2022年吉林省东北师范大学附属中学高中数学总复习文新人教版必修 .pdf

第三章不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）aba-b0 ；（2）ab, bcac；（3）aba+cb+c；（ 4）ab, c0acbc；（5）ab, c0acb0, cd0acbd; （7）ab0, n N+anbn; （8） ab0, n N+nnba; （9）a0, |x|a-axaxa 或 xb0, cd0 ，所以 acbc, bcbd ，所以 acbd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（ 8），用反证法，若nnba，由性质（ 7）得nnnnba)()(，即 ab，与 ab 矛盾，所以假设不 成 立 ， 所 以nnba； 由 绝 对 值 的 意 义 知 （ 9 ） 成 立 ； -|a| a|a|, -|b|b|b| ， 所 以-(|a|+|b|) a+b|a|+|b|， 所以 |a+b| |a|+|b|； 下面再证 （10） 的左边，因为 |a|=|a+b-b| |a+b|+|b|，所以 |a|-|b|a+b| ，所以（10）成立；（ 11）显然成立； 下证（12），因为 x+y-22)(yxxy0，所以x+yxy2，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令czbyax333,，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= 21(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 0，所以a3+b3+c33abc，即 x+y+z33 xyz，等号当且仅当x=y=z时成立。二、基础例题1不等式证明的基本方法。（1）比较法 ，在证明 AB或 A0）与 1 比较大小，最后得出结论。例1 设a, b, cR+，试证：对任意实数x, y, z, 有x2+y2+z2.)()(2xzbacyzacbxycbaaccbbaabc【证明】左边- 右边 = x2+y2+z2yzacbabcxyaccbab)(2)(2222)(2)(2yaccyacaxyaccbabxcbbxzcbbaca222)(2)(2xcbcxzcbbacazbaazbabyzacbabc.0222xcbczbaazbabyaccyacaxcbb所以左边右边，不等式成立。例 2 若 axlog(1-x)(1-x)=1（ 因 为01-x21-x0, 01-x|loga(1-x)|. （2）分析法（了解），即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页方式为：要证，只需证。例 3 已知 a, b, cR+，求证： a+b+c-33abca+b.2 ab【证明】要证 a+b+c33bac a+b.2 ab只需证332abcabc，因为33332abcbacababcabc，所以原不等式成立。例 4 已知实数a, b, c满足 0ab c21，求证：.)1 (1)1(1)1(2abbacc【证明】因为 0(n+1)n. 【证明】 1 ）当 n=3 时，因为34=8164=43，所以命题成立。2） 设 n=k 时有 kk+1(k+1)k， 当 n=k+1 时，只需证 (k+1)k+2(k+2)k+1， 即12)2() 1(kkkk1. 因为1)1(1kkkk，所以只需证12)2()1(kkkkkkkk) 1(1， 即证 (k+1)2k+2k(k+2)k+1，只需证 (k+1)2k(k+2) ， 即证 k2+2k+1k2+2k. 显然成立。所以由数学归纳法，命题成立。（4）反证法。例 6 设实数a0, a1, ,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a20, a1-2a2+a30, , an-2-2an-1+an0，求证ak0(k=1, 2, n-1). 【证明】假设 ak(k=1, 2,n-1) 中至少有一个正数，不妨设ar是 a1, a2, , an-1中第一个出现的正数，则a10, a20, , ar-10, ar0. 于是 ar-ar-10，依题设ak+1-akak-ak-1(k=1, 2, , n-1)。所以从 k=r 起有 an-ak-1an-1-an-2 ar-ar-10. 因为 anak-1 ar+1ar 0 与 an=0 矛盾。故命题获证。（5）分类讨论法。（6）放缩法，即要证AB ，可证 AC1, C1C2, ,Cn-1Cn, CnB(nN+). （放缩法尤为重要）例 8 求证：).2(12131211nnn【证明】12212121414121112131211nnnnn22121121nnnn，得证。例 9 已知 a, b, c是 ABC的三条边长， m0 ，求证：.mccmbbmaa【证明】mbammbabambabmbaambbmaa1mccmcm1（因为 a+bc），得证。（7）引入参变量法。（引参为消参服务）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页例 10 已知 x, y R+, l, a, b为待定正数，求f(x, y)=2323ybxa的最小值。【解】设kxy，则kklyklx1,1，f(x,y)=23322)1(kbalk22333233333211111lkakbkbkbkakabal(a3+b3+3a2b+3ab2)= 23)(lba，等号当且仅当ybxa时成立。所以f(x, y)min=.)(23lba例 11 设 x1x2x3x42, x2+x3+x4x1，求证： (x1+x2+x3+x4)24x1x2x3x4. 【 证 明 】设x1=k(x2+x3+x4) ， 依 题 设 有31 k1, x3x44 ， 原 不 等 式 等 价 于(1+k)2(x2+x3+x4)24kx2x3x4(x2+x3+x4) ，即kk4)1(2(x2+x3+x4) x2x3x4，因为 f(k)=k+k1在1 ,31上递减，所以kk4)1(2(x2+x3+x4)=)21(41kk(x2+x3+x4) 423133x2=4x2x2x3x4. 所以原不等式成立。（8）局部不等式。例 12 已知 x, y, zR+，且 x2+y2+z2=1，求证：222111zzyyxx.233【证明】先证.233122xxx因为 x(1-x2)=3323221)1(2213222xx, 所以.233332)1(122222xxxxxxx同理222331yyy，222331zzz，所以.233)(233111222222zyxzzyyxx例 13 已知 0a, b, c1，求证：111abccabbca2。【证明】先证.21cbaabca即 a+b+c2bc+2. 即证 (b-1)(c-1)+1+bca. 因为 0a, b, c1，所以式成立。同理.21,21cbacabccbabcab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页三个不等式相加即得原不等式成立。（9）利用函数的思想。例 14 已知非负实数a, b, c满足 ab+bc+ca=1，求 f(a, b, c)=accbba111的最小值。【解】当 a, b, c中有一个为0，另两个为1 时， f(a, b, c)=25，以下证明f(a, b, c) 25. 不妨设 ab c，则 0 c33, f(a, b, c)=.111222bacbacc因为 1=(a+b)c+ab 4)(2ba+(a+b)c ，解关于 a+b 的不等式得a+b 2(12c-c). 考虑函数g(t)=tct112, g(t)在, 12c）上单调递增。又因为 0c33，所以 3c21. 所以 c2+a4c2. 所以 2)1(2cc. 12c所以 f(a, b, c)=bacbacc111222)1(211)1(2122222ccccccc=1112222ccccc=21321112222cccc.22)11( 3252132422cccc下证cc)11( 320 1332ccc2+6c+99c2+9cc430 .43c因为4333c，所以式成立。所以 f(a, b, c) 25，所以 f(a, b, c)min=.25三1. 不等式201xx的解集为（）(A)x| 1x2 (B) x| 1x2 (C)x| 1x2 (D)x| 1x2 【答案】B 【解析】原不等式等价于(1)(2)010 xxx，解得 1x 2 2. ）某物流公司有6 辆甲型卡车和4 辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t货物的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t，运输成本费用为0.9 千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t，运输成本为 1 千元，则当每天运输成本费用最低时，所需甲型卡车的数量是( ) (A)6 (B)5 (C)4 (D)3 【答案】C【解析】设需要甲型卡车x辆，乙型卡车y辆4 yAz 0.9xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页由题意30402800604xyxy且x、yZ运输成本目标函数z 0.9xy画出可行域 ( 如图 ) 可知，当目标函数经过A(4,4) 时，z最小 7.6 千元及需要甲型卡车和乙型卡车各4 辆。3. 把圆C：2122yx按向量a=(h，-1) 平移后得圆C1，若圆C1在不等式x+y+1 0 所确定的平面区域内，则h的最小值为（ A ）（A）1 （B）-1 （C）33（D）334已知函数( )f x的定义域为 3,)，部分函数值如表所示，其导函数的图象如图所示，若正数a，b满足(2)1fab，则22ba的取值范围是( B ) A2(,1)5B2(,4)5C(1,4)D2(, )(4,)55. 已知函数2( )1,f xaxbxa bR. ( ) 若( 1)0f且对任意实数x均有( )0fx成立，求实数,a b的值；（）在 ( ) 的条件下，当2,2x时，( )( )g xf xkx是单调函数，求实数k的取值范围 . 【解析】）( 1)0101fabba即又对任意实数x均有)(xf0 成立240ba恒成立，即2(1)0a恒成立1,2ab（）由（）可知22( )21( )(2)1fxxxg xxk x( )g x在x 2，2 时是单调函数，22 2,2(, 2,2,)22kk或222222kk或即实数k的取值范围为(, 26,)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页