二项式定理典型例题.docx

文本为Word版本，下载可任意编辑二项式定理典型例题 篇一：二项式定理十大典型例题配套练习 中国领先的个性化教育品牌 精锐教育学科教师辅导讲义 篇二：二项式定理知识点及跟踪典型例题 二项式定理知识点及典例跟踪练习（含答案） 重点，难点解析 1熟练掌握二项式定理和通项公式，掌握杨辉三角的结构规律 二项式定理: 式系数（0rn）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且 2掌握二项式系数的两条性质和几个常用的组合恒等式. 对称性： 增减性和最大值: 先增后减.n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为 . ；n为奇, 叫二项 , 注意项的系数和二项式系数的区别. 数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为 例题分析: 一、与通项有关的一些问题 例1在的展开式中，指出 1）第4项的二项式系数 2）第4项的系数 3）求常数项 解: 展开式的通项 1） ，二项式系数为 ； . ； 为展开式中的第r+1项. 2）由1）知项的系数为 3）令6-3r=0, r=2, 常数项为 例2若 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项. 分析: 通项为, 1 前三项的系数为，且成等差， 即 解得:n=8. 从而 ，要使Tr+1为有理项，则r能被4整除. 例31）求 解: 的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数. 1） 令6-2r=0, r=3, 常数项为 通项 . ， 2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5 展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到.即为 ，因而其系数为240. 例4(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_. 10 分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而abc的系数为 例5(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)100的展开式中x3的系数为_. 分析: （法一）展开式中x项是由各二项展开式中含x项合并而形成.因而系数为 3 3 532 . 2 （法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:原式 = 要求x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为 二、有关二项式系数 的问题. . , 例6(2x+xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=_. 分析:二项式系数最大的为第5项， 解得:x=1或. 例7的展开式中系数最大的项为第_项. 分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法. 设第r+1项的系数最大， 则 三、赋值法: 例8已知 解得:， r=7, 因而第8项系数最大. 1）求a0, 2）求a1+a2+a3+a4+a5 3）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)24）求a1+a3+a5 5）|a0|+|a1|+|a5| 分析: 1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0, (1-0)5=a0, a0=1. 2）令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又a0=1, a1+a2+a3+a4+a5=-2. 3）令x=1，得a0+a1+a2+a5=-1 (*) 令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (*) 因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 3 4）联立(*),(*)两方程，解得a1+a3+a5=-122. 5） 因而 |a0|+|a1|+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和， |a0|+|a1|+|a5|=(1+2)5=35=243. 小结:求展开式的系数和只需令x=1可解； 赋值法也需合情合理的转化. 例9已知则n=_. 分析:令x=1，则 由已知， 2n+1-2=62, 2n+1=64, n=5. 例10求 分析: 研究其通项 . n , 其中b0+b1+b2+bn=62, , 的展开式中有理项系数的和. 显然当r=2k(kZ)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)的奇数项的系数和. 设 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+antn 令t=1，即3n=a0+a1+a2+an令t=-1， 即1=a0-a1+a2-+(-1)nan 上两式相加，解得奇数项系数和 四、逆用公式 . 432 例11求值S=(x-1)+4(x-1)+6(x-1)+4(x-1)+1 解 : 例12求值: 原式= 4 五、应用问题 2n+2 例13求证:3-8n-9能被64整除. 证明: 能被64整除. 92 例1491除以100的余数为_. 分析:9192=(90+1)92 被91100除的余数为81. 小结:若将91整理成(100-9) 92 92 92 随之而来又引出一新问题，即992被100除的余数是多少，所以运算量较大. 例15求0.9983的近似值（精确到0.001) 解 : 选择题 1(a+b+i)10的展开式中含ab的项的系数是（ ） A、 B、 C、 D、 2在（1-x）(1+x)的展开式中，x的系数是（ ） A、-297 B、-252 C、297 D、207 3如果展开式(1+x)2·(1-x+x2)k中，x3的系数是0，那么自然数k的值是（ ） A、2B、3 C、4 D、5 5 篇三：二项式定理经典习题及答案 二项式定理 1. 求(x? 2 19 )展开式的： 2x （1）第6项的二项式系数； （2）第3项的系数； （3）x的系数。 5 分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为C9?126； 9 （2）T3?C9?(x)?(?（3）Tr?1?C9?(x)系数是(?)C9? 51 227 12 )?9x12，故第3项的系数为9； 2x 1r1r)?(?)rC9?x18?3r，令18?3r?9，故r3，所求2x2 r29?r ?(? 1 2 33 21 2 2. 求证：51?1能被7整除。 01515151 分析：5151?1?(49?2)51?1?C514951?C514950?2?C5149?250?C512?1，5151除C512?1以外各项都能被7整除。 510171161617 又C51?251?1?(23)17?1?(7?1)17?1?C177?C177?C177?C17?1 显然能被7整除，所以51?1能被7整除。 3. 求91除以100的余数。 019192分析：9192?(90?1)92?C92 9092?C929091?C9290?C92 9192由此可见，除后两项外均能被100整除，而C9290?C92?8281?82?100?81 92 51 故91除以100的余数为81。 4.（2022 北京卷文）若(14?a?a,b为有理数），则a?b?A33 B 29C23 D19 B 本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. .w 92 1? 4 ?C 04 ?C 14 ?C 1 24 2 ?C 34 ?C 3 44 4 ?1?12?4?17? 由已知，得17?a?a?b?17?12?29.故选B. 5.（2022北京卷理） 若(15?a?a,b为有理数），则a?b?（ ） A45 B55C70D80 C 本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ? 15 ?C 05 ?C 15 ?C 1 25 2 ?C 35 ?C 3 45 4 ?C 55 5 ?1?20?20?41? 由已知，得41?a?a?b?41?29?70.故选C. 6. 已知(x? 12x )n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。 （1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。 分析：依条件可得关于n的方程求出n，然后写出通项Tr?1，讨论常数项和有理项对r的限制。 解：依题意，前三项系数的绝对值分别为1，Cn()，Cn() 1 12 2 12 2 且 1112 2Cn?()?1?Cn?()2 22 即n?9n?8?0 解得n8或n1（舍去） 2 ?Tr?1?C(x) r 8 8?r 3r C8r16? (?)?(?1)rx4 22x 1 rr （1）若Tr?1为常数项，当且仅当展开式中没有常数项。 （2）若Tr?1为有理数，当且仅当 16?3r ?0，即3r?16，而r?Z，这不可能，故416?3r 为整数。 4 ?0?r?8，r?Z ?r?0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，T1?x4，T5? 12 7. （1）如果1?2Cn?22Cn? 351?2 x，T9?x 8256 n012n ?2nCn?2187，则Cn?Cn?Cn?Cn? n?1n （答：(n?2)?2） ?(n?1)Cn 9 ?a9x，则a0?a1?|a2|? 128）； 012 （2）化简Cn?2Cn?3Cn?92已知(1?3x)?a0?a1x?a2x? ?|a9|等于_ （答：4）； （2）(1?2x)2022?a0?a1x?a2x2? )?a2022x2022，则(a0?a1)?(a0?a2 （答：2022）；（3）设(1?x?x2)n?a0?a1x?a2x2?a2nx2n,?(a0?a2022)_则a0?a2?a2n 9 3n?1 ）。 ?_（答：2 8（湖南理15）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表从上 往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，?，第n次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行1 1 第2行101 第3行 1111 第4行 10001 第5行110011 ? 图1 2?1，32 9（04. 上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _34 _行中从左至右第14与第15个数的比为2:3. 第0行 1 n 第1行11 第2行 121 3行1331 第 第4行 14641 第5行15 10 10 51 ? ? 10.（2022江西卷理）(1?ax?by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a,b,n的值可能为 Aa?2,b?1,n?5Ba?2,b?1,n?6 Ca?1,b?2,n?6Da?1,b?2,n?5. 答案：D (1?b)n?243?35，(1?a)n?32?25，则可取a?1,b?2,n?5，选D 11.(2022湖北卷理) 设n? ?x)2n?a0?a1x?a2x2?.?a2n?1x2n?1?a2nx2n，则2 lim(a0?a2?a4?.?a2n)2?(a1?a3?a5?.?a2n?1)2? A.?1 B.0 C.1 D B 令x? 0得a0?令x? 1时2n1?n 2 ?1)2n?a0?a1?a2?a2n 1)2n?a0?a1?a2?a2n 令x? 1时?1)2n?1)2n 两式相加得：a0?a2?a2n? 21)2n?1)2n 两式相减得：a1?a3?a2n?1? 2 代入极限式可得，故选B 12.（2022湖北卷文）已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+a3x3,则. 40 r 因为Tr?1?C5?(ax)r.解得a?2,b?40 13.（2022四川卷文）(2x? m 16 )的展开式的常数项是 （用数字作答）2x 20 1r )?(?1)rC6r26?2rx6?2r，令6?2r?0，得r?3 2x3 故展开式的常数项为(?1)3C6?20 Tr?1?(?1)C6(2x) r r 6?r ( 14.(2022湖南卷理) 在(1?x)3?(12?(1的展开式中，x的系数为用数字作答) ：7 . 23 由条件易知(1?x)3,(13,(13展开式中x项的系数分别是C1即3,C3,C3， 所求系数是3?3?1?7 15.（2022浙江卷理）观察下列等式： 15 C5?C5?23?2， 159 C9?C9?C9?27?23， 15913C13?C13?C13?C13?211?25， 1593 C1C1?7?C1?7C?171C7 17 ?27?125， 1 由以上等式推测到一个一般的结论： 159 对于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1? * 4n?1 ?C4n?1?. 答案：2 4n?1 ?1?22n?1 n n 这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有?1?，二项指 数 分 别 为 24n?1,22n?1 ， n 因此对于 n?N* ， 159 C4n?1?C4n?1?C4n?1? 4n?1 24n?1?1?22n?1 ?C4n?1? 16.在(x23x2)5的展开式中，x的系数为 A.160 B.240 C.360 D.800 223310103 17.已知SC110(x?1)?C10(x?1)?C10(x?1)?C10(x?1)在S的展开式中，x项的系数为 34A.C10?C10?C1010 3452107B.C10?C10C14?C10C5?C10C10 C.0 D.1 18.(2022年全国高考题)(x2+1)(x-2)7的展开式中x3项的系数是_. 答案: 1008 19.(x?1)4?(x?1)5展开式中x4的系数为 A.40 B.10 C.40 D.45 20.已知(x23x2)n展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项. 答案：(1)270x ? 223 (2)405x 263 1232nn?1 21.设n?N，则Cn?Cn6?Cn6?Cn6?。 12233nn 解：由二项式定理得1?Cn6?Cn6?Cn6?Cn6?(1?6)n，即1232nn?1 1?6(Cn?Cn6?Cn6?Cn6)?7n，故原式? 1n (7?1)。 6 22. 在(x?2)2022的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x?（ ） A.2 3008 3008 2时，S等于 B.?2 C.2 3009 D.?2 3009 解：令(x?2)2022?a0?a1x?a2x2?a3x3?a2022x2022?x2022， 取x? 2,x?2，分别得 a0?2a1?(2)2a2?(2)3a3?x2022?0 a0?2a1?(2)2a2?(2)3a3?x2022?23009 两式相减得2a1?(2)3a3?(2)2022a2022?23008 故选B项。 23. 农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2022年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2022年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元。根据以上数据，2022年该地区农民人均收入介于（ ） A.4200元 4400元 B.4400元 4600元 C.4600元 4800元 D.4800元 5000元 解：2022年农民工资性收入为 12 1800(1?0.06)5?1800(1?C5?0.06?C5?0.062) (1?0.3?0.036) ?1800 ?1800?1.336?2405（元） 又2022年农民其它人均收入为1350?160?5?2150（元） 故2022年农民人均总收入约为2405?2150?4555（元）。 故选B项。 24.（2022）已知数列an（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列，（1）求和： 120223 （2）由（1）的结果归纳概括出关于正a1C02?a2C2?a3C2，a1C3?a2C3?a3C3?a4C3；122 整数n的一个结论，并加以证明。（1）a1C02?a2C2?a3C2?a1(1?q)； 0233 （2）归纳概括的结论为：若数列an是首项a1C3?a2C13?a3C3?a4C3?a1(1?q)；123nn 为a1，公比为q的等比数列，则a1C0n?a2Cn?a3Cn?a4Cn?(?1)an?1Cn ?a1(1?q)n(n?N)，证明略 二项式定理典型例题第 34 页 共 34 页