2022年函数基础知识和习题 .pdf

读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思高中数学函数基础知识汇总1.函数的单调性(1) 设2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数 . (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数 . 注：如果函数)(xf和)(xg都是减函数 ,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函 数 ; 如 果 函 数)(ufy和)(xgu在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数)(xgfy是增函数 . 2.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称， 那么这个函数是偶函数注：若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf. 注： 对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是函数2bax; 两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称 . 注 ： 若)()(axfxf, 则 函 数)(xfy的 图 象 关 于 点)0 ,2(a对 称 ; 若)()(axfxf, 则函数)(xfy为周期为a2的周期函数 . 3.多项式函数110( )nnnnP xa xaxa的奇偶性多项式函数( )P x是奇函数( )P x的偶次项 ( 即奇数项 ) 的系数全为零. 多项式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次项 ( 即偶数项 ) 的系数全为零. 23. 函数( )yf x的图象的对称性(1) 函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)( )faxf x. (2) 函数( )yf x的图象关于直线2abx对称()()f amxf bmx()()f abmxf mx. 4.两个函数图象的对称性(1) 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x( 即y轴) 对称 . (2) 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线2abxm对称 . (3) 函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x 对称 . 25. 若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位， 得到曲线0),(byaxf的图象. 5.互为反函数的两个函数的关系abfbaf)()(1. 27. 若 函 数)(bkxfy存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为)(11bxfky, 并 不 是)(1bkxfy, 而函数)(1bkxfy是)(1bxfky的反函数 . 6.几个常见的函数方程(1) 正比例函数( )f xcx,()( )( ),(1)fxyf xf yfc. (2) 指数函数( )xf xa,()( )( ),(1)0f xyf x f yfa. (3) 对数函数( )logaf xx,()( )( ),( )1(0,1)f xyf xfyf aaa. (4) 幂函数( )f xx,()( )( ),(1)f xyf x fyf. (5) 余弦函数( )cosf xx, 正弦函数( )sing xx，()( ) ( )( ) ( )f xyf x f yg x g y，0( )(0)1,lim1xg xfx. 7.几个函数方程的周期(约定 a0) （1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()( )f xaf x( ( )0)f x, 或21( )( )(),( )0,1 )2f xfxf xaf x, 则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212( )1()()1,0| 2 )f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a；(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, 则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. 8.分数指数幂(1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）. (2)1mnmnaa（0,am nN，且1n） . 9.根式的性质（1）()nnaa. （2）当n为奇数时，nnaa；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 10.有理指数幂的运算性质(1)(0, ,)rsrsaaaar sQ. (2)()(0, ,)rsrsaaar sQ. (3)()(0,0,)rrraba babrQ. 注：若 a0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33. 指数式与对数式的互化式logbaNbaN (0,1,0)aaN.34. 对数的换底公式logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). 11.对数的四则运算法则若 a0，a1，M 0，N0，则(1)log ()loglogaaaMNMN; (2)logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR. 注： 设函数)0)(log)(2acbxaxxfm, 记acb42. 若)(xf的定义域为R, 则0a，且0; 若)(xf的值域为R, 则0a，且0. 对于0a的情形 , 需要单独检验 . 12.对数换底不等式及其推论若0a,0b,0 x,1xa, 则函数log()axybx(1) 当ab时 , 在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为增函数 . (2)(2)当ab时, 在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为减函数 . 推论 :设1nm，0p，0a，且1a，则（1）log()logm pmnpn.（2）2logloglog2aaamnmn.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思习题集：函数中的综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大， 考查内容和形式灵活多样 .本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力. 难点( )设函数 f(x)的定义域为R，对任意实数x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x0 时f(x)0. (1)求 f(21)、f(41); (2)证明 f(x)是周期函数；(3)记 an=f(n+n21),求).(lnlimnna命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力. 知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1+x2)=f(x1)f(x2)找到问题的突破口 . 错解分析：不会利用f(x1+x2)=f(x1)f(x2)进行合理变形 . 技巧与方法：由f(x1+x2)=f(x1)f(x2)变形为)2()2()2()22()(xfxfxfxxfxf是解决问题的关键 . (1) 解：因为对x1,x2 0,21,都有 f(x1+x2)=f(x1) f(x2),所以 f(x)=)2()22(xfxxf0, x 0,1又因为 f(1)=f(21+21)=f(21)f(21)=f(21)2f(21)=f(41+41)=f(41)f(41)=f（41） 2又 f(1)=a0 f(21)=a21,f(41)=a41(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1 对称，故f(x)=f(1+1 x),即 f(x)=f(2x),xR. 又由 f(x)是偶函数知f(x)=f(x),xRf( x)=f(2 x),xR. 将上式中 x 以 x 代换得 f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是 R 上的周期函数，且2 是它的一个周期 . (3)解：由 (1)知 f(x)0,x 0,1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思f(21)=f(nn21)=f(n21+(n1)n21)=f(n21)f(n1)n21) =f(n21)f(n21) f(n21) =f(n21)n=a21f(n21)=an21. 又 f(x)的一个周期是2 f(2n+n21)=f(n21),因此 an=an21.0)ln21(lim)(lnlimanannn一、选择题1.( )函数 y=x+a 与 y=logax 的图象可能是( ) 2.( )定义在区间 ( ,+)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间 0，+)的图象与f(x)的图象重合，设ab0,给出下列不等式：f(b) f(a)g(a)g(b) f(b)f(a)g(b) g(a) f(a)f(b)g(b)g(a) 其中成立的是( ) A.与B.与C.与D.与二、填空题3.( )若关于 x 的方程 22x+2xa+a+1=0 有实根， 则实数 a 的取值范围是 _. 三、解答题4.( )设 a 为实数，函数f(x)=x2+|xa|+1,xR. (1)讨论 f(x)的奇偶性；(2)求 f(x)的最小值 . 5.( )设 f(x)=xxx11lg11. (1)证明： f(x)在其定义域上的单调性；(2)证明：方程f-1(x)=0 有惟一解；(3)解不等式fx(x21) 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思求证：)21()131()111()51(2fnnfff. 7.( )某工厂拟建一座平面图(如下图 )为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 米，如果池外周壁建造单价为每米400 元，中间两条隔墙建造单价为每米248 元，池底建造单价为每平方米80 元(池壁厚度忽略不计，且池无盖 ). (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域. (2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价. 8.()已知函数f(x)在 ( ,0)(0,+ )上有定义，且在(0,+)上是增函数，f(1)=0,又 g()=sin2mcos 2m, 0,2,设 M= m|g()0,mR, N= m|fg()0,f(x1)f(x2)=f (x1x2)+x2f(x2)=f(x1x2)+f(x2)f(x1)= f(x2x1) 因为 x0 时 f(x)0,f(x1)f(x2)0 f(x)在 9， 9上是减函数故 f(x)的最大值为f( 9),最小值为f(9). 而 f(9)=f(3+3+3)=3 f(3)=12,f(9)=f(9)=12. f(x)在区间 9，9上的最大值为12，最小值为12. 一、 1.解析：分类讨论当a1 时和当 0a1 时. 答案： C 2.解析：用特值法，根据题意，可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设 a=2,b=1, 则 f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)f(b)=f(2)f(1)=2+1=3. g(b) g(a)=g(1)g( 2)=12=1.f(a)f(b)g(1) g(2)=12=1. 又 f(b)f(a)=f(1)f(2)=1+2=3. g(a) g(b)=g(2)g(1)=21=1,f(b)f( a)=g(a)g(b). 即与成立. 答案： C 二、 3.解析：设2x=t0，则原方程可变为t2+at+a+1=0 方程有两个正实根，则0100)1(421212attattaa解得： a(1,222 . 答案： (1，222 三、4.解：(1)当 a=0 时，函数 f(x)=(x)2+| x|+1=f(x),此时 f(x)为偶函数；当a0 时，f(a)=a2+1,f(a)= a2+2|a|+1,f(a)f(a),f(a) f(a).此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数 . (2)当 xa 时，函数f(x)=x2x+a+1=(x21)2+a+43,若 a21,则函数 f(x)在( ,a上单调递减，从而，函数f(x)在( ,a上的最小值为f(a)= a2+1. 若 a21,则函数 f(x)在( ,a上的最小值为f(21)=43+a,且 f(21)f(a).当 xa 时，函数 f(x)=x2+xa+1=(x+21)2a+43;当 a21时，则函数f(x)在 a,+精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思)上的最小值为f(21)=43a,且 f(21)f(a).若 a21,f(x)在 a,+)上单调递增，从而，函数f(x)在 a,+上的最小值为f(a)=a2+1. 综上，当a21时，函数f(x)的最小值是43a,当21a21时，函数 f(x)的最小值是 a2+1;当 a21时，函数f(x)的最小值是a+43. 5.(1)证明：由02011xxx得 f(x)的定义域为 (1，1)，易判断 f(x)在(1，1)内是减函数 . (2)证明： f(0)=21,f-1(21)=0,即 x=21是方程 f-1(x)=0 的一个解 .若方程 f-1(x)=0 还有另一个解x021,则 f-1(x0)=0,由反函数的定义知f(0)=x021,与已知矛盾，故方程f-1(x)=0有惟一解 . (3)解： fx(x21)21,即 f x(x21) f(0). .415121041510)21(1)21(1xxxxxx或6.证明：对f(x)+f(y)=f(xyyx1)中的x,y,令 x=y=0,得f(0)=0,再令y=x,又得f(x)+f(x)=f(0)=0, 即 f(x)=f(x),f(x)在 x(1,1)上是奇函数 .设1x1x20,则 f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=f(21211xxxx), 1 x1 x2 0, x1 x2 0,1 x1x20.21211xxxx 0,于 是 由 知f(21211xxxx)0,从而 f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2),故 f(x)在 x(1,0)上是单调递减函数.根据奇函数的图象关于原点对称，知f(x)在 x(0,1)上仍是递减函数，且f(x)0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思.),21()21()21(, 0)21(,1210),21()21()21()11()41()31()31()21()131()111()51()21()11()211112111()2)(1(11)2)(1(11)2)(1(1)131(22故原结论成立有时fnffnfnnffnfnfffffnnfffnfnfnnnnfnnnnfnnfnnf7.解： (1)因污水处理水池的长为x 米， 则宽为x200米， 总造价 y=400(2x+2x200)+248x2002+80200=800(x+x324)+1600,由题设条件162000,160 xx解得 12.5x16,即函数定义域为12.5，16. (2)先研究函数y=f(x)=800(x+x324)+16000 在 12.5,16上的单调性，对于任意的x1,x2 12.5,16 ,不妨设 x1x2,则 f(x2) f(x1)=800 (x2x1)+324(1211xx) =800(x2x1)(121324xx),12.5 x1 x216.0 x1x2162 324,21324xx1,即 121324xx0.又 x2x10,f(x2)f(x1)0,即 f(x2)f(x1),故函数 y=f(x)在12.5,16上是减函数 .当 x=16 时，y 取得最小值， 此时，ymin=800(16+16324)+16000=45000( 元)，16200200 x=12.5(综上，当污水处理池的长为16 米，宽为12.5 米时，总造价最低，最低为45000 元 . 8.解： f(x)是奇函数，且在(0,+ )上是增函数，f(x)在( ,0)上也是增函数. 又 f(1)=0,f(1)=f(1)=0,从而，当f(x)0 时，有 x 1 或 0 x1, 则集合 N= m|fg() = m|g() 1 或 0g()1, MN= m|g() 1.由 g() 1,得 cos2m(cos 2)+2,0,2,令 x=cos,x 0,1得： x2m(x2)+2,x 0,1 ，令： y1=x2,x 0,1及 y2=m(m2)+2,显然为抛物线一段，是过(2，2)点的直线系，在同一坐标系内由x 0,1得y1y2. m422,故 MN= m|m422. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页