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压电铁电物理压电铁电物理-振动模式振动模式2振动模式振动模式材料参数材料参数等效电路等效电路器件设计器件设计阻抗、导纳阻抗、导纳9薄圆片压电振子的振动方程薄圆片压电振子的振动方程若圆片密度为若圆片密度为 ，则小的质量为（见图，则小的质量为（见图5-75-7）；若）；若为小块为小块bcdebcde沿径向的位移沿径向的位移 rdrd drdr，则小块沿径向，则小块沿径向加速度为加速度为 2 2u ur r/ / t t2 2。小块的运动方程为：。小块的运动方程为：22()sin()sin()22rrrurd drtddXrdr dX rdX drX 10薄圆片压电振子的质量薄圆片压电振子的质量元元图图5-75-11由于由于drdr和和d d 都很小，故有都很小，故有()()rrrrrrX rXrdr dX rddrdrXXX 12忽略忽略X X 与与X X 的差别（即认为的差别（即认为X X =X=X ）。将这些）。将这些结果代入到上式后，即得小块的运动微分方程式结果代入到上式后，即得小块的运动微分方程式为，为，22rrruXXXrdrdrd drrd drrd drtrrr22rrruXXXtrr即：即：（5-395-39）13将压电方程组（将压电方程组（5-385-38）式代入上式，并注意到）式代入上式，并注意到（ E Ez z/ / r r）=0=0，即得，即得2222111rrruYxxYxxtrrr3123122313133311112()11rrzrzXrzzYdYXxxEYdYXxxEdYdYDxxEE22rrruXXX14利用关系利用关系2221,rrrrxuxuurrrrrr2222111rrruYxxYxxtrrr代入代入15薄圆片压电振子的波动方程。薄圆片压电振子的波动方程。)1 (Yc22222221rrrruuuuctrrrr（5-405-40）其中波速：其中波速：16波动方程式的解波动方程式的解薄圆片压电振子的波动方程式的解为薄圆片压电振子的波动方程式的解为)kr(JAe) t , r (u1tjr其中其中:k=:k= /c,J/c,J1 1(kr)(kr)为一阶贝塞尔函数。为一阶贝塞尔函数。First order Bessel functionFirst order Bessel function（5-415-41）17现在来求满足边界条件的解。若薄圆片的边现在来求满足边界条件的解。若薄圆片的边界为机械自由，则在边界上的应力界为机械自由，则在边界上的应力X Xr r等于零。等于零。即即,ra3121131211()()11rrrzj tj tzYuud YXErrYJ krJ krd YAeAeErr3123122313133311112()11rrzrzXrzzYdYXxxEYdYXxxEdYdYDxxEE由（由（5-385-38）式的第一式）式的第一式|0raX时时（5-385-38）式）式18若电场强度分量为若电场强度分量为: :tj0zeEEr)kr(J)kr(kJr)kr(J101j tj trd YJ (kr )YXAekJ (kr )()E er 311002111并注意到并注意到代入到上式得：代入到上式得：（5-425-42） 19利用边界条件利用边界条件r=ar=a时，时，X Xr r| |a a=0=0，即可确定任意，即可确定任意常数常数A A，由，由0E)1 (da)ka(J)ka(kJA03110)ka(J1)ka(kJEd)1 (A11031即得即得（5-435-43）20将（将（5-435-43）式代入到（）式代入到（5-415-41）式即得满足自由）式即得满足自由边界条件的解为边界条件的解为)ka(J1)ka(kJ)kr(JeEd)1 () t , r (u111tj0311(5-44)(5-44)由（由（5-445-44）式代表的波形，如图）式代表的波形，如图5-85-8所示。所示。 21图图 5-8 5-8 自由圆片的径向伸缩振动（自由圆片的径向伸缩振动（a a）自由）自由圆片中的波形（圆片中的波形（b b）自由圆片的伸缩情况）自由圆片的伸缩情况(a)(b)22)ac(AJ1)ac(AJ1)ac(AJ1)ac(AJ1r r-a-a0 0a at=0t=0u ur r(r,0)(r,0)0 0t=t= / / r ru ur r(r, (r, / / r r) )0 23将（将（5-435-43）式代入到（）式代入到（5-425-42）式即得沿）式即得沿r r方方向的伸缩应力为向的伸缩应力为j trkJ (kr )J (kr )YdrXE ekJ (ka )J (ka )a 01310011111 （5-455-45）24沿沿 方向的伸缩应力为方向的伸缩应力为: :01310011()()111()()j tkJkrJ krYdrXE ekJkaJ kaa（5-465-46）25沿沿r r方向和方向和 方向的伸缩应变为方向的伸缩应变为: :01310011310011()()(1)11()()1()(1)11()()j trrj trkJkrJ krurxdE erkJkaJ kaaJ krurxdE erkJkaJ kaa（5-475-47） 26231313332310033001211()(1)211()()Xrzj tXj td Yd YDSSEd YkJ krE eE ekJ kaJ kaa电位移为电位移为: :27薄圆片压电振子的等效电阻薄圆片压电振子的等效电阻 通过压电振子电极面的电流通过压电振子电极面的电流I I为为dtdQI 20a0zrdrdDQ而电极面上的电荷而电极面上的电荷Q Q为为28积分时注意到：积分时注意到：a010)ka(aJdr)kr(krJ即得即得2223110330012231133033012 ()(1)21()(1) ()2()(1)11(1)()(1) ()j tXj tXj tTd Y aJ kaQE eaE ekaJ kaJ kad YJ kaaE ekaJ kaJ ka 29于是得到电流为于是得到电流为2231133033012()(1)11(1)()(1)()Xj tTdQIj Qdtd YJ kajaE ekaJkaJ ka （5-485-48）30薄圆片压电振子的等效阻抗薄圆片压电振子的等效阻抗压电振子的等效阻抗压电振子的等效阻抗Z Z为为tj0ttzeElIlEIVIZ12233311330112()(1)11(1)()(1)()XTtjad YJ kaZlkaJkaJ ka 将（将（5-485-48）式代入上式的）式代入上式的31因为薄圆片压电振子的机电耦合系数因为薄圆片压电振子的机电耦合系数k kp p为为222313111 33332211pEXXdd Yks23333(1)xXpk以及以及将这些关系代入上式得将这些关系代入上式得32 (5-49) (5-49)22233101223312011()(1)1()(1)()()(1)11()(1)()XpptXptpjaJ kakkZlkaJkaJ kakjaJ kalk kaJkaJ ka薄圆片压电振子的等效阻抗薄圆片压电振子的等效阻抗k=/33谐振频率和机电耦合系数谐振频率和机电耦合系数谐振时压电振子的等效阻抗谐振时压电振子的等效阻抗Z=0Z=0，即，即: G=1/Z=: G=1/Z= ，这就要求这就要求0)ka(J )1 ()ka(kaJ100)ac(J )1 ()ac(aJcr1r0r即：即：34或或)1 ()ac(J)ac(Jcar1r0r其中：其中： r r=2=2 f fr r，f fr r= =谐振频率。谐振频率。（5-505-50）35钛酸钡的泊松比约为钛酸钡的泊松比约为 =0.30=0.30，代入上式：，代入上式：70. 0)ac(J)ac(J36查贝塞尔函数的数值表，可得上式最小的根为查贝塞尔函数的数值表，可得上式最小的根为: :05. 2car)1 (Ya205. 2a2c05. 2f2r（5-515-51）由此得到薄圆片压电振子的谐振频率为由此得到薄圆片压电振子的谐振频率为（5-525-52） 37同理可得：同理可得：0.360.27当当时，时，22.032(1)rYfa当当时，时，22.082(1)rY38反谐振时，压电振子的等效阻抗反谐振时，压电振子的等效阻抗Z=Z= ，即，即G=1/Z=0G=1/Z=0，这就要求，这就要求21201()(1)101()(1)()papaaakJk akk aJk aJk a （5-535-53）39因为反谐振频率因为反谐振频率f fa a稍大于谐振频率稍大于谐振频率f fr r，故可假，故可假设设ar,arfffarfff 或者或者ar即：即：或者或者40将将J J0 0和和J J1 1在谐振频率处用泰勒级数展开得：在谐振频率处用泰勒级数展开得：)ca(Jac)ca(J ca)ca(J)ca(J)ca(J)ca(J)ca(Jca)ca(J)ca(J)ca(J)ca(Jr1ra0r1r1r1a1a1a1r1r0a0（5-545-54） 41将（将（5-545-54）式代入（）式代入（5-535-53）式后，）式后，(5-53(5-53）式）式分子为分子为: :11011(1)()1(1)()()()(1)()arrrrrJ k aaaaaJJJccccaJc21201()(1)101()(1)()papaaakJ k ak k aJk aJ k a 42（5-55）010110101221021()(1)()()()()1(1)()()()()(1)()()()(1)()aaarrrrrrrrrrrrrrrrk aJk aJk aaaaaJJccccaaaaJJJccccaaaJJcccaaaJJacccacJc (5-53(5-53）式分母为）式分母为43由（由（5-505-50）式知）式知0)ca(J )1 ()ca(Jcar1r0r)1 ()ca(J)ca(Jcar1r0r或者或者44将这些关系代入到（将这些关系代入到（5-555-55）式得）式得01122()(1)()()()(1)rrrrraakaJJccaJacc 45最后得到最后得到0)1 ()ca()ca(J)1)(ca(Jk1k122rrr1r12p2p21201()(1)101()(1)()papaaakJ k akk aJk aJ k a 46即：)1 ()ca(1k1kff22r2p2prr（5-56）47由上式可解出薄圆片压电振子的机电耦合系数kp为222222222()(1)1()(1)()(1)()(1)111rprrrrrrrafckafffcaaffccff 48或者1)1 ()ca(ffk22rr2p（5-57）49（5-58） r2pr2pr2pff55. 2k,36. 0ff53. 2k,30. 0ff51. 2k,27. 0时当时当时当50谐振频率关系式（谐振频率关系式（5-525-52）式以及机电耦合系数关）式以及机电耦合系数关系式（系式（5-575-57）式对压电陶瓷也成立。实验上常用）式对压电陶瓷也成立。实验上常用（5-525-52）式确定材料的杨氏模量）式确定材料的杨氏模量Y Y，（，（5-575-57）式）式确定材料的机电耦合系数确定材料的机电耦合系数k kp p，通过低频电容，通过低频电容C Clowlow的的测量，确定介电常数测量，确定介电常数: :332XtlowlC51以及压电常数以及压电常数: :至于泊松比至于泊松比 ，则可通过下式确定：，则可通过下式确定： （5-595-59） 333112XpdkY 0r1r1r0rf1910. 0f6054. 52其中：其中：f fr0r0= =薄圆片压电振子的基频，薄圆片压电振子的基频，f fr1r1= =薄圆片薄圆片压电振子的一次谐波频率。（确切的说法是压电振子的一次谐波频率。（确切的说法是f fr0r0为为薄圆片的基音频率，薄圆片的基音频率，f fr1r1为薄圆片的一次泛音频率，为薄圆片的一次泛音频率，对于压电陶瓷对于压电陶瓷f fr0r0 2.61 f2.61 fr1r1左右）。（左右）。（5-595-59）式）式的适用范围是：的适用范围是：42. 027. 0（5-605-60）53薄圆片压电振子的径向伸缩振动薄圆片压电振子的径向伸缩振动（小结）（小结）332XtlowlCa介电常数介电常数0r1r1r0rf1910. 0f6054. 0f1867f5332半径半径a a；厚度；厚度l lt t；低频电容；低频电容C Clowlowf fr0r0: :薄圆片压电振子的基频，薄圆片压电振子的基频，f fr1r1: :薄圆片压电薄圆片压电振子的一次谐波频率。振子的一次谐波频率。54杨氏模量的确定杨氏模量的确定)1 ()ac(J)ac(Jcar1r0rrac )1 (Yc222(1)Yc 222(1)rf aY 55XpdkY 333112压电常数压电常数2222()(1)1rprf afckf 平面机电平面机电耦合系数耦合系数222(1)1prfkf 56其它压电振子其它压电振子 薄圆环压电振子的径向振动薄圆环压电振子的径向振动 薄球壳的球径向振动薄球壳的球径向振动 薄片的厚度伸缩振动薄片的厚度伸缩振动 57薄圆环压电振子的径向振动薄圆环压电振子的径向振动 如图如图5-95-9所示，薄圆环的极化方向与所示，薄圆环的极化方向与z z轴平行（即轴平行（即轴向极化），平均半径为轴向极化），平均半径为r r ，厚度为，厚度为l lt t，宽度为，宽度为l lw w，并有，并有rlrlt t以及以及rlrlw w. .设圆环的方向为设圆环的方向为2 2方向，方向，极化方向为极化方向为3 3方向，方向， 增加的方向为增加的方向为1 1方向。因为方向。因为圆环的半径远大于圆环的宽度和厚度圆环的半径远大于圆环的宽度和厚度, ,所以圆环所以圆环在外加电场的作用下，可以认为只产生轴对称的在外加电场的作用下，可以认为只产生轴对称的径向振动径向振动. .除了沿圆周（即切向）的应力除了沿圆周（即切向）的应力X X1 1（即（即x x ）外）外, ,其余的应力、切应力皆等于零。其余的应力、切应力皆等于零。 58图图 5-9 5-9 薄圆环的径向振动薄圆环的径向振动59又与又与3 3方向垂直的电极面是等位面，所以可以认方向垂直的电极面是等位面，所以可以认为为E E1 1=E=E2 2=0=0。选应力和电场（。选应力和电场（X X、E E）为独立变量，）为独立变量，即得薄圆环的压电方程组为即得薄圆环的压电方程组为11113133311333EXxs Xd EDd XE（5-615-61）60考虑薄圆环上的一小块（如图考虑薄圆环上的一小块（如图5-95-9所示），作用所示），作用在小块上的径向力分量为：在小块上的径向力分量为：112sin()2rw tw tXXl ll l X （5-625-62）61由牛顿第二定律可得径向运动的微分方程式为：由牛顿第二定律可得径向运动的微分方程式为：212rw tw tul l rl l Xr （5-635-63）其中其中 为薄圆片的密度，为薄圆片的密度，u ur r为环的径向位移。为环的径向位移。 62将（将（5-615-61）式中第一式代入（）式中第一式代入（5-635-63）式，并注意）式，并注意到到x xr r=u=ur r/r/r，即得，即得，3E11231rE1122r2Esrdusr1tu(5-64)(5-64)63若外加电场为若外加电场为E E3 3=E=E0 0e ej j t t，在此电场作用下，薄圆，在此电场作用下，薄圆环产生受迫振动，这时（环产生受迫振动，这时（5-645-64）式的解为：）式的解为：)(rsEdu22rE11331rE1122rsr1（5-65）其中其中: : 64将（将（5-655-65）式代入（）式代入（5-615-61）式得电位移为：）式得电位移为：231313331311(1)XEdDxkEs22313111 33EXdks（5-665-66）其中其中: :65自由介电常数与夹持住介电常数之间的关系为：自由介电常数与夹持住介电常数之间的关系为：2333331(1)xXk通过电极面的电流为：通过电极面的电流为：32231333122221122(1)() ()wXwErdDIrldtdrl 66因为电压因为电压V=EV=E3 3l lt t，故得薄圆环压电振子的导纳为，故得薄圆环压电振子的导纳为: : 22231 3333312212(1)XXwrtrIrlkGjkZVl （5-675-67）67当当G=G= 时，薄圆环产生谐振，谐振频率时，薄圆环产生谐振，谐振频率f fr r为；为； 22111rEr s 22231 3333312212(1)XXwrtrIrlkGjkZVl （5-685-68）11112rEfrs 或或68当当G=0G=0时，薄圆环产生反谐振，反谐振频率为时，薄圆环产生反谐振，反谐振频率为: : 222311rak 22231 3333312212(1)XXwrtrIrlkGjkZVl （5-695-69）2311raffk 或或69由此得到机电耦合系数由此得到机电耦合系数k k3131与与f fr r、f fa a的关系为的关系为: :222312araffkf（5-705-70）70薄球壳的球径向振动薄球壳的球径向振动薄球壳的极化方向与径向平行，球壳内外表面薄球壳的极化方向与径向平行，球壳内外表面为电极面，球壳厚度为为电极面，球壳厚度为l lt t，平均半径为，平均半径为r r，并，并有有r lr lt t，选球的径向为，选球的径向为3 3方向，方向， 、 的增加的增加方向为方向为1 1、2 2方向，其边界条件为方向，其边界条件为: :E E1 1=E=E2 2=0,E=0,E3 3 0 0；X X3 3= X= X4 4= X= X5 5= X= X6 6=0=0，X X1 1 0, X0, X2 2 0 0。71图图 5-10 5-10 薄球壳的径向振动薄球壳的径向振动72选应力和电场（选应力和电场（X X、E E）为独立变量，即得薄球壳的）为独立变量，即得薄球壳的径向振动的压电方程组为径向振动的压电方程组为: :111112231321212223233311322333EEEEXxs Xs Xd Exs Xs Xd EDd Xd XE（5-715-71）73对于压电陶瓷的弹性性质和压电性质在与极化垂对于压电陶瓷的弹性性质和压电性质在与极化垂直的面上是各向异性的，故有直的面上是各向异性的，故有X X1 1=X=X2 2、s sE E1111=s=sE E2222、d d3131=d=d3232。令。令112212121(),;2EEEcccsssXXX74代入到（代入到（5-715-71）式即得）式即得: : 31333133322EcccXcxs Xd EDd XE（5-725-72）112212121();2EEEcccsssXXXxxx111112231321212223233311322333EEEEXxs Xs Xd Exs Xs Xd EDd Xd XE75球壳中的情况与圆环相似，球壳中的情况与圆环相似，x xc c与径向位移与径向位移u ur r之间之间的关系为：的关系为：rcuxr3Ec231rEc22r2Esrdusr1tu波动方程式为波动方程式为: :（5-735-73）76若外加电场为若外加电场为E E3 3=E=E0 0e ej j t t，在此电场作用下，上式，在此电场作用下，上式的解为：的解为：22r32031rErdu)ss (r2sr1E12E112Ec22r（5-745-74）其中其中: :（5-755-75）77球壳的导纳为球壳的导纳为: : 222332332214(1)XprXptrkIrGjkZVl （5-765-76）78其中平面机电耦合系数其中平面机电耦合系数 k kp p为为22223131313333111233 1122()(1)pXEXEEXE79当当G=G= 和和G=0G=0时可得时可得, ,谐振频率：谐振频率：)1 (s2r21fE11r2prak1ff222332332214(1)XprXptrkIrGjkZVl 反谐振频率为：反谐振频率为：80由此得到平面机电耦合系数为：由此得到平面机电耦合系数为：81薄片的极化方向与厚度方向平行，片面为电极薄片的极化方向与厚度方向平行，片面为电极面，片的长度为面，片的长度为l l、宽度为、宽度为l lw w、厚度为、厚度为l lt t，并有，并有llllt t，l lw wllt t。因为只考虑沿厚度方向传播的。因为只考虑沿厚度方向传播的平面波，频率很高，故可以认为片的侧面被刚平面波，频率很高，故可以认为片的侧面被刚性夹住，即可认为性夹住，即可认为: :x1=x2=x4=x5=x6=0，82薄片的厚度伸缩振动薄片的厚度伸缩振动图图 5-115-83设片的绝缘性能良好，没有漏电电流，故可认设片的绝缘性能良好，没有漏电电流，故可认为为D D1 1=D=D2 2=0=0， D D3 3/ / z=0z=0，选应变和电位移，选应变和电位移x x、D D为为独立常数，可选用第四类压电方程组为：独立常数，可选用第四类压电方程组为：33333333333333DxXc xh DEh xD （5-785-78）84波动方程为波动方程为: :2z22D2z2D332z2zu)v(zuctu（5-795-79）其中其中u uz z为沿为沿z z方向的位移方向的位移. 85（5-795-79）式的解为：）式的解为：tjDDze)vzcos(B)vzsin(Au （5-805-80）86利用自由表面边界条件利用自由表面边界条件: :tzl0z 确定系数确定系数A A、B B的大小。的大小。时，时，30z ltX300zX时，时，87由（由（5-785-78）式以及（）式以及（5-805-80）式可得）式可得: :3DDtDD3333DzD)vzcos()vltan()vzsin(chvu/cv,eDDD33Dtj03其中其中: : 8833333333333333DxXc xh DEh xD 3DDtDD3333DzD)vzcos()vltan()vzsin(chvu3zuxz 30j tDD e 89薄片的导纳为薄片的导纳为: : 331IGZV （5-815-81） 3333ttQIl l Dj l l Dtt 330ltVE dz 302302tan()22tDtlttttDDlj l l DvGj CllE dzkvv 90厚度伸缩振动机电耦合系数的定义为厚度伸缩振动机电耦合系数的定义为: : 033wxtl lCl222333333333333xtDxDhhkcc302302tan()22tDtlttttDDljl l DvGjCllE dzkvv 其中：其中：为薄片的静态电容。为薄片的静态电容。（5-825-82）91由（由（5-815-81）式可得反谐振频率和谐振频率为）式可得反谐振频率和谐振频率为: : 2tarartDakff2cothff2l 2vf302302tan()22tDtlttttDDlj l l DvGj CllE dzkvv （5-835-83）92切变振动模式切变振动模式 shear modeshear modep面切变振动模式面切变振动模式 face shear modeface shear modep厚度切变振动模式厚度切变振动模式 thickness shear modethickness shear mode应用：高频器件应用：高频器件93面切变振动模式面切变振动模式94面切变振动模式面切变振动模式: :又称为轮廓切变振动模又称为轮廓切变振动模式。式。当压电片做面切变振动模式时，其主平面当压电片做面切变振动模式时，其主平面的一条对角线伸长，另一条对角线缩短，的一条对角线伸长，另一条对角线缩短，对角线中点为节点。对角线中点为节点。95对石英晶体来说，面切变的常用切型为对石英晶体来说，面切变的常用切型为CTCT切型和切型和DTDT切型切型, ,它们的切型符号为：它们的切型符号为：yxlyxl 。在在CTCT切型中切型中 =37=373838 ， 即：即：yxlyxl3737 ；在在DTDT切型中切型中 =-52=-52-53-53 ，即：，即：yxl-52yxl-52 。96 CT CT切型切型DTDT切型切型 97厚度切变振动模式厚度切变振动模式98弯曲振动模式弯曲振动模式 bending modebending modep宽度弯曲振动模式宽度弯曲振动模式 width bending modewidth bending modep厚度弯曲振动模式厚度弯曲振动模式 thickness bending thickness bending modemode应用：低频器件应用：低频器件99lengthwidththickness电极分割线电极分割线宽度弯曲振动模式宽度弯曲振动模式100电极面电极面厚度弯曲振动模式厚度弯曲振动模式102能陷振动模式能陷振动模式能阱振动模式能阱振动模式点振子振动和点电极振子振动点振子振动和点电极振子振动; energy-trap vibration ; energy-trap vibration 103采用厚度伸缩或者厚度切变（剪切）振动模式可采用厚度伸缩或者厚度切变（剪切）振动模式可以制成频率达到数十兆赫兹（以制成频率达到数十兆赫兹（10107 7HzHz）的振子。但）的振子。但是来源于径向或者纵向振动的高次泛音所形成的是来源于径向或者纵向振动的高次泛音所形成的杂波干扰大。杂波干扰大。消除干扰的方法：消除干扰的方法：调整振子几何尺寸；调整振子几何尺寸； 能陷模式能陷模式104能陷模式实际上是：厚度伸缩、厚度切变、厚度厚度伸缩、厚度切变、厚度扭曲振动扭曲振动模式；只是振子电极面远小于压电陶瓷片的总面积，且与厚度有适宜的匹配关系。振动能量绝大部分集中在点电极范围内，形成“能量封闭”的振动模式。在交变电场作用下，沿厚度方向产生振动，其振幅随着至电极中心距离的增加，呈指数式衰减。105厚度伸缩厚度伸缩 TETEn n: thickness extension: thickness extension厚度切变厚度切变 TSTSn n: thickness shear: thickness shear厚度扭曲厚度扭曲 TTTTn n: thickness torsion: thickness torsion 厚度切变和面切变的耦合波厚度切变和面切变的耦合波106谐振频率与压电陶瓷片的厚度有关。谐振频率与压电陶瓷片的厚度有关。为提高频率通常将压电陶瓷片磨得很薄，有时为提高频率通常将压电陶瓷片磨得很薄，有时考虑到压电陶瓷自身强度太低，可用特制的陶考虑到压电陶瓷自身强度太低，可用特制的陶瓷片作垫片来防止压电陶瓷片损坏。常用于高瓷片作垫片来防止压电陶瓷片损坏。常用于高频场合。频场合。107设晶片沿设晶片沿x x方向的尺寸无限大，研究位移沿方向的尺寸无限大，研究位移沿x x方方向的切变波。在晶片上下主表面为自由机械边向的切变波。在晶片上下主表面为自由机械边界条件下，位移的解为：界条件下，位移的解为：xyz zcos()exp()tn yujtkzl式中：式中：l lt t为片厚，为片厚， 为角频率，为角频率，k k为为z z方向的波数。方向的波数。108201tnfklnf波数波数k k的表达式为：的表达式为：式中：式中：f f0 0为无限宽压电片（白片）厚度切变振为无限宽压电片（白片）厚度切变振动的基频；动的基频；n n为泛音次数。为泛音次数。109以基波以基波n=1n=1为例：为例：当频率当频率f f高于高于f f0 0，波数，波数k k为实数，表示波能够沿为实数，表示波能够沿z z方向传播；方向传播；若频率若频率f f低于低于f f0 0，波数，波数k k为虚数，表示波能够沿为虚数，表示波能够沿z z方向做指数衰减；方向做指数衰减；为为f f0 0晶片的截止频率。晶片的截止频率。110由于电极质量的负载效应和压电效应的反作用，由于电极质量的负载效应和压电效应的反作用，使压电片的电极区、非电极区的密度以及弹性常使压电片的电极区、非电极区的密度以及弹性常数均又微小差别，导致电极区基频数均又微小差别，导致电极区基频f f0 0降到降到f f0 0以以下。下。电极电极f f0 0f f0 0f f0 0 111当激励电场频率为当激励电场频率为f f，而且，而且f f0 0ffff0 0时，振动时，振动能量被限制在电极区域。这种波叫做能量被限制在电极区域。这种波叫做能陷波能陷波，其振动模式称为其振动模式称为能陷模式能陷模式。这样基片所产生的。这样基片所产生的高次泛音的干扰也就随即消失。高次泛音的干扰也就随即消失。能陷振动模式在高频滤波器中有广泛的应用。能陷振动模式在高频滤波器中有广泛的应用。112由于能陷振动模式可以使晶片两端面的影响减小由于能陷振动模式可以使晶片两端面的影响减小到忽略不计，而且同一晶片上数个振子互相之间到忽略不计，而且同一晶片上数个振子互相之间互不干扰，这些就是能陷振子和单片压电滤波器互不干扰，这些就是能陷振子和单片压电滤波器的基本原理。的基本原理。但是在设计时还必须考虑其端面以及邻近振子的但是在设计时还必须考虑其端面以及邻近振子的影响。影响。113小结小结较为详细地求解了薄圆片压电振子的径较为详细地求解了薄圆片压电振子的径向伸缩振动向伸缩振动; ;得到机电耦合系数与谐振得到机电耦合系数与谐振和反谐振频率之间的关系和反谐振频率之间的关系; ;简单地介绍了几种其它压电振子的振动简单地介绍了几种其它压电振子的振动模式模式: :薄圆环的径向振动薄圆环的径向振动, ,薄球壳的径向薄球壳的径向振动振动, ,薄片的厚度伸缩振动。薄片的厚度伸缩振动。切变振动，弯曲振动，能陷振动模。切变振动，弯曲振动，能陷振动模。114英国第英国第4 4代机敏级攻击型核潜艇代机敏级攻击型核潜艇20082008年年6 6月下水月下水（Class AstuteClass Astute）安装二）安装二0 0七六声纳系统七六声纳系统