2022年小学四年级奥数容斥问题 .pdf

容斥问题（一）容斥问题涉及到一个重要的原理包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。这一讲我们先介绍容斥原理1 对 n 个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a 分类与性质b 分类（如图1） ，那么，具有性质a或性质 b 的事物的个数 =Na+Nb-Nab 。例 1一个班有55 名学生，订阅小学生数学报的有12 人，订阅今日少年报的有 9 人，两种报纸都订阅的有5 人。 （1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例 2一个旅行社有36 人，其中会英语的有24 人，会俄语的有18 人，两样都不会的有4 人，两样都会的有多少人？例 3在 1 到 100 的全部自然数中，既不是6 的倍数也不是5 的倍数的数有多少个？例 4艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23 幅画不是五年级的，有21 幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8 幅。其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考1. 将边长分别为4 厘米和 5 厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上 （如图 6） ，已知重叠的部分为 9 平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2二（ 2）班有 50 名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35 人，做完数学作业的有 40 人，两种作业都做完的有多少人？3有 62 名学生，其中会弹钢琴的有11 名，会吹竖笛的有56 名，两样都不会的有4 名，两样都会的有多少名？4某校选出50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14 人，数学比赛获奖的有12 人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？5四（ 1）班有 40 个学生，其中有25 人参加数学小组，23 人参加航模水组，有19 人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2 两题，其中答对第1 题的有 35 人，答对第2 题的有 28 人，这两题都答对的有20 人，没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？7一个俱乐部里，会下中国象棋的有69 人，会下国际象棋的有52 人，这两种棋都不会下的有12 人，都会下的有 30 人。这个俱乐部里有多少人？8某班上体育课，全班排成4行（每行的人数相等） ，小芳排的位置是：从前面数第6 个，从后面数第7个。这个班共有多少名学生？9在 1 到 200 的全部自然数中，既不是8 的倍数也不是5的倍数的数有多少个？10科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114 件不是一年级的，有96 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共32 件。其他年级参展的作品共有多少件？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页容斥问题（二）这一讲介绍容斥原理2 n 个事物，如何采用三种不同的分类标准：按性质a 分类、性质b 分类与性质c 分类（如图 1） ，那么，具有性质a 或 b 或 c 的事物的个数 =(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+Nabc 。例 1五（ 1）班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4 名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下表：短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球17 人18 人15 人6 人6 人6 人2 人求全班人数。例 2某班有学生50 人，参加无线电小组，航模小组和生物小组的人数分别是20 人、 20 人和 12 人，其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4 人，既参加航模小组又参加生物小组的有5 人，既参加生物小组又参加无线电小组的有3 人。已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么， 三个小组参加的学生有多少人？例 3一个体育锻炼小组有35 名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个。结果参加篮球队的有 16 人，参加排球队的有11 人，参加足球队的有20 人，其中有4 人既参加了排球队又参加了篮球队，有3 人既参加了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加。既参加篮球队又参加足球队的有多少人？例 4. 松山小学45 名学生参加数学、作文、美术竞赛。有21 人参加数学竞赛，15 人参加作文竞赛，其中7 人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3 人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。（1）只参加数学竞赛的有多少人？（2）只参加作文竞赛的有多少人？（3）只参加美术竞赛的有多少人？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页练习与思考1有 30 名运动员、其中18 人会三级跳远，16 人会撑杆跳高，10 人三级跳远、撑杆跳高都不会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名？2操场上的学生排成10 路纵队做操，每路纵队的人数同样多，小明站在第4 路纵队，从排头数他是第13 人，从后往前数他是第8人。操场上有多少人在做操？3一个年级有120 人爱好数学， 100 人爱好语文， 85 人爱好美术， 30 人既爱好数学又爱好语文，20 人既爱好语文又爱好美术，35 人既爱好美术又爱好数学，有18 人三个学科都爱好。请问：这个年级中数学、语文、美术三个学科至少爱好一个学科的学生有多少人？4某班全体学生进行了数学、语文、英语三个科目的测试，有8 名学生在这三个科目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个科目达到优秀，这部分学生达到优秀的科目和人数如下表：数学语文英语数学、语文语文、英语英语、数学数学、语文、英语20 16 16 4 4 5 3 全班一共有多少名学生？5第三小队的学生有20 人，手中分别拿有红、黄蓝三种颜色的球，已知手中有红球、黄球、蓝球折学生人数分别为 10 人、 10 人、 6 人，其中手中既有红球又有黄球的有3 人，既有黄球又有蓝球的有2 人，既有蓝球又有红球的有 4 人。已知全队每人手里都至少有一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都有多少人？6某班 50 名同学全部参加数学、语文、美术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29 人，参加语文小组的有21 人，参加美术小组的有25 人，有 17 人既参加数学小组又参加美术小组，有15 人既参加数学小组又参加语文小组，有10 人既参加语文小组又参加美术小组。三个小组都参加的有多少人？7有学生 30 名，他们中有部分学生参加了乒乓球，羽毛球、排球三个训练小组，各组人数分别为14 人、12 人、10 人，其中既参加羽毛球小组又参加排球小组的有4 人，既参加羽毛球小组又参加乒乓球小组的有6 人，既参加乒乓球小组又参加排球小组的有5人， 三个小组都参加的有1人。 这些学生中这三个小组都没有参加的有几人？8某外语学习班有40 名学员，规定他们至少学习英语、日语、德语中的一咱。结果学习英语的有20 人，学习日语的有12 人， 学习德语的有18 人，其中有 5 人既学习了英语又学习了日语，有 2 人既学习了日语又学习了德语，没有人同时学习三咱语言。既学习英语又学习德语的有多少人？9四（ 1）班有55 名学生参加音乐、美术、体育兴趣组。有22 人参加美术组，有21 人参加音乐组，其中15人既参加音乐组又参加美术组，3 人既参加音乐组又参加体育组，但没有一人既参加美术组又参加优育组。（1）只参加美术组的有多少人？（2）只参加音乐组的有多少人？（3）只参加音乐组的有多少人？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页能力测试（三）（满分 100 分， 90 分钟完成）一、填空题（每空6分，共 54 分） 。1小英有2 分、 5 分的硬币共35 枚，一共是1 元 1 角 5 分， 2 分硬币有（）枚， 5 分硬币有（）枚。2从旧旧历中知道，1988 年元旦昌星期五，那么，2000 年元旦是星期（） 。3买 5 元 1 千克的糖和8 元 1 千克的糖共10 千克，用去71 元。 5 元 1 千克的糖有（）千克， 8 元 1千克的糖有（）千克。4图中共有（）个正方形。图中菜有（）个三角形。5新华小学四年级共40 个学生采集标本，采集昆虫标本的有27 人，采集植物标本的有21 人，两种标本都采集的有（）人。6某班学生去图书馆借书，每人都借了语文或数学课外书，统计结果是：借语文书的39 人，借数学书的32 人，语文、数学两种书都借的有26 人，全班学生共（）人。二、应用题（第1 题 10 分，其余每题9 分，共 46 分） 。1英文字母A， B，C，D，按规则排列为ABAACCDABAACCD共 250 个字母，最后一个字母是什么？A，B，C，D各有多少个？2四年级学生进行数学比赛，规定算对一题得5 分，错一题扣2 分。试卷上共有20 道题，李华得了86 分，他算对了多少道题？3一个停车场上共停汽车、三轮摩托车25 辆，其中汽车有4 个轮子，三轮摩托车有3 个轮子。这些车共有90个轮子。三轮摩托车有多少辆？4某班学生会打篮球的有40 人，会打排球的有32 人，两种球都会打的有30 人，还有 3 个学生这两种球都不会打。这个班有学生多少人？5有 43 位同学，他们身上带的钱从8 分到 5 角，钱数都不相同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片。画片只有两种：3 分一张和5 分一张。如果每人都尽量多买5 分一张的画片，那么，他们所买的3 分一张是画片的总数是多少张？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页