2022年初中数学知识点归纳总结3 .pdf

第1页第一章有理数考点一、实数的概念及分类（3 分）1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数：32,7，3+8，sin60o。第二章整式的加减考点一、整式的有关概念（3 分）1、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如ba2314，这种表示就是错误的，应写成ba2313。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如cba235是 6 次单项式。考点二、多项式（11 分）1、多项式几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。第三章一元一次方程考点一、一元一次方程的概念（6 分）1、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0ax0bax叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数， b 是常数项。第四章图形的初步认识考点一、直线、射线和线段（3 分）1、点和直线的位置关系有线面两种：点在直线上，或者说直线经过这个点。点在直线外，或者说直线不经过这个点。2、线段的性质（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。（3）线段的中点到两端点的距离相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页第2页（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。3、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。考点二、角（3 分）1、角的度量： 角的度量有如下规定：把一个平角180 等分， 每一份就是1 度的角， 单位是度， 用“”表示， 1 度记作“ 1” ，n 度记作“ n” 。把 1的角 60 等分，每一份叫做1分的角， 1 分记作“ 1 ” 。把 1的角 60 等分，每一份叫做1 秒的角， 1 秒记作“ 1” ” 。1=60 =60”2、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。第五章相交线与平行线考点一、平行线（38 分）1、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。2、平行线的判定平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行。平行线的两条判定定理：（1）内错角相等，两直线平行。（2）同旁内角互补，两直线平行。补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。考点二、命题、定理、证明（38 分）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。考点三、投影与视图（3 分）1、投影投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。2、视图物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。第六章实数考点一、实数的倒数、相反数和绝对值（3分）1、相反数a+b=0，a=b，反之亦成立。2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a| 0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a 0；若 |a|=-a，则a 0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页第3页负数，绝对值大的反而小。3、倒数：如果a与 b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1 和-1。零没有倒数。考点二、平方根、算数平方根和立方根（310 分）1、平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数 a的平方根记做“a” 。2、算术平方根正数 a的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a” 。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。a（a0）0aaa2；注意a的双重非负性：-a（a0）a0 3、立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：33aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。考点三、科学记数法和近似数（36 分）1、有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。2、科学记数法：把一个数写做na10的形式，其中101a，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。考点四、实数大小的比较（3 分）1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 【解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。】2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，,0baba,0babababa0（3）求商比较法：设a、b 是两正实数，;1;1;1babababababa（4）绝对值比较法：设a、b 是两负实数，则baba。（5）平方法：设a、 b 是两负实数，则baba22。第七章平面直角坐标系考点一、平面直角坐标系（3 分）1、 平面直角坐标系注意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。考点二、不同位置的点的坐标的特征（ 3 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页第4页1、各象限内点的坐标的特征点 P(x,y)在第一象限0,0 yx点 P(x,y)在第二象限0,0 yx点 P(x,y)在第三象限0,0 yx点 P(x,y)在第四象限0,0 yx2、坐标轴上的点的特征点 P(x,y)在 x 轴上0y，x 为任意实数点 P(x,y)在 y 轴上0 x，y 为任意实数点 P(x,y)既在 x 轴上，又在y 轴上x，y 同时为零，即点P 坐标为（ 0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、 y 轴或远点对称的点的坐标的特征点 P与点 p 关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点 P与点 p 关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点 P与点 p 关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于y（2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x（ 3）点 P(x,y)到原点的距离等于22yx第八章二元一次方程组考点一、二元一次方程组（810 分）二元一次方正组的解法（ 1）代入法（ 2）加减法第九章不等式与不等式组考点一、一元一次不等式（68 分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（ 2）去括号（ 3）移项（ 4）合并同类项（5）将 x 项的系数化为1 考点二、一元一次不等式组（8 分）1、当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。2、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。第十章数据的收集、整理与描述考点一、统计学中的几个基本概念（4 分）1、总体：所有考察对象的全体叫做总体。2、个体：总体中每一个考察对象叫做个体。3、样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。4、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。 5、样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。6、总体平均数：总体中所有个体精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页第5页的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。考点二、众数、中位数（ 35 分）1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。考点三、方差（3 分）1、方差的概念：在一组数据,21nxxx中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“2s”表示，即)()()(1222212xxxxxxnsn2、方差的计算（1）基本公式：)()()(1222212xxxxxxnsn（2）简化计算公式 （） ：)(12222212xnxxxnsnor 2222212)(1xxxxnsn此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。（3）简化计算公式（） ：)(12222212xnxxxnsn当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均 数 接 近 的 常 数a， 得 到 一 组 新 数 据axx11，axx22， ，axxnn， 那 么 ，2222212)(1xxxxnsn【方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。】（4）新数据法：原数据,21nxxx的方差与新数据axx11，axx22，axxnn的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得,21nxxx的方差就等于原数据的方差。3、标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即)()()(1222212xxxxxxnssn第十一章三角形第十二章全等三角形考点一、三角形（38 分）1、主要线段角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段。中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段。高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段。2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页第6页注： 在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。考点二、全等三角形（38 分）1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS” ）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA” ）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS” ） 。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ” ）4、全等变换（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形（810 分）1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。（2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于45等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则2b0 时， y 随 x 的增大而增大（2）当 k0 时， y 随 x 的增大而减小第二十一章一元二次方程考点一、一元二次方程的解法（10 分）1、 直接开平方法： 形如bax2)(的一元二次方程。ax是 b 的平方根，当0b时，bax，bax，当 b0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页第12页（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2时， y 有最小值，abacy442最小值（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时， y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2时， y 有最大值，abacy442最大值2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与x 轴有两个交点；当=0 时，图像与x 轴有一个交点；当0 时，图像与x 轴没有交点。补充： 1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A 坐标为（ x1，y1）点 B 坐标为（ x2，y2）则 AB 间的距离，即线段AB 的长度为221221yyxx2、函数平移规律：左加右减、上加下减第二十四章圆考点一、弦、弧等与圆有关的定义（3 分）（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD）（3）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A，B 为端点的弧记作“” ，读作“圆弧AB ”或“弧 AB ” 。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示） ；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点二、垂径定理及其推论（3 分）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页第13页考点三、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（3 分）1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。考点四、圆周角定理及其推论（38 分）1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。考点五、点和圆的位置关系（3 分）设 O 的半径是r，点 P到圆心 O 的距离为d，则有： dr点 P 在 O 外。考点六、过三点的圆（3 分）1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。考点七、直线与圆的位置关系（35 分）直线和圆有三种位置关系，具体如下：如果O的半径为r ，圆心 O到直线 l 的距离为d, 那么：直线 l 与 O相交dr；考点八、切线的判定和性质（38 分）1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。考点九、切线长定理（3 分）1、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。考点十、三角形的内切圆（38 分）1、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。考点十一、圆和圆的位置关系（3 分）1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R 和 r，圆心距为d，那么两圆外离dR+r；两圆外切d=R+r ；两圆相交R-rdr）两圆内含dr）考点十二、弧长和扇形面积（38 分）1、弧长公式： n的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180rnl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页第14页2、 扇形面积公式：lRRnS213602扇n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径， l 是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积：rlrlS?221其中 l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。补充 ： 1、相交弦定理O 中，弦 AB 与弦 CD 相交与点E，则 AE?BE=CE?DE 2、弦切角定理弦切角： 圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。即： BAC= ADC 3、切割线定理PA 为 O 切线， PBC 为 O 割线，则PCPBPA?2第二十五章概率初步考点一、频率分布（6 分）1、研究频率分布的一般步骤及有关概念（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：计算极差（最大值与最小值的差）决定组距与组数决定分点列频率分布表画频率分布直方图（2）频率分布的有关概念：极差：最大值与最小值的差；频数：落在各个小组内的数据的个数频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。考点二、确定事件和随机事件（3 分）1、确定事件：必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。考点三、概率的意义与表示方法（56 分）1、概率的意义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。2、事件和概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A， B，C，表示事件A 的概率 p，可记为 P（A）=P 考点四、确定事件和随机事件的概率之间的关系（3 分）1、确定事件概率：当A 是必然发生的事件时，P（A）=1（ 2）当 A 是不可能发生的事件时，P（A）=0考点五、古典概型（3 分）1、古典概型的概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P（A）=nm考点六、列表法求概率（ 10 分）考点七、树状图法求概率（10 分）第二十六章反比例函数考点一、反比例函数（310 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页第15页1、反比例函数中反比例系数的几何意义：过反比例函数)0(kxky图像上任一点P 作 x 轴、 y 轴的垂线 PM，PN，则所得的矩形PMON 的面积 S=PM?PN=xyxy ?。kSkxyxky,。第二十七章图形的相似考点一、比例线段（3 分）考点二、平行线分线段成比例定理（35 分）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。考点三、相似三角形（38 分）1、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似2、直角三角形相似的判定方法以上各种判定方法均适用定理： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。3、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页