a1b|b| ；ab；abb3. 则不正确的不等式的个数为( ) A0 B1 C2 D3 解析：选C 由1a1b0，可得ba0，从而 |a|b，不正确；ab0，则abb3，正确故不正确的不等式的个数为2. 3已知a，b，c满足cba且acca B.bac0 C.b2ca2c D.acac0 解析：选C 因为cba且ac0，cc，a0，可得baca，故选项A恒成立；因为ba，所以ba0，又c0，故选项 B恒成立；因为c0，而ac0，所以acaca2，而c0，所以b2ca2c，故选项 C不恒成立4已知 0a0 B2ab12C2baab12 Dlog2alog2b2 解析：选D 当a14，b34时，log2a 212112，选项 B错误；对于选项C，baab313，2baab2313212，选项C错误5若 ， 满足22，则 的取值范围是( ) A B 0 C22 D20 解析：选 B 22，故22，则 且 0，所以N. 7已知ab0，则ab2ba2与1a1b的大小关系是 _解析：ab2ba21a1babb2baa2(ab) 1b21a2abab2a2b2. ab0，(ab)20，abab2a2b20. ab2ba21a1b. 答案：ab2ba21a1b8若ab0，且ambmab，则实数m的取值范围是 _解析：由ambmab，得ambmab0，整理得bambbm0，可得m(bm)0，得bmb0，则1a1b；若ab0，则a1ab1b；若ab0，则2aba2bab；设a，b是互不相等的正数，则|ab| 1ab2.其中正确命题的序号是_( 把正确命题的序号都填上) 解析：作差可得1a1bbaab，而ab0，则baabb0，则1a1b，所以可得a1ab1b，此式正确；2aba2babbabaa2ba2bbb2a2a 2bbbabaa2bb0，此式错误；当ab0，ca. 由，得bca. 12(1) 设x1，y1，证明：xy1xy1x1yxy；(2) 设 1b成立的充分不必要条件是( ) A.ab22ab BacbcCa2b2 D ab1 解析：选 D 对于选项 A，由ab22ab，可得a22abb24ab，即a22abb20，(ab)20，故ab22ab不能推出ab成立，故 A不符合题意；对于选项B，由acbc，可得 (ab)c0，当c0时，ab成立，当c0 时，ab不成立， 故 B不符合题意； 对于选项C，由a2b2，可得 (ab)(ab)0 ，不能推得ab成立，故 C不符合题意；对于选项D，由ab1，可得ab10，即ab，由ab不能推得ab1，即ab1 成立，故ab1 是ab成立的充分不必要条件，故D符合题意2已知三个不等式：ab0，bcad0，cadb0( 其中a，b，c，d均为实数 ) ，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 解析：选D 由ab0，bcad0，即bcad，得cadb，即cadb0；由ab0，cadb0，即cadb，得bcad，即bcad0；由bcad0，cadb0，即bcadab0，得ab0. 故可组成3 个正确的命题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -