合肥工业大学13-14第一学期复变函数与积分变换(卓越)试卷A.pdf

合 肥 工 业 大 学 试 卷 （ A）20132014学年第 一 学期课程代码 1402101B 课程名称复变函数与积分变换一、填空题（每小题3 分共 15 分）1.ln(3)_i2函数zw1把z平面上的曲线222xy映射成w平面上的曲线为3 设有级数展开式211sin(1)11nnnczzz， 如果(1)nnncz在12zi处收敛，那么上述级数展开式的成立范围是4. 设C为正向圆周3z，那么积分_Czzdzz5. 函数( )cosf tt的 Fourier变换为()_F二、选择题（每小题3 分共 15 分）1下列说法正确的是（） （A）若( )f z在点0z可导，则( )f z在点0z解析（B）若函数( )f zuiv在区域D内解析，且恒有1uv，则( )f z必为常数（C）若( )f z是区域D内的解析函数，C为的D内的任意一条正向简单闭路，则必有( )0Cf z dz（D）若( )f z在0z处可导，则一定0，使( )f z在0zz内可展开为0zz的幂级数2下列级数中，绝对收敛的级数是（）（A）2211(1)ninn（B）2lnnnni（C）1ln(1)nin（ D）134()8nni3设( )f z在区域D内解析，C是D内的任意一条正向简单闭路，且( )0f z，那么( )( )Cfzdzf z（） . （A）i（B）i（C）0（D）2 i40z是函数11( )sinf zzz的（） （A） 可去奇点（B）二级极点（C）本性奇点（D）二级零点5. 设0zz是函数( )f z的m级零点，则0( )Res,( )fzzf z（ ） （A）m（B）m（C）1 m（D）1m三、 设32( ,)3u x yxxy，（1） 验证( , )u x y为调和函数； （2） 求解析函数( )f z， 使得( ,)u xy为( )f z的实部，且(0)0f； （ 3）求( )fz。 （本题 12 分）四、计算下列积分值（每小题分，共20 分) (1) 计算积分3(+)dCxiyz，积分路径C为复平面上从点0z到点1zi的直线段；(2)10()cosdizizz；(3)1d ,sinCz Cz为正向圆周1z；(4)2(1)(3)zCzedzzz, C为正向圆周342z；(5)12d ,zCz ez C为正向圆周3z五、求函数( )sinzfzez在0z处的 Taylor 级数展开式， 并指出展开式成立的范围 （本题分）六、将函数29( )34zf zzz分别在下列圆环域内展开为Laurent 级数（本题1分）（1）14z；(2) 4z；（2）32z七、设,0,( )0,0,tetf tt(1)求( )f t的 Fourier 变换；(2)证明：20,0,cossind,0,120,0.tettttt（本题分）八、 利用 Laplace 变换求方程322tyyye满足初始条件000,1ttyy的解（ 本题 10 分）