2022年高考数学一轮复习教案：第五篇平面向量第讲平面向量的应用 .pdf

第 4 讲 平面向量的应用【20XX 年高考会这样考】1考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题2考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题【复习指导】复习中重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算，重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点基础梳理1向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：ab? a b(b0)? x1y2x2y1 0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质ab? a b0? x1x2y1y20. (3)求夹角问题，利用夹角公式cos a b|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22(为 a 与 b 的夹角 )2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移 s的数量积即WF s|F|s|cos (为 F 与 s的夹角 )一个手段实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题双基自测1(人教 A 版教材习题改编)某人先位移向量a：“向东走3 km”，接着再位移向量b：“向北走3 km”，则 ab 表示 ( )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - A向东南走3 2 km B向东北走32 km C向东南走33 km D向东北走33 km 解析要求 ab，可利用向量和的三角形法则来求解，如图所示，适当选取比例尺作OA a“向东走 3 km”，ABb“向北走 3 km”，则 OBOAABab. |OB|323232(km)，又OA与OB的夹角是45 ，所以 ab 表示向东北走32 km. 答案B 2平面上有四个互异点A、B、C、 D，已知 (DBDC2DA) (ABAC)0，则 ABC 的形状是 ( )A直角三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D无法确定解析由(DBDC2DA) (ABAC)0，得(DBDA)(DCDA (ABAC)0，所以 (ABAC) (ABAC)0. 所以 |AB|2|AC|20， |AB|AC|，故ABC 是等腰三角形答案C 3(2012 银川模拟 )已知向量a(cos ，sin )， b(3， 1)，则 |2ab|的最大值，最小值分别是( )A 4,0 B16,0 C 2,0 D16,4 解析设 a 与 b 夹角为 ， |2ab|24a24a bb284|a|b|cos 88cos ， 0， ， cos 1,1， 88cos 0,16，即 |2ab|2 0,16 ， |2ab| 0,4 答案A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4在 ABC 中，已知向量 AB与 AC满足AB|AB|AC|AC| BC0 且AB|AB|AC|AC|12，则ABC 为( )A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形解析由AB|AB|AC|AC| BC0 知 ABC 为等腰三角形，AB AC.由AB|AB|AC|AC|12知， AB，AC 60 ，所以ABC 为等边三角形，故选A. 答案A 5(2012 武汉联考 )平面直角坐标系xOy 中，若定点A(1,2)与动点 P(x，y)满足 OP OA4，则点 P 的轨迹方程是 _ 解析由OP OA4，得 (x，y) (1,2)4，即 x2y4. 答案x2y40 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 考向一平面向量在平面几何中的应用【例 1】?(2010 辽宁 )平面上 O，A，B 三点不共线，设OA a，OBb，则 OAB 的面积等于 ( )A.|a|2|b|2 a b2B.|a|2|b|2 a b2C.12|a|2|b|2 a b2D.12|a|2|b|2 a b2审题视点 由数量积公式求出OA 与 OB 夹角的余弦，进而得正弦，再由公式S12absin ，求面积解析 cos BOAa b|a|b|，则 sin BOA1a b2|a|2|b|2， SOAB12|a|b| 1a b2|a|2|b|212|a|2|b|2 a b2. 答案C 平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用 |a|可以求线段的长度，利用 cos a b|a|b|(为 a 与 b 的夹角 )可以求角，利用a b0 可以证明垂直，利用a b(b0)可以判定平行【训练 1】 设 a，b，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与 b 不共线， a c，|a|c|，则 |b c|的值一定等于 ( )A以 a，b 为邻边的平行四边形的面积B以 b，c 为邻边的平行四边形的面积C以 a，b 为两边的三角形的面积D以 b，c 为两边的三角形的面积解析 |b c|b|c|cos |，如图， a c， |b|cos |就是以 a，b为邻边的平行四边形的高h，而 |a|c|， |b c|a|(|b|cos |)， |b c|表示以 a，b为邻边的平行四边形的面积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 答案A 考向二平面向量与三角函数的交汇【例 2】?已知 A，B，C 的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )， 2，32. (1)若|AC|BC|，求角 的值；(2)若AC BC 1，求2sin2 sin 21tan 的值审题视点 首先求出向量 AC、BC的坐标，第 (1)问利用两个向量的模相等建立角的三角方程进行求解；第(2)问利用向量 AC与BC数量积的坐标运算化简已知条件，得到角的三角函数值，把所求式子化简，寻找两个式子之间的关系解 (1)AC(cos 3，sin )，BC (cos ，sin 3)，AC2(cos a3)2sin2 106cos ，BC2cos2 (sin 3)2106sin ，由|AC|BC|，可得 AC2BC2，即 106cos 106sin ，得 sin cos . 又 2，32， 54. (2)由AC BC 1，得(cos 3)cos sin (sin 3) 1，sin cos 23.又2sin2 sin 21tan 2sin2 2sin cos 1sin cos 2sin cos . 由式两边分别平方，得12sin cos 49，2sin cos 59.2sin2 sin 21tan 59. 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决【训练 2】 已知向量 a(sin ，cos 2sin )，b (1,2)(1)若 ab，求 tan 的值；(2)若|a|b|,0 ，求 的值解 (1)因为 ab，所以 2sin cos 2sin ，于是 4sin cos ，故 tan 14. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - (2)由|a|b|知， sin2 (cos 2sin )25，所以 12sin 2 4sin2 5. 从而 2sin 2 2(1cos 2 )4，即 sin 2 cos 2 1，于是 sin2 422. 又由 0 知，4 2 494，所以 2 454或 2 474.因此 2或 34. 考向三平面向量与平面解析几何交汇【例 3】?(2012 兰州模拟 )已知平面上一定点C(2,0)和直线 l：x8，P 为该平面上一动点，作PQl，垂足为 Q，且(PC12PQ) (PC12PQ)0. (1)求动点 P 的轨迹方程；(2)若 EF 为圆 N： x2(y1)21 的任一条直径，求PE PF的最值审题视点 第(1)问直接设动点P 的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程；第(2)问先利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点P 与定点 N 的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解解 (1)设 P(x，y)，则 Q(8，y)由(PC12PQ) (PC12PQ)0，得 |PC|214|PQ|20，即(x2)2y214(x8)20，化简得x216y2121. 所以点 P 在椭圆上，其方程为x216y2121. (2)因PE PF(NENP) (NFNP)(NFNP) (NFNP)(NP)2NF2NP21，P 是椭圆x216y2121 上的任一点， 设 P(x0，y0)，则有x2016y20121，即 x20164y203，又 N(0,1)，所以 NP2x20(y01)213y202y01713(y03)220. 因 y02 3，2 3，所以当 y0 3 时， NP2取得最大值20，故 PE PF的最大值为19；当 y023时， NP2取得最小值 (231)21343，(此时 x00)，故 PE PF的最小值为1243. 平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法 坐标法【训练 3】 已知点 P(0，3)， 点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴上， 点 M 满足 PA AM0， AM32MQ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 当点 A 在 x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程解 设 M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b0)，则 PA(a,3)，AM(xa，y)，MQ(x，by)，由PA AM0，得 a(xa)3y0.由AM32MQ，得(xa， y)32(x，by)32x，32y b ，xa32x，y32y32b，ax2，by3.把 ax2代入，得x2xx23y 0，整理得 y14x2(x 0)难点突破 12高考中平面向量与其他知识的交汇问题平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现近几年新课标高考对向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与其他知识交汇的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值一、平面向量与命题的交汇【示例】 ? (2011 陕西 )设 a，b 是向量，命题“若a b，则 |a|b|”的逆命题是( )A若 ab，则 |a|b| B若 a b，则 |a|b| C若 |a|b|，则 a bD若 |a|b|，则 a b二、平面向量与函数【示例】 ? (2010 北京 )若 a，b 是非零向量，且ab，|a|b|，则函数f(x)(xab) (xba)是( )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - A一次函数且是奇函数B一次函数但不是奇函数C二次函数且是偶函数D二次函数但不是偶函数平面向量与线性规划(教师备选 ) 【示例】 ? (2011 福建 )已知 O 是坐标原点，点A(1,1)若点 M(x，y)为平面区域xy2，x1，y2上的一个动点，则 OA OM的取值范围是 ( )A 1,0 B0,1 C0,2 D 1,2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -