2022年届高三数学大一轮复习23函数的奇偶性与周期性教案理新人教A版 .pdf

2.3函数的奇偶性与周期性2014 高考会这样考1. 判断函数的奇偶性；2. 利用函数的奇偶性求参数或参数范围；3. 函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用复习备考要这样做1. 结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2. 注意函数奇偶性和周期性的小综合问题；3. 利用函数的性质解决有关问题1奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x， 都有f( x) f(x) ， 那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，都有f(x) f(x) ，那么函数f(x) 就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称2奇、偶函数的性质(1) 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(2) 在公共定义域内，两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数3周期性(1) 周期函数： 对于函数yf(x) ，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT) f(x)，那么就称函数yf(x) 为周期函数，称T为这个函数的周期(2) 最小正周期：如果在周期函数f(x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期 难点正本疑点清源 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页1函数奇偶性的判断(1) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2) 判断f(x) 与f( x) 是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x) f( x) 0( 奇函数 ) 或f(x) f( x) 0( 偶函数 ) 是否成立2函数奇偶性的性质(1) 若奇函数f(x) 在x0 处有定义，则f(0) 0. (2) 设f(x) ，g(x) 的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇(3) 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反1( 课本改编题 ) 已知f(x) ax2bx是定义在 a1,2a 上的偶函数，那么ab的值是_答案13解析由f(x) 是偶函数知，f(x) f( x) ，即ax2bxa( x)2bx，2bx0，b0. 又f(x) 的定义域应关于原点对称，即(a1) 2a0，a13，故ab13. 2(2011广东 ) 设函数f(x) x3cos x1. 若f(a) 11，则f( a) _. 答案9 解析令g(x) f(x) 1x3cos x，g( x) ( x)3cos( x) x3cos xg(x) ，g(x) 为定义在R上的奇函数又f(a) 11，g(a) f(a) 110，g( a) g(a) 10. 又g(a) f( a) 1，f( a) g( a) 1 9. 3设函数f(x) 是定义在R上的奇函数，若当x(0， ) 时，f(x) lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是 _答案( 1,0) (1，)解析画草图，由f(x) 为奇函数知：f(x)0 的x的取值范围为( 1,0) (1， ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页4函数f(x) 的定义域为R，若f(x1) 与f(x1) 都是奇函数，则( ) Af(x) 是偶函数 B f(x) 是奇函数Cf(x) f(x2) D f(x 3) 是奇函数答案D 解析因为f(x1) 与f(x1) 都是奇函数，所以f( x1)f(x1) ，即f(x) f(2 x) ，f( x1)f(x1) ，即f(x) f( 2x) ，于是f(x 2) f(x2) ，即f(x) f(x4) ，所以函数f(x) 是周期T4 的周期函数所以f( x14) f(x14)，f( x 3) f(x3) ，即f(x3) 是奇函数5 (2011大纲全国) 设f(x) 是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x) 2x(1 x)， 则f52等于( ) A12B14C.14D.12答案A 解析f(x) 是周期为 2 的奇函数，f52f522f12f12212 11212. 题型一判断函数的奇偶性例 1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) 9x2x29；(2)f(x) (x1) 1x1x；(3)f(x) 4x2|x3| 3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页思维启迪：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再验证f( x) f(x) 或其等价形式f( x) f(x) 0 是否成立解(1) 由9x20 x290 ，得x3.f(x) 的定义域为 3,3 又f(3) f( 3)0，f(3) f( 3) 0. 即f(x) f( x) f(x) 既是奇函数，又是偶函数(2) 由1x1x01x0，得 1x|x| 0知f(x) ln(xx21)的定义域为R，又f(x) ln( xx21) ln1xx21 ln(xx21)f(x) ，则f(x) 为奇函数；f(x) 3x3x2的定义域为R，又f(x) 3x3x23x3x2f(x)，则f(x) 为奇函数；由1x1x0 得 1x1，f(x) ln 1x1x的定义域为 ( 1,1) ，又f(x) ln 1x1xln1x1x1 ln1x1xf(x) ，则f(x) 为奇函数，奇函数的个数为5. 题型二函数的奇偶性与周期性例 2设f(x) 是定义在 R上的奇函数， 且对任意实数x， 恒有f(x2)f(x) 当x0,2时，f(x) 2xx2. (1) 求证：f(x)是周期函数；(2) 当x2,4 时，求f(x) 的解析式；(3) 计算f(0) f(1) f(2) , f(2 013) 思维启迪： (1) 只需证明f(xT) f(x) ，即可说明f(x) 是周期函数；(2) 由f(x) 在0,2上的解析式求得f(x) 在 2,0 上的解析式， 进而求f(x) 在2,4上的解析式；(3) 由周期性求和(1) 证明f(x2) f(x) ，f(x 4) f(x2) f(x) f(x) 是周期为4 的周期函数(2) 解x2,4 ，x 4， 2 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页4x0,2 ，f(4x) 2(4 x) (4x)2x26x8，又f(4x) f(x) f(x) ，f(x) x26x8，即f(x) x2 6x8，x2,4 (3) 解f(0) 0，f(2) 0，f(1) 1，f(3) 1. 又f(x) 是周期为4 的周期函数，f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) f(6) f(7) , f(2 008) f(2 009) f(2 010) f(2 011)0. f(0) f(1) f(2) , f(2 013) f(0) f(1) 1. 探究提高判断函数的周期只需证明f(xT)f(x) (T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题已知f(x) 是定义在R 上的偶函数，并且f(x2) 1fx，当 2x3时，f(x) x，则f(105.5) _. 答案2.5 解析由已知，可得f(x4) f(x2) 2 1fx211fxf(x)故函数的周期为4. f(105.5) f(427 2.5) f(2.5) 22.5 3，由题意，得f(2.5) 2.5. f(105.5) 2.5. 题型三函数性质的综合应用例 3设f(x) 是( ， ) 上的奇函数，f(x2) f(x) ，当 0 x1 时，f(x) x. (1) 求f( ) 的值；(2) 当4x4 时，求f(x) 的图象与x轴所围成图形的面积；(3) 写出 ( ， ) 内函数f(x)的单调区间思维启迪：可以先确定函数的周期性，求f( )；然后根据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间解(1) 由f(x2) f(x) 得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页f(x4) f(x2) 2 f(x2) f(x) ，所以f(x) 是以 4 为周期的周期函数，f( ) f( 14 )f( 4)f(4) (4) 4. (2) 由f(x) 是奇函数与f(x2) f(x) ，得：f(x1) 2 f(x1) f (x1) ，即f(1x) f(1x) 故知函数yf(x) 的图象关于直线x 1 对称又当 0 x1 时，f(x) x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x) 的图象如图所示当4x4 时，f(x) 的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB41221 4. (3) 函数f(x) 的单调递增区间为4k1,4k1 (kZ) ，单调递减区间为4k 1,4k3 (kZ) 探究提高函数性质的综合问题，可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象，充分利用已知区间上函数的性质，体现了转化思想 (1) 已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足f(x4) f(x) ，且在区间 0,2上是增函数，则 ( ) Af( 25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f( 25) Cf(11)f(80)f( 25) Df( 25)f(80)f(11) 答案D 解析由函数f(x) 是奇函数且f(x) 在 0,2 上是增函数可以推知，f(x)在 2,2 上递增，又f(x4) f(x) ?f(x8) f(x 4) f(x) ，故函数f(x) 以 8 为周期，f( 25) f( 1) ，f(11) f(3) f(34) f(1) ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页f(80) f(0) ，故f( 25)f(80)f(11) (2) 函数yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0， ) 时是增函数，若f(1) 0，求不等式fx(x 12)0 的解集解yf(x)为奇函数，且在(0， ) 上为增函数，yf(x) 在( ， 0) 上也是增函数，且由f(1) 0 得f( 1) 0. 若fx(x12)0 f(1) ，则xx12xx12即 0 x(x12)1，解得12x1174或1174x0. 若fx(x12)0 f( 1)，则xx12xx121由x(x12) 1，解得x?. 原不等式的解集是x|12x1174或1174x01. 等价转换要规范典例：(12 分) 函数f(x) 的定义域Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D. 有f(x1x2)f(x1) f(x2) (1) 求f(1) 的值；(2) 判断f(x) 的奇偶性并证明；(3) 如果f(4) 1，f(3x 1)f(2x6)3，且f(x) 在(0， ) 上是增函数，求x的取值范围审题视角(1) 从f(1) 联想自变量的值为1， 进而想到赋值x1x2 1.(2) 判断f(x) 的奇偶性，就是研究f(x) 、f( x) 的关系从而想到赋值x1 1，x2x. 即f( x) f( 1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页f(x) (3) 就是要出现f(M)f(N) 的形式，再结合单调性转化为MN的形式求解规范解答解(1) 令x1x21，有f(11)f(1) f(1) ，解得f(1) 0.2分 (2)f(x) 为偶函数，证明如下：4 分 令x1x2 1，有f( 1)( 1) f( 1) f( 1) ，解得f( 1)0. 令x1 1，x2x，有f( x) f( 1)f(x) ，f( x) f(x) f(x)为偶函数 7 分 (3)f(44)f(4) f(4) 2，f(16 4) f(16) f(4) 3.8分 由f(3x1) f(2x6)3，变形为f(3x1)(2x6) f(64) (*) f(x) 为偶函数，f( x) f(x) f(|x|) 不等式 (*) 等价于f|(3x1)(2x6)| f(64) 9 分 又f(x) 在(0 ， ) 上是增函数，|(3x1)(2x6)| 64，且 (3x1)(2x6)0.解得73x13或13x3或 3x5.x的取值范围是 x| 73x13或13x3或 3x5 12 分 温馨提醒数学解题的过程就是一个转换的过程解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度 如果每一步等价转换都是正确的、规范的， 那么这个解题过程就一定是规范的等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1) 要有明确的语言表示如“M”等价于“N”，“M”变形为“N”(2) 要写明转化的条件 如本例中： f(x) 为偶函数，不等式 (*) 等价于f|(3x1)(2x6)| f(64) (3) 转化的结果要等价如本例：由于f|(3x1)(2x6)| f(64) ? |(3x1)(2x6)| 64，且 (3x1)(2x6)0. 若漏掉 (3x 1)(2x6)0，则这个转化就不等价了. 方法与技巧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页1正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1) 定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x) 为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(x) f(x) 或f( x) f(x) 是定义域上的恒等式2奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f( x) f(x) ?f( x) f(x) 0?fxfx1(f(x) 0)3奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性失误与防范1判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x) 是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f( x) f(x) ，而不能说存在x0使f( x0) f(x0) 对于偶函数的判断以此类推3分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性. ( 时间： 60 分钟 ) A组专项基础训练一、选择题 ( 每小题 5 分，共 20 分 ) 1(2012广东 ) 下列函数为偶函数的是( ) Aysin xByx3CyexDylnx21 答案D 解析由函数奇偶性的定义知A、 B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数2(2012天津 ) 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2) 内是增函数的为( ) Aycos 2x，xRBylog2|x| ，xR且x0Cyexex2，xRDyx31，xR答案B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页解析选项 A中函数ycos 2x在区间0，2上单调递减，不满足题意；选项 C中的函数为奇函数；选项 D中的函数为非奇非偶函数，故选B. 3(2011辽宁 ) 若函数f(x) xx1xa为奇函数，则a等于 ( ) A.12 B.23 C.34 D 1 答案A 解析f( x) f(x)，x2x1xaxx1xa，(2a 1)x 0，a12. 4(2012福州质检) 已知f(x) 在 R上是奇函数，且满足f(x4) f(x) ，当x(0,2) 时，f(x) 2x2，则f(7) 等于 ( ) A 2 B 2 C 98 D 98 答案A 解析f(x4)f(x) ，f(x)是周期为4 的函数，f(7) f(24 1) f(1) ，又f(x) 在 R上是奇函数， f( x) f(x) ，f( 1)f(1) ，而当x(0,2) 时，f(x) 2x2，f(1) 2122，f(7) f( 1) f(1) 2，故选 A. 二、填空题 ( 每小题 5 分，共 15 分 ) 5设函数f(x) x(exaex)(xR) 是偶函数，则实数a的值为 _答案1 解析因为f(x) 是偶函数，所以恒有f( x) f(x)，即x(exaex) x(exae x) ，化简得x(exex)(a1) 0. 因为上式对任意实数x都成立，所以a 1. 6设f(x) 为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x) 2x2xb(b为常数 ) ，则f(1) _. 答案3 解析因为f(x) 是定义在R上的奇函数， 因此f( x) f(x) 0. 当x0 时，可得f(0)0，可得b 1，此时f(x) 2x2x1，因此f(1) 3. 又f( 1) f(1) ，所以f( 1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页 3. 7(2012江南十校联考) 已知定义在R上的函数yf(x) 满足条件fx32f(x) ，且函数y f x34为奇函数，给出以下四个命题：函数f(x) 是周期函数；函数f(x) 的图象关于点34，0 对称；函数f(x) 为 R上的偶函数；函数f(x) 为 R上的单调函数其中真命题的序号为_答案解析由f(x) f(x3) ?f(x) 为周期函数，且T3，为真命题；又yf x34关于(0,0) 对称，yf x34向左平移34个单位得yf(x) 的图象，则yf(x) 的图象关于点34，0 对称，为真命题；又yf x34为奇函数，f x34fx34，f x3434f34x34f( x) ，f x32f( x) ，f(x) f(x3) f x32f( x) ，f(x) 为偶函数，不可能为 R上的单调函数所以为真命题，为假命题三、解答题 ( 共 25 分) 8(12 分) 已知函数f(x) x2ax (x0)(1) 判断f(x) 的奇偶性，并说明理由；(2) 若f(1) 2，试判断f(x) 在2 ， ) 上的单调性解(1) 当a0 时，f(x)x2，f( x) f(x) ，函数是偶函数当a0时，f(x) x2ax (x0)，取x1，得f( 1) f(1) 20；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页f( 1)f(1) 2a0，f( 1)f(1) ，f( 1)f(1) 函数f(x) 既不是奇函数也不是偶函数(2) 若f(1) 2，即 1a2，解得a1，这时f(x) x21x. 任取x1，x22 ， ) ，且x1x2，则f(x1) f(x2) (x211x1) x221x2(x1x2)(x1x2) x2x1x1x2(x1x2)x1x21x1x2. 由于x12，x22，且x1x2，x1x21x1x2，所以f(x1)f(x2) ，故f(x) 在2 ， ) 上是单调递增函数9(13 分) 已知函数f(x) 是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1 对称(1) 求证：f(x)是周期为4 的周期函数；(2) 若f(x) x (0 x1)，求x 5， 4 时，函数f(x)的解析式(1) 证明由函数f(x) 的图象关于直线x1 对称，有f(x1) f(1x) ，即有f( x) f(x2) 又函数f(x) 是定义在R上的奇函数，故有f( x) f(x) 故f(x2)f(x) 从而f(x4) f(x2)f(x) ，即f(x) 是周期为4 的周期函数(2) 解由函数f(x) 是定义在R上的奇函数，有f(0) 0. x 1,0) 时，x (0,1 ，f(x) f( x) x. 故x 1,0 时，f(x) x. x 5， 4 时，x4 1,0 ，f(x) f(x4)x4. 从而，x 5， 4 时，函数f(x) x4. B组专项能力提升一、选择题 ( 每小题 5 分，共 15 分 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页1 (2011安徽 ) 设f(x) 是定义在 R上的奇函数， 当x0时，f(x) 2x2x， 则f(1) 等于 ( ) A 3 B 1 C1 D 3 答案A 解析f(x) 是奇函数，当x0 时，f(x) 2x2x，f(1) f( 1) 2 ( 1)2( 1) 3. 2已知f(x) 是定义在R上的偶函数，g(x) 是定义在R 上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 013) f(2 015) 的值为 ( ) A 1 B 1 C0 D 无法计算答案C 解析由题意，得g( x) f( x 1) ，又f(x) 是定义在R上的偶函数，g(x) 是定义在 R上的奇函数， g( x) g(x) ，f( x) f(x) ，f(x 1) f(x1) ，f(x) f(x2) ，f(x) f(x4) ，f(x) 的周期为4，f(2 013) f(1) ，f(2 015) f(3) f( 1) ，又f(1) f( 1) g(0) 0，f(2 013) f(2 015) 0. 3(2012淄博一模) 设奇函数f(x) 的定义域为R，最小正周期T3，若f(1) 1，f(2) 2a 3a1，则a的取值范围是 ( ) Aa 1 或a23Ba1 C 1a23 Da23答案C 解析函数f(x) 为奇函数，则f(1) f( 1) 由f(1) f( 1)1，得f( 1) 1；函数的最小正周期T3，则f( 1) f(2) ，由2a3a1 1，解得 1a23. 二、填空题 ( 每小题 4 分，共 12 分 ) 4(2011浙江 ) 若函数f(x) x2|xa| 为偶函数，则实数a_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页答案0 解析函数f(x) x2|xa| 为偶函数，f( x) f(x) ，即 ( x)2| xa| x2|xa| ，| xa| |xa| ，a0. 5已知函数f(x) 满足：f(1) 14，4f(x)f(y) f(xy) f(xy)(x，yR) ，则f(2 015)_. 答案14解析方法一令x1，y0 时， 4f(1) f(0) f(1) f(1) ，解得f(0) 12，令x1，y1 时， 4f(1) f(1) f(2) f(0) ，解得f(2) 14，令x2，y1 时， 4f(2) f(1) f(3) f(1) ，解得f(3) 12，依次求得f(4) 14，f(5) 14，f(6) 12，f(7) 14，f(8) 14，f(9) 12，,可知f(x) 是以 6 为周期的函数，f(2 015) f(3356 5) f(5) 14. 方法二f(1) 14， 4f(x) f(y) f(xy) f(xy) ，构造符合题意的函数f(x) 12cos 3x，f(2 015) 12cos32 01514. 6设函数f(x) 是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1) f(x1) ，已知当x0,1 时，f(x) 121x，则2 是函数f(x) 的周期；函数f(x) 在(1,2) 上递减，在(2,3) 上递增；函数f(x) 的最大值是1，最小值是0；当x(3,4) 时，f(x) 12x3. 其中所有正确命题的序号是_答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页解析由已知条件：f(x2) f(x) ，则yf(x) 是以 2 为周期的周期函数，正确；当1x0 时 0 x1，f(x) f( x) 121 x，函数yf(x) 的图象如图所示：当 3x4 时， 1x 40，f(x) f(x4)12x3，因此正确不正确三、解答题 ( 共 13 分) 7已知函数f(x) 在 R上满足f(2 x) f(2 x) ，f(7 x) f(7 x) 且在闭区间 0,7 上，只有f(1) f(3) 0，(1) 试判断函数yf(x) 的奇偶性；(2) 试求方程f(x) 0 在闭区间 2 011,2 011上根的个数，并证明你的结论解(1) 若yf(x) 为偶函数，则f(x) f(2(x2) f(2 (x2) f(4x) f(x) ，f(7) f(3) 0，这与f(x) 在闭区间 0,7上，只有f(1) f(3) 0 矛盾；因此f(x) 不是偶函数若yf(x) 为奇函数，则f(0) f( 0) f(0) ，f(0) 0，这些f(x) 在闭区间 0,7上，只有f(1) f(3) 0 矛盾；因此f(x) 不是奇函数综上可知：函数f(x) 既不是奇函数也不是偶函数(2) f(x) f2 (x2) f2 (x2) f(4 x) ，f(x) f7 (x7) f(7(x7) f(14x) ，f(14 x) f(4x) ，即f10 (x4) f(4 x) f(x 10) f(x) ，即函数f(x) 的周期为10. 又f(1) f(3) 0，f(1) f(1 10n) 0(nZ) ，f(3) f(3 10n) 0(nZ) ，即x110n和x 310n(nZ)均是方程f(x) 0 的根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页由2 0111 10n2 011及nZ 可得n0，1，2，3，, ，201，共403个；由2 0113 10n2 011 及nZ 可得n0，1，2，3，, ，200，201，共 402 个；所以方程f(x) 0 在闭区间 2 011,2 011上的根共有805 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页