(2022年整理)函数的周期性与对称性..pdf
学海无涯本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载- 39 - 第 5 炼 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）f axf axfx关于xa轴对称（当0a时，恰好就是偶函数）（2）f axf bxfx关于2abx轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如f axf bx的等式只需注意两点，一是等式两侧f前面的符号相同，且括号内x前面的符号相反；二是,a b的取值保证2abx为所 给 对 称 轴 即 可 。 例 如 ：fx关 于1x轴 对 称2fxfx， 或 得 到31fxfx均可，只是在求函数值方面，一侧是fx更为方便（3）fxa是偶函数，则fxafxa，进而可得到：fx关于xa轴对称。 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等， 所以在fxa中，x仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x取相反数时，函数值相等，即fxafxa，要与以下的命题区分：若fx是偶函数，则fxafxa：fx是偶函数中的x占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有fxafxa 本结论也可通过图像变换来理解，fxa是偶函数，则fxa关于0 x轴对称，而fx可视为fxa平移了a个单位（方向由a的符号决定） ，所以fx关于xa对称。在已知对称中心的情况下，构造形如f axfbx的等式同样需注意两点，一是等式两侧f和x前面的符号均相反；二是,a b的取值保证2abx为所给对称中心即学海无涯本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载- 40 - 可 。 例 如 ：fx关 于1,0中 心 对 称2fxfx， 或 得 到35fxfx均可，同样在求函数值方面，一侧是fx更为方便（3）fxa是奇函数，则fxafxa，进而可得到：fx关于,0a中心对称。 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反， 所以在fxa中，x仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x取相反数时，函数值相反，即fxafxa，要与以下的命题区分：若fx是奇函数，则fxafxa：fx是奇函数中的x占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有fxafxa 本结论也可通过图像变换来理解，fxa是奇函数，则fxa关于0,0中心对称，而fx可视为fxa平移了a个单位（方向由a的符号决定） ，所以fx关于,0a对称。4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、 定义：设fx的定义域为D， 若对xD， 存在一个非零常数T， 有fxTfx，则称函数fx是一个周期函数，称T为fx的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为T的自变量函数值相等3、若fx是一个周期函数，则fxTfx，那么2fxTfxTfx，学海无涯本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载- 41 - 即2T也是fx的一个周期，进而可得：kT kZ也是fx的一个周期4、最小正周期：正由第3 条所说，kT kZ也是fx的一个周期，所以在某些周期函数中， 往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数fxC5、函数周期性的判定：（1）fxafxb：可得fx为周期函数，其周期Tba（2）fxafxfx的周期2Ta分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：2fxafxa所以有：2fxafxafxfx，即周期2Ta注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）1fxafxfx的周期2Ta分析：1121fxafxfxafx（4）fxfxak（k为常数）fx的周期2Ta分析：,2fxfxak fxafxak， 两式相减可得：2fxafx（5）fxfxak（k为常数）fx的周期2Ta（6）双对称出周期：若一个函数fx存在两个对称关系，则fx是一个周期函数，具体情况如下：（假设ba） 若fx的图像关于,xa xb轴对称，则fx是周期函数，周期2Tba分析：fx关于xa轴对称2fxfaxfx关于xb轴对称2fxfbx学海无涯本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载- 42 - 22faxfbxfx的周期为222Tbaba 若fx的图像关于,0 ,0ab中心对称，则fx是周期函数，周期2Tba 若fx的图像关于xa轴对称，且关于,0b中心对称，则fx是周期函数，周期4Tba7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制 +粘贴”（3）单调区间： 由于间隔kT kZ的函数图象相同， 所以若fx在,a bbaT上单调增（减） ，则fx在,akT bkTkZ上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为T的函数fx存在一条对称轴xa（或对称中心） ，则fx存在无数条对称轴，其通式为2kTxakZ证明：fx关于xa轴对称2fxfax函数fx的周期为TfxkTfx2fxkTfaxfx关于2kTxa轴对称注：其中（ 3） （4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法二、典型例题：例 1：设( )f x为定义在R上的奇函数，(2)( )f xf x，当01x时，( )f xx，则(7.5)f_ 思路：由(2)( )f xf x可得：fx的周期4T，考虑将(7.5)f用01x中的函数值进行表示：(7.5)3.50.5fff，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调：10.50.52ff，所以1(7.5)2f答案：1(7.5)2f学海无涯本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载- 43 - 例2 ： 定 义 域 为R的 函 数fx满 足22fxfx， 当0,2x时 ，3212xfx，则52f（）A. 14 B. 18 C. 12 D. 14思路：由12222fxfxfxfx，可类比函数的周期性，所以考虑将52x向0,2x进行转化：33225111311122242424fff答案： D 小炼有话说：fx虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔2 个单位的自变量， 函数值呈 2 倍关系。 所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范围进行靠拢。例 3：定义在R上的函数fx对任意xR，都有112,214fxfxffx，则2016f等于（）A. 14 B. 12 C. 13 D. 35思 路 ： 由121fxfxfx及 所 求2010f可 联 想 到 周 期 性 ， 所 以 考 虑11121411211fxfxfxfxfxfxfxfx，所以fx是周期为4 的周期函数，故20164ff，而由已知可得1234125fff，所以320165f答案： D 例 4（2009 山东） ：定义在R上的函数fx满足2log1,012 ,0 xxfxfxfxx，则2009f的值为（）学海无涯本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载- 44 - A. 1B. 0C. 1D. 2思 路 ： 所 给fx的 特 点 为0 x才 有 解 析 式 能 够 求 值 ， 而0 x只 能 通 过12fxfxfx减少自变量的取值，由所求2009f可联想到判断fx是否具有周期性，0 x时，12fxfxfx，则有123fxfxfx，两 式 相加可 得 ：3fxfx，则36fxfxfx，即fx在0 x时周期是 6，故200952fff，而21001011fffffff答案： C 小炼有话说：（ 1）本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而2009x数较大，所以考虑判断函数周期性。（2）如何快速将较大自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。则被除数的函数值与余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。例如本题中200963345，从而20095ff（3）本题推导过程中3fxfx也有其用处，其含义是间隔为3 的自变量函数值互为相反数，相比周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调”从而将自变量放置已知区间内例 5：函数fx是周期为4的偶函数，当0,2x时，2log11fxx，则不等式0 xfx在1,3上的解集为 _ 思路：从已知出发可知0,2x时，fx为增函数，且21log 210f，所以0,1x时，0fx，1,2x时，0fx， 由偶函数可得：1,0 x时，0fx，2, 1fx时，0fx。从而可作出草图。由所解不等式0 xfx可将1,3分为1,00,3两部分，当0 x时，0fx，所以1,0 x，当0 x学海无涯本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载- 45 - 时，0fx，所以1,3fx，综上解集为：1,01,3答案：1,01,3例 6：已知fx是定义在R上的函数，满足0,11fxfxfxfx，当0,1x时，2fxxx，则函数fx的最小值为（）A. 14 B. 14 C. 12 D. 12思路：由11fxfx可得fx是周期为2 的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。由0fxfx可得fx为奇函数，所以考虑区间1,1，在0,1x时，21124fxx，所以max1124fxf，而由于fx为奇函数，所以在1,0 x时，min111224fxff，所以12f即为fx在1,1的最小值，从而也是fx在R上的最小值答案： B 例 7： 已知定义域为R的函数fx满足4fxfx， 且函数fx在区间2,上单调递增，如果122xx，且124xx，则12fxfx的值（）A. 可正可负 B. 恒大于 0 C. 可能为 0 D. 恒小于 0 思路一： 题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性，而124xx可得214xx，因为12x，所以142x，进而将21,4xx装入了2,中，所以由214xx可得214fxfx，下一步需要转化14fx，由4fxfx可得fx关于2,0中心对称， 所以有4fxfx。代入1x可得114fxfx，从而21120fxfxfxfx思路二： 本题运用数形结合更便于求解。先从4fxfx分析出fx关于2,0中 心 对 称 ， 令2x代 入 到4fxfx可 得学海无涯本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载- 46 - 20f。 中 心 对 称 的 函 数 对 称 区 间 单 调 性 相 同 ， 从 而 可 作 出 草 图 。 而1212422xxxx，即12,x x的中点位于2x的左侧，所以1x比2x距离2x更远，结合图象便可分析出12fxfx恒小于 0 答案： D 小炼有话说： （1）本题是单调性与对称性的一个结合，入手点在于发现条件的自变量关系，与所求函数值关系，而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性，所以需要将自变量装入同一单调区间内。而对称性起到一个将函数值等价转化的作用，进而与所求产生联系（2）数形结合的关键点有三个：第一个是中心对称图像的特点，不仅仅是单调性相同，而且是呈“对称”的关系，从而在图像上才能看出12fxfx的符号；第二个是20f，进而可知2,0;,2 ,0 xfxxfx；第三个是1212422xxxx，既然是数形结合，则题中条件也要尽可能转为图像特点，而124xx表现出中点的位置，从而能够判断出12,x x距离中心对称点的远近。例 8：函数fx的定义域为R，若1fx与1fx都是奇函数，则（）A. fx是偶函数B. fx是奇函数C. 2fxfxD. 3fx是奇函数思路：从已知条件入手可先看fx的性质，由1 ,1fxfx为奇函数分别可得到：11 ,11fxfxfxfx，所以fx关于1,0 ,1,0中心对称，双对称出周期可求得2114T，所以C不正确， 且由已知条件无法推出一定符合,A B。对于D选项，因为4T，所以511fxfxfx，进而可推出fx关于3,0中心对称， 所以3fx为fx图像向左平移3个单位， 即关于0,0对称，所以3fx为奇函数，D正确答案： D 例 9：已知定义域为R的函数yfx在0,7上有1和6两个零点，且2yfx与学海无涯本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载- 47 - 7yfx都是偶函数，则yfx在0,2013上的零点个数至少有（）个A. 404B. 804C. 806D. 402思路：已知区间仅是0,7，而所求区间为0,2013，跨度如此之大，需要函数性质。从条件入手2 ,7fxfx为偶函数可得fx关于2,7xx轴对称，从而判断出fx是周期函数，且27210T，故可以考虑将0,2013以 10 为周期分组，先判断出一个周期内零点的个数，再乘以组数，加上剩余部分的零点即可解：2 ,7fxfx为偶函数22 ,77fxfxfxfxfx关于2,7xx轴对称fx为周期函数，且27210T将0,2013划分为0,1010,202000,20102010,2013fx关于2,7xx轴对称4,14fxfxfxfx160ff814860fff34310fff在0,10中只含有四个零点而0,1010,202000,2010共201组所以201 4804N在2010,2013中，含有零点201110,201330ffff共两个所以一共有806 个零点答案： C 小炼有话说：（ 1）周期函数处理零点个数时，可以考虑先统计一个周期的零点个数，再看所求区间包含几个周期，相乘即可。如果有不满一个周期的区间可单独统计（2）在为周期函数分段时有一个细节：“一开一闭”，分段的要求时“不重不漏”，所以在给周期函数分段时，一端为闭区间，另一端为开区间，不仅达到分段要求，而且每段之间保持队型，结构整齐，便于分析。（3）当一个周期内含有对称轴（或对称中心）时，零点的统计不能仅限于已知条件，而要看是否由于对称产生新的零点。其方法一是可以通过特殊值的代入，二是可以通过图像，将学海无涯本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载- 48 - 零点和对称轴标在数轴上，看是否有由对称生成的零点（这个方法更直观，不易丢解）例 10：设函数yfx是定义在R上以1 为周期的函数，若2g xfxx在区间2,3上的值域为2,6，则函数g x在12,12上的值域为（）A. 2,6 B. 20,34 C. 22,32 D. 24,28思路：设02,3x，则02,6g x，因为fx为周期函数，故以fx为突破口，0000002222g xnfxnxnfxxng xn， 考虑在12, 11中14n，所以000142142826,34g xg xg x，在11,12中9n，所以00092 91820, 12g xg xg x，所以g x在12,12的值域为20,34答案： B 三、近年模拟题题目精选1、 （2014，庆安高三期中）已知函数)(xf是 R上的偶函数，且满足3)()1(xfxf，当1,0 x时，( )2f xx，则)5.2007(f的值为（）A0.5 B1.5 C1.5 D 1 2、 （2014， 安徽）设函数fx满足sinfxfxx，当0,x时，0fx，则236f（）A. 12B. 32C. 0D. 123、 （ 2014， 四 川 ） 设fx是 定 义 在R上 的 周 期 为2 的 函 数 ， 当1,1x时 ，242, 10,01xxfxxx，则32f_ 4、 （2014， 新课标全国卷I）设函数,fxg x的定义域都为R，且fx是奇函数，g x是偶函数，则下列结论中正确的是（）学海无涯本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载- 49 - A. fx g x是偶函数B. fx g x是奇函数C. fx g x是奇函数D. fx g x是奇函数5、 （2014，会宁县校级月考） 已知11 ,2fxfxfxfx，方程0fx在0,1内有且只有一个12，则fx在区间0,2014内根的个数为（）A. 1006B. 1007C. 2013D. 20146、已知定义在R上的函数( )f x满足：()( ),(1)(1)fxf xfxfx，当1,1x时，3( )f xx，则(2009)f_ 7 、 已 知 定 义 在R上 的 函 数fx满 足,22fxfxfxfx， 且1,0 x时，125xfx，则2log 20f（）A. 1 B. 45 C. 1 D. 458、已知( )f x是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有(2)( )f xf x，当0,2x时，2( )2f xxx，求(0)(1)(2)(2012)ffff习题答案：1、答案： B 解 析 ： 由3)()1(xfxf可 得 ：( )(1)3f xf x， 两 式 相 减 可 得 ：11fxfx， 所 以fx的 周 期2T， 再 由fx是 偶 函 数 可 得 ：2007.50.50.51.5fff2、答案： A 解析：由sinfxfxx可知231717171sin66662fff，学海无涯本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载- 50 - 171111111sin66662fff，1155511sin666622fff，所以可得：23162f3、答案： 1 解析：2311421222ff4、答案： C 解析：fx为奇函数， 可知fx为偶函数， 所以根据奇偶性的规律可得：fx g x为奇函数，fx g x是偶函数，fx g x是奇函数，fx g x是偶函数，故C 正确5、答案： D 解析：112fxfxT，,2fxfx可得fx关于1x轴对称，因为fx在0,1内有且只有一个零点12，所以由对称性可得fx在0,2只有两个零点1 3,2 2。所以一个周期中含有两个零点，区间0,2014共包含 1007 个周期，所以有2014 个零点6、答案：1解析：由()( )fxf x可得：fx关于0,0中心对称，由(1)(1)fxfx可得：fx关于1x轴对称，所以可求出fx的周期4T，则200911ff7、答案：1解析：fxfx可知fx为奇函数，22fxfx可得4T，所以24log522225541log 204logloglog214455ffff8、答案：0解析：由(2)( )f xf x可得：fx的周期4T，由于fx具备周期性，故求和时可考虑按照周期将一个周期的函数值归为一组，求出一组的结果， 在考虑求和的式子中含有多少组周期即可：学海无涯本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载- 51 - 11,200,3111,400ffffffff12340ffff故(0)(1)(2)(2012)0503 00fffff
