z变换与序列傅立叶变换.ppt

中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换2/742-1 2-1 引言引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算、时域分解、微分方程求解、卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算、卷积和、差分方程 的求解。中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换3/74二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域分析。 2.离散时间信号与系统： z变换 序列傅立叶变换（DTFT） 离散傅立叶变换DFT(FFT)。 z域分析、频域分析。中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换4/74一、z变换定义 2-2 2-2 z变换的定义及收敛域变换的定义及收敛域nnznxzX)()( z变换式变换式 记作( ) ( )X zx n Z中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换5/74二.收敛域 1.定义: 使序列 的z变换 收敛的所有z值的集合称作 的收敛域。2.收敛条件： 收敛的充要条件是绝对可和绝对可和。Mznxnn)(即：( )x n( )X z( )X z( )X z中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换6/74zz为使上式成立，就须确定 取值的范围，即收敛域。由于 为复数的模，则可以想象出收敛域为一圆环状区域，即RzR图2.1.1 环状收敛域jIm（z）Re（z）RR0RRRRz)(zXz其中， ， 称为收敛半径， 可以小到0，而 可以大到 。式（2.1.4）的 平面表示如图2.1.1所示。因为 是复变量的函数，所以我们用复数 平面来表示。中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换7/74常见的一类 变换是有理函数，即z)()()(zQzPzX0)(zXz)(zX)(zXz)(zXz)(zX使 的那些 值称为 的零点，而使 的那些 值称为 的极点。零点、极点也可能包含 处的点。由于 在收敛域内是解析函数，所以，收敛域内不包含极点。中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换8/74(1).有限长序列nnnnnxnx其他, 0),()(21;)(,)()(2121nnnznxznxzXnnnnn，若;)(21nnnznxn，是有界的，必有考虑到2、序列形式与其z变换收敛域的关系中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换9/7401/,00,00,(0,)nnnnnnnzzzznzzzzzzzz 因此，当时，只要，则同样，当时，只要，则所以收敛域至少包含，也就是除外的开域，即所谓“有限 平面”。RezImzj12121212(1)00(2)00(3)00(4)00nnznnznnznnz 中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换10/7411, 0),()(nnnnnxnx1110)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzXx(n)n0n11.(3). 右边序列z 负有限长序列: xzRz 的负幂级数：xRz 综合：xRRezImzj收敛域中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换11/74(4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为：0, 00),()(nnnxnxzRx中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换12/742201( )( )( )( )nnnnnnnnX zx n zx n zx n z(5)左边序列22, 0),()(nnnnnxnxx(n)02n0 xzR综合：0z正有限长序列： 0 xzzR的正幂级数：RezImzjxRz中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换13/7410( )( )( )( )nnnnnnX zx n zx n zx n z(6)双边序列0nx(n)0 xzR左边：xzR右边：xRRezImzjxRxxRzR综合：中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换14/74)()(nnx0 ( )( )1nnnn zzZ其收敛域应包括即充满整个z平面。, 0zz,0 z 三、常用序列的z变换 1、单位样值序列中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换15/742、阶跃序列)()(nunx1)()()(annuanunx111)(1zzzzX1z收敛域为 中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换16/743、单位斜变序列)()(nnunx2)1()(zzzX1011zznn1z210)1()1 (1znznn0)(nnnzzX1z将上式两边对 求导得， 两边同乘以 得，收敛域 1z1z中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换17/74nnnnnnnnnazazazazzaznuazX)()(1)()()(1211010)()(nuanxn当时，这是无穷递缩等比级数。az 11( )1zX zazza此时，4.右边指数序列RezImzjza0收敛域：az *收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换18/745、左边指数序列nnnnnnnnnnzbzbzbzbzbznubnx)()() 1()(121111) 1()(nubnxn当|b|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛RezImzjb收敛域：bz *收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。11( )1b zzX zb zzb 故中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换19/746、双边指数序列) 1()()(nubnuanxnn(0)ba该序列的 变换为znnnnnnznubnuaznxzX) 1()()()(00101nnnnnnnnnnnnzbzazbza若 ，则上面的级数收敛，得到bzaz ,bzzazzbzbazzzX1)(bza中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换20/74 2-3 2-3 z反变换反变换一.定义： 已知 及其收敛域,反过来求序列 的变换称作z反变换。1( )Z ( )x nX z记作：( )x n( )X z中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换21/74),(,)(21)(,)()(1xxcnxxnnRRcdzzzXjnxRzRznxzX反：正：z变换公式：c为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.ImzjRezxRxR 0c中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换22/741、部分分式展开法2、幂级数展开法（自学P43-45）3、留数法（自学P45-47）二.求z反变换的方法中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换23/74 部分分式法部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式 部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。kAxa)( kBAxxbax)(2中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换24/74因此， 可以展成以下部分分式形式其中，MN时，才存在Bn；zk为 的各单极点， 为 的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为： 通常， 可表成有理分式形式：iNiiMiiizazbzQzPzX101)()()( )X z( )X z0z( )X z( )X zskkiksNkkkNMnnnzzCzzAzBzX11110)1 (1)(skzzXzzdzdksCsNkzzXzzzzXsAikkzzsikskskzzkzzk, 2 , 1,)()()!(1, 2 , 1,)()()(Re中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换25/745 . 02)5 . 0)(2()()5 . 0)(2()5 . 01)(21 (1)(21211zAzAzzzzzXzzzzzzX解：31)() 5 . 0(34)()2(5 . 0221zzzzXzAzzXzA2,)5 . 01)(21 (1)(11zzzzX的z反变换。例 利用部分分式法，求中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换26/745.031234)(zzzzzX)()5 . 0(31234)(, 2nunxznn序列为右边序列又) 1()5 . 0(31234)(, 5 . 0nunxznn序列为左边序列当)()5 . 0(31) 1(234)(, 25 . 0nununxznn序列为双边序列当中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换27/74 2-4 2-4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理Z ( )( ),Z ( )( ),xxyyx nX zRzRy nY zRzR*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.1.线性线性Z( )( )( )( ),max(,)min(,)xyxyax nby naX zbY zRRzRR如果 ,则有：中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换28/74例2-10 已知 ,求其z变换。)()cos()(0nunnx0001110120111Zcos() ( )2 111cos,112cosjjn u nezezzzzz因此，解：0000000001111cos() ( ) ( )21Z( ),11Z( ),111Z( ),11jnjnnjnjjjnjjn u neeu na u nzaazeu nzeezeu nzeez中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换29/742. 2. 序列的移位序列的移位 ()( ) ;mxxx nmzX zRzRZ如果则有： ( )( ),xxx nX zRzRZ例2-11 求序列 的z变换。23222 ( ),11 (3),1111 ( ),011zu nzzzzu nzzzzzzzzx nzzzzZZZ000() ()( )stf tt u tteF sLx(nm)u(n)Z注：( )( )(3)x nu nu n中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换30/743.3.z域尺度变换域尺度变换( (乘以指数序列乘以指数序列) )( )( ) ;nxxza x nXa Rza RaZ ( )( ),xxx nX zRzRZ如果，则证明：( )( )( )( )( ) ;nnnnnnxxxxa x na x n zzzx nXaazRRa Rza RaZ即1()( )sf atFaaL中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换31/744.4.序列的线性加权序列的线性加权( (z域求导数域求导数) )如果 ( )( ),xxx nX zRzRZ，则( )( ),xxdnx nzX zRzRdz Z证明：dzzdXznnxZznnxzznnxzdzdnxznxdzddzzdXznxzXnnnnnnnnnn)()()()()()()()(,)()(11即，对其两端求导得( )( )dF stf tdsL中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换32/74例2.3.3 求 1( )ln(1)X zazza的z反变换。 解 将 1( )ln(1)X zaz两端对z求导得 21( )1dX zazdzaz21( )()( )1zndX zaaa u nzdzaz za依据移位性质得 11( )()(1)1zndX zazaau nzdzaz 再依据z域微分性质知 1( )( )1zdX zaznx nzdzaz 综合上述两式，得 1( )()(1)nnx naau n中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换33/74即所求序列为 1()(1)( )naau nx nn中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换34/745. 5. 共轭序列共轭序列*( )();xxx nXzRzRZ，如果 ( )( ),xxx nX zRzRZ，则证明：* ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( );nnnnnxxnx nx n zx n zx n zX zRzRZ，中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换35/746. 翻褶序列111 ()( ) ;xxxnXzzRRZ如果 ( )( ),xxx nX zRzRZ，则证明：11 ()()( )1( )()( )11nnnnnxxnxxxnxn zx n zx n zXRzRzzRRZ，即中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换36/74。，则对于因果序列)(lim)0()(zXxnxz7. 7. 初值定理初值定理证明：)0()(lim,)2() 1 ()0()()()()(210 xzXzxzxxznxznunxzXznnnn显然)(lim)(lim0ssFtfst中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换37/748. 终值定理11)(Re)()1(lim)(lim1)()()(zznzXszXznxznxZzXnx阶极点，则有处有一单位圆上在单位圆内，且只允许的极点，且对于因果序列证明： (1)( )(1)( ) (1)( )nnx nx nzX zx nx nzZ)(lim)(lim0ssFtfst1lim (1)( )nmnmx mx m zZ中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换38/74 又由于只允许 在 处可能有一阶极点，故因子 将抵消这一极点，因此 在上收敛。所以可取 的极限。 z1)(lim)() 1(lim)(lim)1(lim)() 1()0() 1 (0)0(lim1)() 1(lim)() 1(lim111nxzXznxnxnxnxxxxmxmxzXznznnnnmmnz( )X z(1) ( )zX z1z1z 1z中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换39/749. 9. 有限项累加特性有限项累加特性nmxxRzzXzzmxZRznxZzXnx0 1 ,max),(1)(,),()()(则，且对于因果序列证明：，交换求和次序，得的取值范围分别为可知，令, 0,)()()(, )()(0000 nmmnmnzmxmxZnyZmxnynnmnnmnmZZZ中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换40/7400001201100( )( )( )( )(1)11( )( )11( ),max,11nnnnmnmmn mmmmmmmxx mx m zx mzx m zzzx m zx m zzzzX zzRz Z中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换41/740( )( )1nmzx mX zzZ差分：11 ( )(1)(1)( )( )zx nx nzX zX zzZ累加：中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换42/7410.10.序列的卷积和序列的卷积和( (时域卷积定理时域卷积定理) ) ,min,max)()()()(,)()(,)()()()()()()(hxhxnnxxmRRzRRzHzXnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXmnhmxnhnxny则有：，而且如果中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换43/74证明： ( )( ) ( )( )() ()()()()( )()( )( )( )max,min,nnnnmnmnlmmlmmxhxhx nh nx nh nzx m h nmzx mh nm zx mh l zzx m zHzXz HzRRzRR Z中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换44/74例2-12.),()()(),1()()(),()(1abnhnxnynuabnubnhnuanxnnn求已知1()(),;()(),;()()()zXzZx nzazazzHzZ h nazzbzbzazazbzbzbzbzzazYzXz Hzza zbzb解：( )( )( )XzHzY zzb的 极 点 与的 零 点 相 消 ，的 收 敛 域扩 大 ， 为。1()()()()()ny nx nh nZYzb u n中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换45/7411.11.序列相乘序列相乘( (z域卷积定理域卷积定理) )其中,c是在变量v平面上， ， 公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。nxnxccnnxxRRzRRdvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXnhnxny;)()(21)()(21)()(),()(;),()(),()()(11则有：，且如果( / )X z v( )H v中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换46/74 12.12.帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理(parseval)(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线c在公共收敛域内。*111( )( )( )()2cnx n h nX v Hv dvjv ( ) ( ),;( ) ( ),;1.xxhhxnxnX zx nRzRH zh nRzRR RR R ZZ且如果则有:中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换47/74*几点说明：111()()()()2cnx n h nXv Hvd vjv 1( )( )()()2jjnx n hnX eHed。221( )()2jnx nX ed这表明序列的能量可用频谱求得。这就是帕塞瓦尔定理1.当 为实序列时( )h n2.当围线取单位圆 时， ，则1v 1/jvve3.当 时( )( )h nx n中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换48/742-5 2-5 z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 2.5.1、z变换与拉氏变换的关系设 为连续信号， 为其理想抽样信号)(txa)( tx根据z变换的推导过程，可知：当 时，序列x(n) 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。即：或者：sTez)()()(sXeXzXsTezsTzTssXzXln1)()(中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换49/74 s平面用直角坐标表示为： z平面用极坐标表示为： 又由于 所以有：因此， ；这就是说， z的模只与s的实部相对应, z的相角只与s虚部 相对应。TerT,TjTjeerezsTez jrez js中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换50/7400(1). 与 的关系)(Tern ，即s平面的虚轴 ，即z平面单位圆；n ，即s的左半平面 ，即z的单位圆内；n ，即s的右半平面 ，即z的单位圆外 。0001r1r1rrjImzRezj中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换51/740jImzRezT3TTT3(2). 与 的关系（ ）jTn 即s平面的实轴 即z平面正实轴；n 即s平行实轴的直线 即z始于原点的射线；n 即s宽的水平条带 即整个z平面。2T00(, ) 00T(, )T T 中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换52/742.5.2 2.5.2 z变换和傅氏变换的关系变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴 的特例,因而映射到z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。 用数字频率作为z平面的单位圆的参数， 表示z平面的辐角，且 。kTjkjXTjX)2(1)()()()(jXeXzXTjezTjjezTsj 中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换53/74，则考虑到T)()()(jXeXzXjezjkTjkjXTjX)2(1)(又)2(1)()(kjezTkjXTeXzXj所以，序列在单位圆上的z变换为序列的傅氏变换。中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换54/742.5.3 常用信号的常用信号的z变换与拉氏变换、傅氏变变换与拉氏变换、傅氏变换换222z( )1( )1( )111( )( )( )11( )( )( )( )111( )( )( )( )(1)atatnttnzeu teu ta u njasazazu tu nu tszjznu ntu ttu tjzs 傅氏变换拉氏变换变换中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换55/742.5.1 2.5.1 定义定义DTFT ( )()( )( )jjjnz enx nX eX zx n e11( )DTFT ()()2jjj nx nX eX eed反变换:2-62-6 序列的傅立叶变换（序列的傅立叶变换（DTFT） 离散时间傅立叶变换( )nx n 收敛条件：收敛条件：中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换56/742.5.2 DTFT2.5.2 DTFT的性质的性质（1）周期性由序列的傅立叶变换公式：其中的M为整数。因此序列的傅立叶变换是频率的周期函数。(2)(2)()( )()jMjM njnX ex n eX e中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换57/74（2）DTFT的线性设那么式中a和b为常数。1212DTFT( )( )()()jjax nbx naX ebXe1122()DTFT( ),()DTFT( )jjX ex nXex n（3）DTFT 的时移和频移特性0000()DTFT ()()DTFT( )()j njj njx nneX eex nX e 中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换58/74（4）时域卷积定理设则)()()(nhnxny)()()(jjjeHeXeY（5）频域卷积定理设则)()()(nhnxnydeHeXeHeXeYjjjjj)()(21 )()(21)()(中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换59/74（6）帕塞瓦尔定理能量守恒221( )()2jnx nX ed（7）序列的翻褶与共轭DTFT ()()jxnX e*DTFT( )()jx nXe*DTFT()()jxnXe中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换60/74(8) DTFT的共轭对称性共轭对称序列 共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。共轭反对称序列 共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数。序列可以分成共轭对称 部分与共轭反对称 部分)()(nxnxee)()(nxnxoo)()()(nxnxnxoe)()()()()()(*njbnanxnjbnanxee( )ex n( )ox n中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换61/74此时：对上面两式取DTFT，得到结论结论：序列的共轭对称部分 对应DTFT的实部，序列的共轭反对称部分 对应DTFT的虚部。)()()(nxnxnxoe )()(21)()(21nxnxnxnxnxnxoe1DTFT( )()()Re()()21DTFT( )()()Im()()2jjjjeRjjjjoIx nX eXeX eXex nX eXejX ejX e( )ex n( )ox n中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换62/74共轭分解 )()(21)()(21nxnxnxnxnxnxoeDTFT( )Re()DTFT( )Im()jejox nX ex njX e0DTFTRe ( )()DTFT Im ( )()jejx nXejx nXe序列共轭分解，对应频谱的实部和虚部分解序列的实部和虚部分解，对应频谱的共轭分解中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换63/742.6 利用z变换求解差分方程 零输入响应的z域求解对于线性移不变离散时间系统，在零输入条件下，即激励 时，其差分方程为( )0 x n 0)(0Niiinya10a， 0N)(,),2(),1(Nyyy响应为 时的值，则初始条件为两边取单边z变换，并根据z变换的位移性质，可得0)()(01NiikkiizkyzYza10a中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换64/74NiiiNiikkiizazkyzazY011)()(10a)()(1zYZny响应的序列可由z反变换求得中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换65/742.零状态响应的z域求解00()()NMirira y nib x nr0)()2() 1(Nyyy在零状态条件下，即 00( )( )NMiririra z Y zb X z z00( )( )MrrrNiiib zYzXza z中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换66/741( ) ( )zsynZY z3.全响应的z域求解)()()(nynynyzszi1100 ( )( )( )( )NMikrjirikirjra zY zy k zb zX zx j z中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换67/74线性移不变系统 为单位抽样响应( )( )( )( ),( )( )Y zY zX z H zH zX z 称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆 上的系统函数就是系统的频率响应。2 2.7 .7 离散系统的系统函数及频率响应离散系统的系统函数及频率响应jez ( )H z( )h n( )h n( )x n( )y n)(*)()(nhnxny2.7.1系统函数的定义中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换68/742.7.2 2.7.2 系统函数和差分方程的关系系统函数和差分方程的关系NkkkMmmmMmmmMkkkMmmMkkzazbzXzYzHzXzbzYzamnxbknya000000)()()()()()()(MkkMmmzdzcKzXzYzH1111)1 ()1 ()()()(线性移不变系统常用差分方程表示：取z变换得：对上式因式分解，令得：Kba00/中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换69/742.7.3 系统的频率响应系统的频率响应 系统的单位抽样响应 的傅氏变换也即单位圆上的z变换 ，称作系统频率响应。)()()()()()()()()(jjjeHeXeYzHzXzYnhnxny 也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。1()( )( )jjnznH eh n eHz对于线性移不变系统：( )h n中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换70/74正弦稳态响应正弦稳态响应 当系统输入为正弦序列时，则输出是同频率的正弦序列，其幅度受频率响应幅度 的加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。)cos()(0nAnx)(jeH000( )() cosarg()jjy nA H enH e输入：系统：响应：0()jH e中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换71/742.7.4 利用 的零极点分析系统)(zH1系统的稳定性和因果性判定图2.7.1 因果稳定系统函数收敛域中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换72/74 一线性移不变系统稳定的充要条件是 必须满足绝对可和： 。 z变换 的收敛域由满足 的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有 ，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。 因果系统的单位抽样响应为因果序列， 其收敛域为 ；而因果稳定系统的系统函数收敛域应包含 ，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。( )h n ( )h n( )nh n z ( )h n ( )H zRz 1z 中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换73/742由零极点图分析系统的频率响应NiiMrrMNNiiMrrdzczKzzdzcKzH11)(1111)()()1 ()1 ()(NiijMrrjMNjjdeceKeeH11)()()()(中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换74/741111()arg () arg argarg ()mkMjmjmNjkkMjjmmNjkkjjmmmjjkkkecH eKedH eKecedNMeceedle11();MmjmNmkH eKl因此，MmNkkmjMNKeH11)(arg)(arg模：相角：极点指向向量。极点向量，零点指向向量；零点向量，kkmmdc中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换75/742.2.几点说明几点说明 (1). 表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量 。 (2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。 (3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位 置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。()N Mz()NM中北大学信息与通信工程学院数字信号处理 第二章 Z变换与序列傅立叶变换76/74零点在单位圆上0, 处；极点在 , 处 。 22302232)(jeH。