5.2.1 三角函数的概念--高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptx
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostanbcacba ObaMPc温故而知新温故而知新ObaMP yx 1. 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 新课新课 导入导入22OMaMPbOPrab 其其中中 : : y yx x 1. 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？cosO MaO PrsinM PbO PrtanM PbO MabaP ,Mo ob ba ar r如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPMMO Oy yx xP(aP(a，b)b)当改变点在终边上的位置时，这三个比值还是不变。当改变点在终边上的位置时，这三个比值还是不变。探究：探究：在直角坐标系中，锐角在直角坐标系中，锐角 的三角函数能用的三角函数能用其终边上的点的坐标表示吗？其终边上的点的坐标表示吗？Ox xy yMP P22|yxOPr记rysinMPOP=rxcosOMOP=tanMPOM=xy),(yxP=1=1y yx xr r当改变点在终边上的位置时，这三个比值还是不变。当改变点在终边上的位置时，这三个比值还是不变。=y=y=x=x(x,y)(x,y) 1. 1.任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义 设设 是一个是一个任意角任意角，它的终边与，它的终边与单位圆单位圆交于点交于点),(yxP 那么那么:（1） 叫做叫做 的正弦，记作的正弦，记作 ，即，即 ；ysinsiny （2） 叫做叫做 的余弦，记作的余弦，记作 ，即，即 ； cosxcosx（3） 叫做叫做 的正切，记作的正切，记作 ，即，即 。 xytantanyx 所以，正弦，余弦，正切都是所以，正弦，余弦，正切都是以以角为自变量角为自变量，以，以单位圆单位圆上点的上点的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的函为函数值的函数，我们将他们统称为数，我们将他们统称为三角函数三角函数. .0 , 1AOyx,P x y(0)x 正弦函数：正弦函数：y=sinx y=sinx 余弦函数：余弦函数：y=cosx y=cosx 正切函数：正切函数：y=tanxy=tanx 例例1 1：求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值. .5335AOB解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作 AOB，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 )23,21(所以所以 s si in n，5332 c co os s，5132 t ta an n533 思考：若把角思考：若把角 改为改为 呢呢? ? 53767162 s si in n, ,， 7362 c co os s, ,7363 t ta an nxyoAB35请看课本请看课本P180P180：练习：练习2 2 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正切，即的正切，即xy0tanxxy 任意角的三角函数的定义的推广：任意角的三角函数的定义的推广：OyxyxP ,22|yxOPr记 2222|OP|=12513 rxyy ys si in n，r r513 x xc co os s，r r1213 y y5 5t ta an nx x1 12 2 练习练习:3:3:已知角已知角 的终边过点的终边过点 ， 求求 的三个三角函数值的三个三角函数值. .5 ,12P解：解：请看课本请看课本P180P180：练习：练习3 3设设角角终终边边上上任任意意一一点点P P的的坐坐标标为为 (x,y) (x,y) ，且且|OP|=r,|OP|=r,则则x xc co os s; ;r r y ys si in n; ;r r 0y yt ta an n( (x x) )x x （ ）（ ）（ ）xyosin（ ） （ ）（ ） （ ）xyotan（ ）（ ）（ ）（ ）xyocos三角函数三角函数定义域定义域sincostanRR2 kkZ，2.2.三角函数的定义域三角函数的定义域3.3.三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号0y yx xy ys si in n; ;c co os s; ;t ta an n( (x x) )r rr rx x 含义：含义：第一象限各三角函数均为正，第二象限只有第一象限各三角函数均为正，第二象限只有正弦为正，其余均为负；正弦为正，其余均为负；第三象限只有正切为正，其余均为负，第四第三象限只有正切为正，其余均为负，第四象限只有余弦为正，其余皆为负。象限只有余弦为正，其余皆为负。+y0+y0y0 x0 x0 x0，y0 x0 x0，y0，y0+sinyrcosxrtanyx一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦例例3 3：求证：角求证：角为第三象限角的充要条件是为第三象限角的充要条件是0tan 0sin 证明：证明： 因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的负半轴上；轴的负半轴上；0sin 又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因为因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明. .一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦如果两个角的终边相同，那么这两个角的如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？同一三角函数值有何关系？ 4. 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）sin(2 )sincos(2 )costan(2 )tankkk其中其中kz 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求化为求0 0到到22（或（或0 0到到360360）角的三角函数值）角的三角函数值. . ？例例4:4:确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号：（1） （2） （3）解：解：250cos)672tan(4sin（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos （3）因为）因为 = ， 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48 练习：确定下列三角函数值的符号练习：确定下列三角函数值的符号( (课本课本P182P182第第3 3题题) )162 cos5（ ）45)sin()3（17(4 tan()8） 0 0 0 （2）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 . 404sin一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦（ ）4 tan3 例例5 5：求下列三角函数值：求下列三角函数值：costan() 9 91111 （2 2）； （3 3）4646 coscos()cos 9 92 2解解：（2 2）2 24 44 44 42 2练习：练习：求下列三角函数值求下列三角函数值 ( (课本课本P182P182第第5 5题题) )tan（ ） 1 19 92 23 3tan()（ ） 3 31 14 44 4 31tan()tan()tan 1 11 1 3 3（3 3）2 26 66 66 63 3角角0o30o45o60o90o180o270o360o角角的弧的弧度数度数sinsincoscostantan2 32 2 000000001111 1 不不存存在在不存在不存在03 4 6 22221123233321231设设角角终终边边与与单单位位圆圆相相交交于于点点P(x,y) P(x,y) ，则则 |OP|=r= ,|OP|=r= ,则则x xc co os sx x; ;r r =y ys si in ny y; ;r r 0y yt ta an n( (x x) )x x 学以致用学以致用: :
