新人教版七年级下册第六章实数数学教案.pdf

第六章实数6.1 平方根 (3 课时 ) 课程目标一、知识与技能目标 1.通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。 了解算术平方根与平方根的区别与联系。 2.对于任意有理数都能区分其“”、 “”性，运用计算器已势在必行。二、过程与方法目标采用类比平方值的求法，定义出平方根的概念， 同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根， 这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？三、情感态度与价值观目标 1.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。 2.了解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情。教材解读本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法， 通过计算器对任意正数进行开方。这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。学情分析上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。第课时一、创设情境，导入新课玲玲家最近喜事不断，家里新购了一套房子，全家欢欢喜喜地搬进新居，爸爸妈妈又增加了工资。条件改善了，为了给玲玲一个好的学习环境，爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业。爸爸问玲玲：“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子？”玲玲认为正方形桌子更大，可以多堆点书，又可以有足够的位置写字，所以她更喜欢正方形桌子。于是爸爸根据她的喜爱为她购置了一张正方形桌子，玲玲量了量课桌的边长为100cm ，你能算出这张桌子的周长和面积吗？当然可以了， ?可是如果玲玲更直接地告诉爸爸“我想要一张面积约为125dm的正方形桌子” 。?请问她爸爸能为她购置到满意的桌子吗？当然可以，计算正方形的面积必须要知道正方形的边长，根据边长求面积是乘方运算，而根据面积求边长又是什么运算呢？这节课我们就来探讨这个问题。二、师生互动，课堂探究 (一) 提出问题 , 引发讨论 1.你能求出下列各数的平方吗? 0,-1,5,2.3,-15,-3,3,1,15能 .02=0 (-1)2=1 52=25 2.32=5.29 (-15)2=125 (-3)2=9 32=9 12=1 (15)2=125 2.若已知一个数的平方为下列各数, 你能把这个数的取值说出来吗? 25,0,4,425,1144,-14,1.69 能. 由于 52=25,(-5)2=25, 故平方为 25 的数为 5 或-5. 02=0, 故平方为 0 的数为 0. 22=4,(-2)2=4, 故平方为 4 的数为 2 或-2. (-25)2=425,(25)2=425,故平方为425的数为25. (-112)2=1144,(112)2=1144, 故平方为1144的数为112. 对于 -14这个数 , 没有哪个数的平方等于它, 故平方为 -14的数找不到 . 1.32=1.69,(-1.3)2=1.69, 故平方为 1.69 的数是 1.3. 又如 : 课本 P160中的问题 : 小欧要裁一块面积为25dm2的正方形画布 , 由于正方形的面积为边长的平方, 而边长不可能为负数, 故此画布的边长应为5dm.依此可得 正 方 形 的 面 积 若 分 别 为1,9,16,36,425时 , 此 正 方 形 的 边 长 分 别 为1,3,4,6,25 . 由以上讨论发现, 有时候我们已知一个数要求这个数的平方值时, 只有一个,? 也有些时候 , 我们已知某数的平方, 要求出这个数 , 发现此时通常可找到两个数, 且这两个数是互为相反数, 而如果是已知某物的面积求其边长时, 其边长也只有一个值 .? 我们把已知平方值, 求原数的问题称为求这个数的平方根. (二) 导入知识 ,解释疑难 1.教材内容讲解欲确定某数的平方根时, 由以上过程发现, 即使有两个值 ,? 这两个值也是一对互为相反数 , 因此实际上我们若求出其中一个值, 另一个值也就可以根据求出的数再写出它的相反数, 我们就可先确定一个正数, 把这个正数称为所给数的算术平方根 . 一般地 , 如果一个正数x 的平方等于a, 即 x2=a, 那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根 ,a 的算术平方根记为a, 读作“根号 a”,a 叫做被开方数 . 规定 :0 的算术平方根是 0. 例 1 求下列各数的算术平方根: (1)900 (2)1 (3) 4964 (4)196 (5)0 (6)10-6 解: (1) 302=900, 故 900 的算术平方根是30, 即900=30. (3)(78)2=4964, 故4964的算术平方根是78, 即4964=78 (4)142=196, 故 196 的算术平方根是14, 即196=14. (5)02=0, 故 0 的算术平方根是0, 即0=0. (6)(10-3)2=10-6, 故 10 的算术平方根是10-3, 即610 =10-3 例 2: 勤俭节约是中国人的一种美德, 涛涛的爷爷是个能工巧匠, 他把两张破损了一部分的桌面重新拼接成一张完整的正方形桌面, 其面积为169dm2.? 已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面,其中一张是边长为5dm的小板子 ,? 试问另一张较大的桌面的边长应为多少dm才能拼出面积为169dm2的桌面 ? 分析 : 边长为 5dm的正方形板子 , 其面积为 25dm2,要拼出面积为 169dm2的桌面 ,还需面积为169-25=144dm2的正方形桌面 , 故问题实际上转化为求144?的算术平方根 ,144即=12. 解: 设另一张较大的桌面的边长为xdm,则有x2+52=159,x2=169-25=144, 而 122=144 故 144 的算术平方根为12, 即144=12, 即另一张桌面的边长应为12dm. 练习 : 1.求下列各式的值 : 1.44; 2( 0.1); 0.810.04; 1124. 解: 1.44=1.2 2( 0.1)=0.01=0.1 0.810.04=0.9-0.2=0.7 1124=494=72 (2)若(a-1)2+b-9 =0, 则ba的算术平方根是下列哪一个( ) A.13 B.3 C.3 D.-3 分析 : 由于 (a-1)20. b-9 0, (a-1)2+b-9 =0 时, 有 a-1=0 且 b-9=0, a=1,b=9, ba=91=9, 故ba的算术平方根是3. 3. 7有意义吗 ?为什么 ? 分析 :7无意义 , 因为任何数的平方都是非负数, 即 a20, 故7无意义 . 2.探究活动 (1)当 a 为负数时 ,a2有没有算术平方根 ?其算术平方根与a 有什么关系 ?当 a为正数时 ,a2的算术平方根如何表示?a 为 0 呢?举例说明你的结论 . (2)x2-x+14是否有算术平方根?如有请写出其算术平方根, 如没有说明为什么? 解: 当 a 为负数时 ,a2为正数 ,故 a2有算术平方根 , 如 a=-5 时,a2=(-5)2=25, 2a=25=5,5 是-?5 的相反数 , 故 a20 时,a 的算术平方根与a 互为相反数 , 表示为-a. 当 a2为正数时 ,a 的算术平方根表示为2a, 其值为 a, 即2a=a. 当 a=0时, 2a=0 由此可知2a=|a|=(0)0(0)(0)a aaa a (2)因为 (x-12)2=x2-x+14, 而(x-12)2一定是非负数, 故 x-x+ 也是非负数 , 故x2-x+14有算术平方根 , 其算术平方根的值要视x 的取值而定 . 当 x12时,x2-x+14的算术平方根为x-12.? 当 x12时,x2-x+14的算术平方根为 -(x-12)=12-x. (三) 归纳总结 ,知识回顾这节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,? 求一个数的算术平方根与求一个正数的平方幂正好是互逆的过程, 因此 , 求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的开平方运算. 只不过 , 只有正数和0 才有算术平方根 , 负数没有算术平方根 . 练习设计 (一) 双基练习 1.某数的算术平方根等于它本身, 则这个数为 _;? 若某数的算术平方根为其相反数 ,则这个数为 _. 2. 求下列各式的值 : 0.16,11125, 2( 3) , 0.25, 210 3.3x-4为 25 的算术平方根 , 求 x 的值 . 4.已知 9 的算术平方根为a,b 的绝对值为4, 求 a-b 的值 . (二) 创新提升 5.已知 2a-1 的算术平方根是3,3a+b-1 的算术平方根是4, 求 a、b 的值 . (三) 探究拓展 6.若4x与4y互为相反数 , 求 xy 的算术平方根 . 参考答案1.0,1 0; 2.0.4, 65,3,0.5,10-1(110); 3.x=3 4.a=3,b= 4, 则 a-b=3-4 或 3-(-4),故 a-b=-1 或 7. 5.a=5,b=2 6.x=4,y=4,xy=16,xy的算术平方根为4. 课后作业：第 2 课时一、创设情境，导入新课某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点 B落在点 F 的位置上 ,? 再把多余部分FECD 剪下 , 如果他事先量得矩形ABCD 的面积为 90cm2, 又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm2.? 请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米 . 将原矩形纸片的面积减去剩余的矩形纸片的面积即为正方形纸片的面积,?正方形纸片的面积为90-40=50cm2, 而正方形的面积为边长的平方, 要求正方形的边长就得算出多少的平方等于50, 但我们知道72=49,82=64,50 这个数既不是72,也不是 82, 由于 495064,故此正方形的边长应大于7而小于 8. 到底它为多少呢 ?它是一个小数吗?你有什么办法确定这个值呢?这一系列问题正是我们这节课要讨论的问题 . 二、师生互动 ,课堂探究 (一) 提出问题 ,引发讨论在实际问题中 , 往往会遇到像上述情形中的问题, 如果在所学过的有理数中确实找不到合适的数的平方会等于所给的数, 我们该怎么表示所给数的算术平方根呢 ? 我们知道 ,若有正数 x, 使 x2=a(a0), 则 x 为 a 的算术平方根 , 记作 x=a?,?于是若 x2=50 时(x 为正数 ), 则 x=50, 而 725082,因此有 75050, 故5050,故 750 7.09, 而 7.082=50.12,7.072=49.98, 故 7.07507.08, 接着继续增加小 数 点 后 一 位 小 数 , 如7.071, 计 算7.0712=49.99, 而7.0722=50.013, 故7.071507.072, 如此继续进行下去, 可以发现将小数点后的小数位继续增加下去 , 一直不能穷尽, 都只能使7.07 的平方值无限接近50, 因此发现,50不可能化为我们以前学过的无限循环小数,? 只能化为无限不循环小数,而有理数只包括有限小数和无限循环小数或者整数, 但50却不在这些数的范围内, 只能说50这个数不是有理数, 我们把这种数重新命名为“无理数”, 于是数的范围也就扩充了,是否我们可以直接用计算器来计算某一个正数的算术平方根呢? 只要计算器上有“”键或者“y”键 , 它就可以用来求某正数的算术平方根了 ,但不同的计算器的按键顺序不相同, 只要按计算器的使用方法去按键, 就可求出任意正数的算术平方根了. 例 1: 用计算器计算3136和2,5,10的值 . 解: 通过按键可得3136的值在计算器上显示:56, 为有理数 .2510“这些值都是有理数” , 而事实上我们知道用平方幂验证它们的平方根时,却怎么也找不到准确的数 , 使其平方为2、5、10, 于是我们得出 : 这些数不是有理数, 只是一个无限不循环小数即无理数.? 通过计算器计算出的小数只能是这些数的算术平方根的近似值或最接近的值. 运用计算器可以很方便地确定一个任意正数的算术平方根 . 活动 : 怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形 ?求出其边长 . 分析 : 将两个面积为 1 的小正方形的面积相加得2, 而要拼的大正方形的面积正好为 2, 于是可知 , 只要将两个小正方形剪开再重新拼合成一个正方形即能满足要求 . 要确定新正方形的边长, 我们就得确定2的值大约是多少, 我们知道12=1,22=4, 故 1237=21cm,21cm比原正方形的边长 20cm更长 , 这是不可能的 . 通过上述两例发现利用面积大的纸片不一定能剪出面积小的纸片. (三) 归纳总结 ,知识回顾通过本节课的学习可知, 并不是所有的正数的算术平方根都是有理数, 这时我们既可以用“a”的形式表示 , 也可以用一个与a的值接近的有理数替代,?于是可用计算器算出这个数, 但实际上 ,a是一个无理数 . 练习设计 (一) 双基练习1. 用计算器求出下列各式的值. 895512345 -2600.00537 2.用计算器比较312与12的大小 . 3.在物理学中 , 用电器中的电阻R 与电流 I, 功率 P?之间有如下的一个关系式:?P=I2R, 现有一用电器 , 电阻为 18 欧, 该用电器功率为2400 瓦, 求通过用电器的电流 I. 4.用边长为5cm的正方形纸片两张重新剪开并拼接成一个较大的正方形, 其边长约为多少 ?(精确到 0.01cm) (二) 创新提升 5.某地开辟了一块长方形的荒地, 新建一个以环保为主题的公园. 已知这块荒地的长是宽的2.5 倍, 它的面积为60000米2. (1)试估算这块荒地的宽约为多少米?(误差小于 1 米) (2)若在公园中建一个圆环喷水池, 其面积为 80米2, 该水池的半径是多少?(?精确到 0.01) (三) 探究拓展 6.(1)任意找一个很大正数, 利用计算器将该数除以3, 将所得结果再除以3 . 随着运算资料的增加, 你发现了什么 ?换一个数试试, 是否仍有类似的规律? (2)任意找一个非常大的正数, 利用计算器不断地对它进行开算术平方根,?你发现了什么 ? 第 3 课时一、创设情境 ,导入新课同学们 , 你知道“神舟五号”载人飞船吗？“神舟五号”载人飞船于2003?年 10 月 15 日 9 时整 , 在中国酒泉卫星发射中心进行首次载人航天发射,由 “长征二号” F型火箭点火升空 , 这标志着我国的航天事业又前进了一步, 我国在世界上的地位也徒然而升了; 当物体达到11.2 千米/ 秒的运动速度时能摆脱地球引力的束缚 ,? 在摆脱地球束缚的过程中, 在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球,而是按抛物线飞行,? 脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行, 若要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系, 物体的运动速度必须达到16.7 千米 / 秒, 那时将按双曲线轨迹飞离地球,而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳. 经过计算 , 在地面上 ,物体的运动速度达到7.9千米/? 秒时 , 该速度被称为第一宇宙速度. 第一宇宙速度与哪些因素有关呢?又是如何计算呢 ? 二、师生互动 ,课堂探究 (1)前面在第一节课的学习中, 我们计算过了很多互为相反数的平方,? 发现这些数的平方值会相等, 按照我们求正数x 的算术平方根的考虑, 若 x2=a, 则x=a称为 a?的算术平方根 , 而 x 还有一个负值 , 又该如何称呢 ? (2)宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)? 而小于第二宇宙速度v2(米/ 秒), 其中 v1、v2满足 v12=gR,v22=2gR,其中 g?是物理中的一个常数 ( 重力加速度 ),g 9.8 米/ 秒2,R 是地球半径 ,R6.4 106米, 如何确定 v1、v2的值呢 ?它与算术平方根有什么关系?下面让我们来逐个分析吧. (二) 导入知识 ,解释疑难 1.若一个数的平方等于16, 这个数是多少 , 又怎样表示呢 ? 由于 42=16,(-4)2=16, 故平方等于16 的数有两个 :4 和-4, 把 4 和-4 叫做 16的平方根 , 记为 4=16,则-4= -16, 把 4 和-4 称为 16 的平方根 . 一般地 , 如果一个数的平方等于a, 那么这个数叫做a 的平方根或二次方根,?即若 x2=a, 则 x 为 a 的平方根 , 记为 x=a. 如 3 和-3 是 9 的平方根 , 记为 3 是9 的平方根 ,? 表示为 3=9. 把求一个数a 的平方根的运算 , 叫做开平方 ,? 而平方运算与开平方运算互为逆运算 . 根据这种运算关系, 可以求一个数的平方根, 例如当x2=1 时,x= 1; 当x2=16时, 则 x=4, 当 x2=36时,x= 6; 当 x2=49时,x= 7; 当 x2=425, 则25为425的平方根 , 依次可记为1, 16, 36, 49, 425, 它们的对应关系如图所示 . 练习 : 求下列各数的平方根. (1)0.49 (2)4936 (3)81 (4)0 (5)-100 解 :(1) 因为0.72=0.49,(-0.7)2=0.49, 所以0.49的平方根为0.7, 即0.49=0.7 (2)因为 (76)2=4936,(-76)2=4936 , 所以4936的平方根为76, 即4936=76 (3)因为 92=81,(-9)2=81, 所以 81 的平方根为 9, 即81=9. (4)因为 02=0, 所以 0 的平方根为 0, 即0=0. (5)因为任何数的平方都不小于0, 找不到平方为 -100 的数, 故-100 没有平方根. 将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比较, 正数 (或 0) 的算术平方根只是它们的平方根中的一部分, 是正数 (或 0) 的那部分 ,? 而负的那个值正好是算术平方根的相反数, 进一步可归纳出 : 正数的平方根有两个, 它们是一对互为相反数. 0的平方根是0 负数没有平方根例 1: 求下列各式的值 , 并根据这些值写出各被开方数的平方根. (1) 1.44 (2)-81 (3)9100解: (1) 因为 1.22=1.44, 所以1.44=1.2,1.44的平方根为 1.2, 即1.44=1.2. (2)因为 92=81, 所以-81=-9,81 的平方根为 9, 即81=9. (3)因为 (3100)2=9100, 所以9100=3100, 它正是9100的平方根 . 故求正数的平方根时, 只要知道它的算术平方根, 就能确定了 ,? 因为其算术平方根和算术平方根的相反数即为该数的平方根.? 同样如果知道某数的算术平方根的相反数 ,则该数的平方根同样可确定. 面对问题 (2) 中的“宇宙速度”, 我们知道第一宇宙速度v12=gR,其中 g=9.8米/ 秒2,R6.4 106米,v22=2gR,则有 v129.8 6.4 106米2/ 秒262.72 106米2/ 秒2=6.27 107米2/ 秒2.v22125.44 106米2/ 秒2=1.2544 108米2/ 秒2 因此 ,v1是 6.272 107的平方根 ,v2是 1.2544 108的平方根 . 那么 v1=76.272 107.9 103米/ 秒=7.9 千米 / 秒,v2=81.2544 10 11.2 103米/ 秒=?11.2 千米 /秒但在实际问题中 , 速度是一个比0 大的数 , 数学问题中不考虑速度的方向, 故负值不合题意 , 应舍去 , 实际上 , 在某些具体问题中, 要根据得出的答案是否有意义而取值 . 例 2: 某矩形的面积为13200 平方米 , 若其长是宽的3 倍, 试求出此矩形的长与宽分别是多少米? 解: 设宽为 x 米, 则长为 3x 米,其面积为 3x2平方米故 3x2=13200 x2=4400 解得 x=4400=66.33 但 x 为矩形的边长应大于0, 故 x=66.33 米,3x=198.99米, 即此矩形的长为198.?99 米, 宽为 66.33 米. 2.探究活动对于正数 x 和 y, 有下列命题 : (1)若 x+y=2, 则xy1 (2)x+y=3,则xy (3)若 x+y=6, 则xy3 根据以上三个命题所提供的规律猜想: (1)若 x+y=9, 则xy_. (2)若对于任意正数a、b, 总有ab_. 分析 : 当 x+y=3 时, 有xy32, 从中发现分母为2, 分子为 x、y 的和, 再验证其它的等式 :x+y=2 时, 则xy22=1. 当 x+y=6 时, xy62=3. 与已知相吻合 , 故有结论 m0,n0,且 m+n=a时,? 则mn2a, 即mn2mnx+y=9 时, 则xy92, ab2ab由此得 a+b2, ab即(a-b)20 (三) 归纳总结 ,知识回顾本节课针对平方根与算术平方根的意义具体地分析何种情形用平方根,? 何种情形用其算术平方根, 得根据实际情况选择答案. 练习设计 (一) 双基练习 1. 16的值为多少 ?16 的平方根为多少 ? 的平方根呢 ? 2.如果一个正数的一个平方根为4, 则另一个平方根为多少? 3.有一长方形花坛 , 长是宽的 4 倍, 其面积为 25m2, 求长和宽 . 4.若(a-1a)2= 21a+a2-2, 现老师布置了一道化简题: 1a+2212aa(a=15) .甲、 ?乙两同学很快地写出其解答过程: 甲: 1a+ 2212aa=1a+21()aa=1a+1a-a=2a-a, 当 a=15时,2a-a=10-15=945乙: 1a+2212aa=1a+21()aa=1a+a-1a=a=15谁的答案是对的 ?为什么 ? (二) 创新提升 5.已知 a=2-1,b=22-6,c=6-2, 试比较 a、b、c 的大小 .( 不用计算器 ) (三) 探究拓展 6.若35的整数部分为a, 小数部分为 b, 求 a、b 的值. 参考答案1.4, 4, 2 2.-4 3.长为 10m,宽为 2.5m 4. 甲的答案是对的 , 因为 a=15时,1aa. 5. 因为 322 , 所以 a-b=6-1-2=33-1-232 2-1-2=2(21)-1-2, 而 c-a=6-1-2 =a-b0 bac 6. 2535365350 时, -a表示 a 的算术平方根的相反数a无意义 ; 若 a0,则-a无意义 . 例 2: 求下列各数的立方根。-27; 2764; -0.216 。解: (-3)3=-27, 327=-3; (34)3=2764, 32764=34,. (-0.6)3=-0.216, 30.216=-30.216=-0.6. 练习 :(1) 求下列各数的立方根: 0 8 -64 81-36解 : 30=0; 38=2; 364=-4; 81-36=81-6=75; 3754.22; (2)比较 -4、-5、-3100的大小 . 解:43=64,53=125,64100125, 43100-3100-5 2.探究活动若正方体的棱长为1, 则其体积为1; 若正方体的棱长为2, 则其体积为8;若正方体的棱长为4, 则其体积为 64; 若其棱长为 8, 则其体积为 512当棱长为2n 时,? 其体积为多少 ?某正方体的体积为1时, 其棱长为 1; 体积为 2时, 棱长为32; 体积为 3 时,? 棱长为; 若体积扩大到原来的n 倍,则棱长扩大多少倍? 解:正方体棱长为1, 则体积为 1, 棱长为 2, 体积为 8, 比较两者棱长扩大了2倍,? 体积扩大了 8倍, 棱长又扩大了1倍, 其体积相应增大7倍, 为原来的 8倍,?故当棱长为2n 时, 体积为 8n3. 当体积扩大到原来的n 倍时 ,棱长扩大到原来的3n倍. (三) 归纳总结 ,知识回顾这节课学习了立方根的概念, 立方根的表示方法以及如何求一个数的立方根.用计算器求任意数的立方根时, 只能先求出该数的绝对值的立方根, 再根据任意数的正负性决定其值, 注意区分平方根与立方根. 练习： （一） 51 页 1； 52 页 2，3 1.某数的立方根等于它本身, 这个数是多少 ? 2.求下列各数的立方根: (1)-1+61126; (2)64000 3. 某金属冶炼厂将27 个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化后浇铸成一个长方体钢铁 , 此长方体的长 , 宽, 高分别为 160cm,80cm和 40cm,求原来立方体钢铁的边长 . 4. 有一边长为6cm 的正方体的容器中盛满水, 将这些水倒入另一正方体容器时,? 还需再加水127cm3才满 ,求另一正方体容器的棱长. 参考答案 1.这个数为 0, 1 2.(1)-45 (2)40 3. 803cm 4.7cm 作业： 57 页 2，4。6.2 立方根 (2 课时 ) 答：被开方数扩大（缩小）1000 倍时，它的立方根扩大（缩小）10 倍。课堂练习： 1。 171页 2， 173 页 10，11 2. 观察下列各式是否成立, 你能从中找到什么结论, 并证明你的结论 . (1) 3227=2327 (2) 33326=3326 (3) 34463=43463 (4) 355124=5351243. 设 1995x3=1996y3=1997z3,xyz0, 且2223199519961997xyz=31995+31996+31997, 求111xyz的值 . 参考答案 2.7=8-1=23-1 26=27-1=33-1 63=64-1=43-1 124=125-1=53-1 猜测331nnn=n31nn(n=1,2,3, ) 331nnn=4331nnnn=3331n nn=3331nnn=n331nn3. 令 1995x3=1996y3=1997z3=k,k 0, 则 1995=3kx,1996=3ky,1997=3kz, 故3kkkxyz=33kx+33ky+33kz, 即3111xyz=111xyz. 而 x0,y0,z0,所以111xyz=(111xyz)3, 解得 : 111xyz=1. 6.3 实数 (1)一、教学目标（一）知识目标1. 了解无理数和实数的意义，掌握实数的分类，能够判断一个数是有理数还是无理数；2. 掌握有理数的运算法则在实数运算法则中仍适用. （二）能力目标通过实数的分类,使学生进一步领会分类的思想; （三）情感目标1. 由实数的分类，渗透数学分类的思想 2.数形结合体现了数学的统一性的美. 二、教学重点和难点教学重点：使学生了解无理数和实数的意义及性质，实数的运算律和运算性质. 教学难点：无理数意义的理解三、教学方法讲练结合四、教学手段投影片五、教学活动设计( 一) 复习提问什么叫有理数？有理数如何分类？由学生回答，教师帮助纠正：1整数和分数统称为有理数2有理数的分类有两种方法：第一种：按定义分类：第二种：按大小分类：( 二) 引入新课同学们，有理数由整数和分数组成，下面我们用小数的观点来看，整数可以看做是小数点后面是 0的小数，如3 可写做 3.0 、3.00 ；而分数，我们可以将分数化为有限小数或无限循环小数，由此我们可以看到有理数总是可以用有限小数或无限循环小数表示。如3=3.0 ，但是是不是所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数形式呢？答案是否定的，我们来看这样一组数：我们会发现这些数的小数位数是无限的，而且是不循环的，这样的小数叫做无限不循环小数，显然它不属于有理数的范围这就是我们今天要学习的一个新的概念：无理数1定义：无限不循环小数叫做无理数请同学们判断以下说法是否正确？(1) 无限小数都是无理数(2) 无理数都是无限小数(3) 带根号的数都是无理数答： (1) 错，无限不循环小数都是无理数(2) 错，无理数是无限不循环小数现在我们不仅学过了有理数，而且又定义了无理数，显然我们所学的数的范围又扩大了， 我们把有理数和无理数统称为实数，这是我们今天学习的又一新的概念2实数的定义：有理数和无理数统称为实数3实数的分类：对于实数，我们可按定义分类如下：由上述分类， 我们发现有理数和无理数都有正负之分，所以对实数我们还可以按大小分类如下：对于这两种分类的方法，同学们应牢固地掌握4实数的相反数：如果a 表示一个正实数，那么-a 就表示一个负实数，a 与 -a 互为相反数， 0的相反数依然是0由上述定义，我们看到实数的相反数概念与有理数相同其实不仅如此，绝对值的定义也是如此5实数的绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0用数字表示仍可表示为：6实数的运算：关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立在实数范围内可进行加、减、乘、除、乘方和开方运算运算顺序依然是从高级到低级值得注意的是在进行开方运算时，正实数和零可开任何次方，负数能开奇次方，但不能开偶次方(3) 若 x=，求 x 值例 2? 判断题：(1) 任何实数的偶次幂是正实数() (2) 在实数范围内，若x=y，则 x=y () (3)0是最小的实数 () (4)0是绝对值最小的实数 () 解： (1) 错， 0 的偶次幕是0，它不是正实数(2) 错，若 x=3，y=-3 ，则满足 x=y，但 xy (3) 错，负实数都小于0(4) 对，因为任何实数的绝对值都为非负实数，0 自然是绝对值最小的实数六、总结今天我们学习了实数这一新的内容，请同学们首先要清楚，实数我们是如何定义的，它与有理数是怎样的关系，再有就是对实数两种不同的分类要清楚并应对照有理数中有关相反数、绝对值的定义以及运算律和运算性质，来理解在实数中的定义和运用七、作业教材 P 57 练习 3、4、5、6 6.3 实数 (2) 一、教学目标：（一）知识目标：了解实数绝对值的意义, 了解实数与数轴上的点一一对应的关系（二）能力目标：通过实数与数轴上的点一一对应关系, 使学生了解数形结合思想, 提高思维能力 . （三）情感目标：由实数与数轴的一一对应关系，渗透数形结合的思想二、教学疑点及解决办法：数轴上的点与实数是一一对应的为疑点，教学中应充分注意对实数分类的讲解，并结合数轴画图说明、实数稠密性三、教学活动设计( 一) 复习提问1有理数、无理数、实数的概念2实数的分类( 两种方式 ) 例 1 把下列各数写入相应的集合中：以上内容应由学生自己先做，再由学生自己来纠正错误教师再做适当提示。特别要注意有的学生一看不到不能化成有限小数的分类，如，就容易将其化入无理数，这说明学生在概念上还是不十分清楚，应让学生明白是分数就一定是有理数，必可化为有限小数或无限循环小数，要使学生清楚各概念之间的界限，抓住本质，区别相近的概念，我们在讲解有理数概念的时候，接触过数轴的问题，请同学们回忆一下什么叫数轴？我们知道规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴每个有理数都在数轴上有自己相应的位置反过来，同学们想一想数轴上所有的点是不是都表示有理数呢？下面我们来验证一下，首先画一个数轴：以 0 到 1 为一边、单位长度为边长作一个正方形，以数轴的原点为圆心、正方形的对角线为半径画弧，根据勾股定理，我们知道这个正方形的对角线长为，所以所画的弧与数轴的正半轴的交点表示的数就是，由此我们看出数轴上的点表示的并不都是有理数，也有无理数如果我们把所有的有理数连起来，组成的是一条断断续续的数轴，这其中的空缺就是我们刚刚学习的无理数，可见由有理数和无理数把整个数轴填充完整了，所以我们把这个数轴又称为实数轴实数与数轴上的点是一一对应的这其中包含着两层含义：第一，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；第二，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示我们用数轴来表示实数，将数和图形联系在了一起，这给我们研究数学问题带来了方便，这也是我们数学中一个相当重要的数学思想 数形结合我们把实数表示在数轴上，最直观地表明了实数的大小，以原点为分界线，在原点的右侧，表示正数，在原点的左侧为负数，我们知道数轴上的实数从左到右是由小变大，并且数轴上的右侧的数总是比它左侧的数大，这就引出了实数比较大小的问题显然同有理数之间的比较大小是类似的例 2? 比较大小：解： (1) “ ”我们前面计算时知道，化为小数再与1.7 比较，便可知答案了可见在实数比较大小时，要经常用到无理数的近似值，所以有些常用的无理数的近似值应记住，如，等，记住了，用时就方便些(2) “ ” 作此题时，我们看到是两个负数比较大小，根据规则两个负数比较大小先比较他们的绝对值的大小，所以先比较与的大小，这两个无理数比较大小时，并不用将他们都化为小数，因为两个算术平方根比大小时，只需看他们的被开方数的大小就行了，被开方数大的，其算术平方根也大，这样我们就得到，再根据两负数比较大小，绝对值大的反而小的规律，我们就得到答案了(3) “ ” 此题比较大小时，根据正数大于一切负数的结论就可以得答案了(4) “ ” 此题将 化为 3.14159 就可以比出大小了(5) “ ” 此题先将 |-1.6|化为 1.6 ，再将化为，根据小数比较大小，就得出结论了(6) “=” 此题应将循环小数多展开一些再做比较，就会发现， 这两个数， 各位上的数是相同的，所以 . (7) “ ” 1.414 ，在千分位 4 后面还有数值，而-1.414分位后就是0 了，所以我们要提醒学生无理数是无限不循环小数(8) “ ”(9) “ ”小结：通过例2，我们看到两个数比较大小时，必须化成同类数才做比较，但在化的过程中应避免化错例 3? 计算：分析：在实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算2.236+3.142=5.378 5.38 应提醒学生，结果要求精确到0.01 ，但在计算过程中应比结果要求的多保留一位小数1.7321.4142.45 作教材 P155 中 7、87(1) 2.25? (2) -5.68 8(1) “ ”? (2) “ ”二、总结同学们，无理数的引进，把我们所研究问题的数的范围从有理数扩充到了实数，这样一来，我们今后研究问题的数的范围更广泛了，我们所研究的问题也就会更广、更深了从现在起，在考虑某些数学问题时，一定要有数的范围的概念对于不同数的范围，可能结果是不相同的三、作业教材 P 61 习题 9，10