三垂线法求二面角专题.pdf

1 / 4下载文档可编辑（精品）三垂线法求二面角专题1、 （本小题满分 13 分）如图，已知 DA 平面 ABE ，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，在 ABE中，AE=1 ，BE=3。（）证明：平面ADE 平面 BCE ；（）求二面角 BAC E的大小；解： （）DA 平面 ABE ，DA BEABE中，AE=1 BE=3 AB=2 BE EA BEADEBEBCE平面平面平面 ADE 平面 BCE （注：此题也可证明BCEAE面，ADEAE面，从而平面 ADE 平面BCE ）（）过点 E作 EFAB与 F DA 平面 ABE 平面 ABCD 平面 ABE EF 平面 ABCD 过 F 作 FG AC与 G ，连 EG ，则 EG AC （三垂线定理）EGF为二面角 BAC E的平面角。在 RtEFG中6arctan,6tanEGFGFEFEGF（注：此题答案还可写成42arcsin7或者是写成7arccos7）2、 （本小题满分 12 分）如图，ABCD为直角梯形，90ABCDAB，1BCAB，2AD，PA平面ABCD，1PA。、求点P到CD的距离；、求证：平面PAC平面PCD；A D P H F 2 / 4下载文档可编辑、求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。解：取AD的中点F，连结CF。易证四边形ABCF是正方形，1ABCF又2AD112CFAD，CFAFFD90ACD即CDACPA平面ABCDCDPCP到CD的距离为PC，3PC证明：CDAC，CDPC且CPCAC，CD平面PAC又CD平面PCD平面PAC平面PCD解：延长DC交AB的延长线于G，连结PG。平面PAB平面PGPCD，易证DA平面PAB过A作PGAH，垂足为H，连结DH，得到AHD为所求二面角的平面角552AH，5tanAHADAHD5arctanAHD平面PAB与平面PCD所成二面角为5arctan（注：此题答案还可写成30arcsin6或者是写成6arccos6，并且也可用射3 / 4下载文档可编辑影面积法求解）3、 （12 分）如图：已知四棱锥ABCDP中，底面四边形为正方形，侧面 PDC 为正三角形，且平面PDC 底面ABCD ，E为 PC中点。（1）求证：平面 EDB平面 PBC；（2）求二面角CDEB的平面角的正切值。【解析】 （1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线， 不难发现，由于侧面 PDC 为正三角形，所以，PCDE，那么我们自然想到：是否有PBCDE面？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。 面 PDC 底面ABCD ，交线为 DC ， DE在平面ABCD内的射影就是 DC 。在正方形ABCD中，DC CB， DECB。又CBCPC，PC 、PBCBC面， DEPBC面。又DE面 EDB， 平面 EDB平面 PBC。（2）由（1）的证明可知： DE PBC面。所以，BEC就是二面角CDEB的平面角。 面 PDC 底面ABCD ，交线为 DC ，又平面ABCD内的直线 CB DC。 CB面 PDC 。又PC面 PDC ， CBPC 。在 RtECB中，2tanCEBCBEC。4、 （12 分）一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角 .4 / 4下载文档可编辑（1）求证：平面ABD平面ACD；（2）求二面角ABDC的大小 .解析： （1）证明：取BC中点E，连结AE，AB=AC，AEBC平面ABC平面BCD，AE平面BCD，BCCD，由三垂线定理知ABCD.又ABAC，AB平面BCD，AB平面ABD. 平面ABD平面ACD.（2）解：AE面BCD，过E作EGBD于G，连结AG，由三垂线定理知AGBD，AGE为二面角ABD C的平面角EBG=30，BE=22m，EG=42m又AE=22m，tanAGE=GEAE=2，AGE=arctan2.即二面角ABD C的大小为 arctan2.