2022年因式分解法解一元二次方程典型例题 .pdf
学习必备欢迎下载典型例题一例 用因式分解法解下列方程：(1) y27y60； (2)t (2t 1)3(2t 1) ； (3)(2x1)( x1)1解： （1）方程可变形为 ( y1)( y6)0 y10 或 y60 y11，y26 (2) 方程可变形为 t (2t 1)3(2t 1)0 (2t1)(t3)0，2t10 或t30 t121，t23(3) 方程可变形为 2x23x0 x(2x3)0，x0 或 2x30 x10，x223说明： (1) 在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时， 则可令每一个一次因式为零， 得到两个一元一次方程， 解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了(2) 应用因式分解法解形如 ( xa)( xb) c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如( xe)( xf ) 0 的形式，这时才有x1e，x2f ，否则会产生错误，如 (3) 可能产生如下的错解：原方程变形为： 2x11 或 x11x11，x22(3)在方程 (2)中，为什么方程两边不能同除以(2t1)，请同学们思考典型例题二例 用因式分解法解下列方程6223362xxx解：把方程左边因式分解为：0)23)(32(xx032x或023x32,2321xx说明: 对于无理数系数的一元二次方程， 若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载典型例题三例 用因式分解法解下列方程。1522yy解: 移项得：01522yy把方程左边因式分解得：0)3)(52(yy052y或03y. 3,2521yy说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时， 则可令每一个一次因式都为零， 得到两个一元一次方程， 解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。典型例题四例用因式分解法解下列方程（1）021362xx；（2）0)23(9) 12(322xx；分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零 .二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征. 解： （1）原方程可变形为,0)2)(16(xx016x或02x，2,6121xx. （2）原方程可化为0)633()332(22xx，即0)633332)(633332(xxxx，0)363)(6335(xx，06335x或0363x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载321,513221xx. 说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用 .这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法 . 典型例题五例用因式分解法解方程：（1）03652xx；（2）0)32(3)32(22xx；（3）0223)222(2xx；（4）066)2332(2xy. 分析：用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为0BA的形式，然后通过0A或0B，求出21, xx. 解： （1）0)4)(9(xx，09x或04x. .4,921xx（2）0)364)(32(xx，即0)94)(32(xx. 032x或094x，.49,2321xx（3）0)223()1(xx，即01x或0)223(x. 223, 121xx. （4）0)23)(32(yy，即032y或023y，23,3221yy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载说明：有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法，也可将之和因式分解法求解. 典型例题六例用适当方法解下列方程：（1）0522x；（2）)21()1 (2252xxxx；（3）14)1(2)3(222xxx；（4）010342xx（5）04732xx（用配方法）解： （1）移项，得522x，方程两边都除以 2，得252x，解这个方程，得25x，1021x，即10211x，.10212x（2）展开，整理，得.042xx方程可变形为0)14( xx0 x或014x，.41,021xx（3）展开，整理，得0151642xx，方程可变形为0)52)(32(xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载032x或052x.25,2321xx（4）,10,34, 1cba081014)34(422acb，.23222234128)34(x2321x, 2322x（5）移项，得4732xx，方程各项都除以 3，得.34372xx配方，得222)67(34)67(37xx，361)67(2x解这个方程，得6167x, 即341x，.12x说明 :当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式02cbxax(0a)，若0b，a、c 异号时，可用直接开平方法求解，如（l）题若0a，0b,0c时，可用因式分解法求解，如（2）题若a、b、c均不为零， 有的可用因式分解法求解， 如（3）题；有的可用公式法求解， 如（4）题配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如（5）题而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程04)3(2x可 用 直 接 开 平 方 法 或 因 式 分 解 法 求 解 又 如 方 程)2)(1() 14)(2(xxxx也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项 后 提 取 公 因 式 ， 得0)1()14)(2(xxx， 用 因 式 分 解 法 求 解 ， 得32, 221xx，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以)2(x，这精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载会丢掉一个根2x也就是方程两边不能除以含有未知数的整式典型例题七例解关于x的方程031120222nmnxxm（0m）解法一：原方程可变形为0)34)(5(nmxnmx05nmx或034nmx0m，.43,521mnxmnx解法二：220ma，mnb11，23nc，acb422)11(mn2204m)3(2n036122nm，又0m，.40191120236112222mmnmnmnmmnx.43,521mnxmnx说明 解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单典型例题八例已知12m，试解关于x的方程).1)(1(2)2(xxxmx分析由12m，容易 得到3m或1m整理 关干x 的 方程，得032)1(2mxxm题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当01m-时，方程是一元一次方程；当01m时，方程是一元二次方程。解：由12m，得12m, .1,321mm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载整理)1)(1(2)2(xxxmx，得.032)1(2mxxm当3m时，原方程为03622xx，解得233,23321xx当1m时，原方程为032x，解得.23x 当3m时，233,23321xx当1m时，.23x填空题1方程)2()2(2xx的根是2方程46)1)(3(xxx的解是3方程02)12(3)12(2yy的解是答案： 13221xx，2212121xx，323121yy，. 解答题1用因式分解法解下列方程：（1）42)2(2xx；（2）0)3()3(42xxx；（3）0611102xx；（4）22)1(4)2(9xx。（5）02xx； （6）03522xx；（7）01072xx； （8）01892xx；（9）0611102xx； （10）071162xx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载2. 用因式分解法解下列方程：（1）5)1)(3(xx； （2）065)4(9)4(142xx；（3）02)21(5)21( 32xx。3用因式分解法解下列关于x的一元二次方程：（1）022xkxx； （2）02222nmmxx；（3）054322mmxx； （4）018171522mxxm)0(m；（5）0)(222abxbaabx)0(ab4用适当的方法解下列方程：（1）04942x； （2）0942xx；（3）22xx； （4）62422xx；（5）012xx； （6）02522xx. 5已知三角形的两边分别是1 和 2，第三边的数值是方程03522xx的根，求这个三角形的周长 . 答案：1 （1）0221xx，；（2）4321xx，；（3）522321xx，；（4）54821xx，. （5）01x，12x（6）51x，72x（7）21x，52x（8）31x，62x（9）231x，522x（10）211x，372x. 2. （1）4221xx，；（2）7412321xx，；（3）256121xx，. 3 （1）01x，122kx（2）nmx1，nmx2（3）mx61，mx92（4）mx321，mx592（5）abx1，bax2. 4 （1）271x，272x（2）01x，492x（3）21x，12x（4）261x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载242x（5）2511x，2512x（6）351x，352x5提示：三角形两边之和大于第三边，三角形周长为5 .4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
