2022年基本不等式 .pdf
学习必备欢迎下载基本不等式与对勾函数一、知识梳理1、基本不等式的基本形式：（ 1）,Ra b，则222abab，当且仅当时取等号。（ 2）,Ra b，则2abab，当且仅当时取等号。2、公式变形：（ 1）222abab；（2）22abab ；3、求最值：当为定值时，ab，22ab有最小值；当ab+或为定值时，有最大值（） 。4、运用基本不等式时注意深刻理解“一正”、 “二定”、 “三相等” 的意义。5、对勾函数byaxx)0,0(ba的图像与性质性质：（1）定义域：),0()0 ,(（2）值域：),2()2,(abab（3）奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(xfxf（4）图像在一、三象限当0 x时，由基本不等式知byaxxab2（当且仅当bxa取等号），即)(xf在 x=ab时，取最小值ab2由奇函数性质知：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载当 x0 时，)(xf在 x=ab时，取最大值ab2（5）单调性：增区间为（,ab） ， （ab,）减区间是（ 0，ab） ， （ab,0 ）二、典型例题例 1、下列说法结论正确的是（）A1yxx的最小值是2 B2232xyx的最小值是2 C4sin,(0, )sinyxxx的最小值是4 D2251xyx的最小值是5 变式 1、下列结论正确的是（）A当且时，2B时，12xxC当2x时，的最小值为2 D02x时，无最大值例 2、 （1）设0a，0b，若3是3a与3b的等比中项，则11ab的最小值为（）A 8 B4 C1 D（ 2）已知0,0 ba，且32ba，则512ab+的最小值为（ 3）若03x，则113xx+-的最小值为（ 4）若21x，则xx2111的最小值为（ 5）已知20 x，则)2(xx的最大值为0 x1x1lglgxx0 x1xx1xx14精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载（ 6）已知203x，则2 (23 )xx-的最大值为（ 7）已知0,ba，1222ba，则21ba的最大值为变式 2、 （1）已知0,0 yx，且12yx，求yx11的最小值。（2）已知0,0 ba，且23ab+=，则142ab+的最小值为（3）若320 x，则xx3213的最小值为（4）若13x，则1113xx+-的最小值为（5）已知04x，则(4)x x-的最大值为（6）已知203x，则1xx+的最小值为（2）已知0 x1，则1xx+的取值范围为（3）已知1x1，则11xx的取值范围为（4）已知1x1，则141xx+-的取值范围为变式 7、 （1）已知0 x，则14xx+的最小值为（2）已知0 x 1，则128xx+的取值范围为（3）已知12x 1，则1321xx+-的取值范围为（4）已知1x 1，则1641xx+-3（）的取值范围为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载例 8、 （1）已知2x3，则1xx+的最小值为（2）已知122x，则1xx+的取值范围为（3）函数919)(22xxxf的最小值为变式 8、 （1）已知1x3，则12xx-的最大值为（2）已知12x，则14xx+的取值范围为（3）已知124x，则14xx+的取值范围为（4）函数224( )99f xxx=+的最小值为（5）函数111)(xxxf的最小值为例 9、 （1）已知正数yx,满足4yx，则使不等式mxyyx4恒成立，求m的取值范围。（2）已知不等式（xy）1axy（）9 对任意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为变式 9、 （1）已知正数yx,满足4yx，则使不等式4mxyxy+?（）恒成立，求m的取值范围。（2）已知不等式（xy）1axy（）4 对任意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载例 10、 （ 1）函数9)(2xxxf的最大值为（2）函数xxxxf1)(2的值域为（3）函数xxxxf23)(的值域为（4）已知1x，求函数1107)(2xxxxf的最小值（5） 求函数21)(2xxxxf在区间), 1 (上的最大值； 若区间改为),4则)(xf的最大值为变式 10、 （1）函数2( )69xf xxx=+（2）的最大值为（2）函数21( )2xxfxxx+=?（）的值域为（3）函数3( )212xfxxx+=+-+的值域为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载（4）已知1x，求函数299( )1xxf xx+-=-的最大值（ 5）已知1x，求函数21( )710 xf xxx+=+的最大值三、课后巩固1、下列各函数中，最小值为2 的是（）A1yxxB1sinsinyxx，0,2xC2232xyxD21yxx2、若 x0，则 2 + 3x + 4x的最大值是（）A2+43 B24 3 C243 D以上都不对3、下列命题中正确的是（）A、的最小值是 2 B、的最小值是 2 C、的最大值是D、的最小值是4、求函数15)(xxxf的值域5、求函数32)(xxxf的值域6、求函数45)(22xxxf的最小1yxx2232xyx423(0)yxxx24 3423(0)yxxx24 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载7、 求函数171)(22xxxf的值域8、若1x时，不等式11xax恒成立，求实数a的取值范围9、某工厂建造一个无盖的长方形贮水池，其容积为64003m，深度为 4m，如果池底每12m的造价为160 元，池壁每12m的造价为100 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？10、正数,a b满足6abab。（1）求ab的取值范围。(2）求+a b的取值范围。11、 （1）已知0,0 ba，且24ab+=，则512ab+的最小值为（ 2）已知205x，则9xx+的最小值为（2）已知0 x1，则9xx+的取值范围为（3）已知1x1，则91xx+-的取值范围为（4）已知1x1，则941xx+-的取值范围为（5）已知152x，则16xx+的取值范围为（6）函数221( )1616f xxx=+的最小值为（7）已知4x3，则12xx-的最大值为14、已知正数yx,满足4yx，则使不等式9xymxy+?恒成立，求m的取值范围。15、 （1）函数2( )16xf xx=+的最大值为（2）函数24( )xxf xx+=的值域为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载（ 3）已知2x -，求函数2810( )2xxfxx+=+的最小值（ 4） 求函数21()5xfxxx-=+在区间), 1(上的最大值； 若区间改为),4则)(xf的最大值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
