2022年平方根与立方根 .pdf

学习必备欢迎下载平方根 1 教学目的：1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法；教学重点和难点：重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法；难点：平方根的概念；关键：对符号“”意义的理解。学法指导：根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣手脑并用启发诱导反馈矫正”的教学方法。教法指导：1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长， 让学生学会学习。本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。教学过程：一、引入新课：我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。例如已知正方形一边长是4 厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米 ?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。这节课我们就要学习开方运算和平方根。可以先预练120 的平方计算。二、新课学习：1、知识设疑：（1）计算： 42；( 4)2；(23)2；(0.8)2；( 0.8)2（2）如果已知一个数的平方等于16，怎样求这个数？2、知识形成：知识点一：我们可以设这个数为x，则2x16，问题归结为求x。这个问题可以通过乘方运算来解决。因为 4216 所以 x4；又因为 ( 4)216，所以 x 4。4 或 4 的平方都等于16，因为开方与平方是互为逆运算， 所以适当进行平方运算的复习是必须的上面例子可以看到求 一 个 数 的 平 方根，可经转化为通过乘方运算来求。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页学习必备欢迎下载这 些 数 都 是 正数，它们都有两个平方根，这些数的两个平方根都分别是互为相反数可以表示为 ( 4)216。因为 4或 4 的平方都等于16，我们把4 及 4 叫做 16 的平方根。概括 1：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根 ( 或二次方根 ) 。就是说，如果x2a, 那么 x 就叫做 a 的平方根。如： 23 与 23 都是 529 的平方根。因为 ( 23)2529，所以 23 是 529 的平方根。问： （1）16，49，100，1 100 都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2） 0 的平方根是什么? 概括 2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 有一个平方根，它是0 本身；负数没有平方根。知识点二 ：概括 3：求一个数a(a 0) 的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0 的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0 的平方根是0。负数没有平方根。因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。知识点三 ：（1）625 的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？7 和 7 是哪个数的平方根？正数 m的平方根怎样表示？（2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (0.4)2；2)321(；16； ( 4)3（3）已知正方形的面积等于a, 那么它的边长等于多少？3、例题讲解：例 1、求下列各数的平方根： (1)81 ；(2)1916 ；(3)0.09 。例 2、下列各数有平方根吗? 如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1) 64；(2)0 ；(3)24分析： 因为只有正数和零才有平方根， 所以首先应观察所给精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页学习必备欢迎下载例 3、求下列各式的值：(1)10000； (2)144； (3)12125；(4)0001.0； (5)8149三、巩固训练：课后练习四、知识小结：1、如果 x2a, 那么 x 就叫做 a 的平方根，用a来表示。当 a0 时， a 有两个平方根，当 a0 时， a 有一个平方根，就是它本身；当 a0 时， a 没有平方根。2、求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。平方的结果是唯一的；在开平方运中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的。五、课后作业：六、课后反思平方根 2 教学目的：1、使学生理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；2、理解并掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页学习必备欢迎下载教学分析：重点：算术平方根的概念及求算术平方根的方法；难点：算术平方根的概念，对符号“”意义的理解，能用根号表示一个正数的平方根和算术平方根。教学过程：一、算术平方根的概念正数a有两个平方根( 表示为a) ，我们把其中正的平方根，叫做a的算术平方根，表示为a。0的平方根也叫做0 的算术平方根，因此0 的算术平方根是0，即00。“”是算术平方根的符号，a就表示a的算术平方根。a的意义有两点：（1）被开方数a表示非负数，即a0；（2）a也表示非负数，即a0。也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。负数不存在算术平方根，即a0 时，a无意义。如：93，8 是 64 的算术平方根，6无意义。9既表示对9 进行开平方运算，也表示9 的正的平方根。二、平方根与算术平方根的区别在于：定义不同；个数不同：一个正数有两个平方根, 而一个正数的算术平方根只有一个；表示方法不同：正数a的平方根表示为a, 正数a的算术平方根表示为a；取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负0 的平方根与算术平方根都是0三、例题讲解：例 1、求下列各数的算术平方根：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页学习必备欢迎下载(1)100 ； (2)6449； (3)0.81 例 2、求下列各数的平方根和算术平方根。144 324 116 0 0.25 0.0144 16121 400 6.25 例 3、100 的平方根是；0 的平方根是；121 的算术平方根是；0.25 的平方根是；6449的算术平方根是；2561的平方根是；1.69 的算术平方根是；（-3 ）2的平方根是；四、巩固训练：1、下列说法对吗？为什么？错的请你加以改正。（ 1） 9 的平方根是3；（ 2）49 的平方根是7；（ 3）0 的算术平方根是0；（ 4）1 的平方根是 1 ；（ 5） 1 是 1 的平方根；（ 6）7 的平方根是49；（ 7） （ 2）2的平方根是 2；五、知识小结：1、平方根、算术平方根概念、表示方法和读法。2、a) 正数的平方根有两个，他们互为相反数。b) 0 的平方根有一个，为0。 c) 负数没有平方根。3、0既是 0 的平方根，也是0 的算术平方根。平方根和算术平方根是初中代数中的两个重要概念，全面掌握它，就必须分清它们的区别，认清它们之间的联系六、课后作业：分析：求平方根是开方运算， 我们可以通过平方运算来解决。问：(1)24有平方根吗 ? (2)24与 4相等吗 ?为什么 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页学习必备欢迎下载七、课后反思：平方根和算术平方根3 教学目的：1、复习数的平方根和算术平方根的概念，会求非负数的平方根和算术平方根。；2、熟练掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；教学分析：重点：算术平方根的概念及求算术平方根的方法；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页学习必备欢迎下载难点：算术平方根的概念，对符号“”意义的理解，能用根号表示一个正数的平方根和算术平方根。教学过程：1、知识回顾(1) 什么叫一个数a 的平方根 ? 如何用符号表示数)0(aa的平方根 ? (2) 正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0 的平方根是什么? (3) 当0a时，式子a，a，a，的意义各是什么? (4) 平方根有哪些性质？分析： (1) 如果一个数x 的平方等于a，即ax2，那么 x 叫做 a 的平方根， 表示为 xa。(2) 正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0 的平方根是0。(3)a 0，a表示 a 的算术平方根，a表示 a 的负平方根，a表示 a 的平方根2、随堂练习一、选择题1下列说法正确的是（） A 、4 的平方根是2 B 、4 的算术平方根是-2 C、 8 的平方根是4 D、 9 的平方根是32下列计算中，正确的是（）A 39 B 43169 C 3)3(2 D 48381的平方根是（）A 9 B 9 C 3 D 3 4与135最接近的整数是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页学习必备欢迎下载A 11 B 12 C 13 D 14 二、填空题51。44 的平方根是；算术平方根是6259的平方根是；算术平方根是7一个数的平方根是31aa和，则a，这个数是。8已知：mn73，且nm,是两个连续整数，则m，n。9计算：2)2(。10已知：062baa，则ab的平方根为。三、求下列各式中x的值：1252x 2092x 32592x4049162x 5412x 612132x四、小明设计一个如下程序：输入x0 1 4 9 25 )0(aa输出y1 2 3 4 12 （1）在上述）表格的空白处填上恰当的数值；（2）当输入的数字为435 时，请你估算出与输出y最接近的一个整数。五、图 4 所示的是计算函数值的程序图 ，如输入的x的值为 -11 ， 因为 -11-10 ，则1221)11(122xy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页学习必备欢迎下载(1) 若输入的x的值为6，则y的值等于。 (2) 若输入的x的值为123，则y的值等于。(3) 若输出的y的值为 5，则x的值等于。(4) 若输入的x的值为 13，请你估算出一个与y误差不超过0。5 的有理数的值。 （简要写出计算过程和估算过程）注意： 由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算术平方根是非负数，即当a0 时，a0(当a 0 时，a无意义 ) 用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义如有一个面积为a (a应是非负数 ) 、边长为a的正方形就表示a的算术平方根。这里需要说明的是，算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号，如a0 时，a表示对非负数a进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根。例 2 以游戏的方法来进行课堂练习，一方面加强了学生对本堂课所学知识的理解和巩固，另一方面有挑战性的游戏，提高了学生的学习兴趣。巩固课堂知识，及时反馈课堂效果，更好地进行教学细节上的改进。立方根 1 教学目的：1、使学生了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根；2、理解开立方的概念；3、明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；教学分析：重点：立方根的概念及求法；难点：立方根与平方根的区别；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页学习必备欢迎下载关键：立方根的概念与性质及求法。教学过程：一、知识导向：立方根是与平方根等同的两个概念，在前面学习平方根与算术平方根概念的基础上，进一步来学习这个概念与知识，应该是相对轻松的。所以在教材的处理上，主要还是要侧重于两者的比较与关系，这样比较有利于学生的掌握。二、新课学习：1、知识设疑：（1）计算下列各题：31.03)23(30（2）怎样求下列括号内的数?各题中已知什么 ?求什么 ? 3)(18 3)(27 3)(0 2、知识形成概括 1： 如果一个数的立方等于a， 这个数就叫做 a 的立方根 ( 也叫做三次方根 ) 。用式子表示，就是，如果ax3，那么 x 叫做 a 的立方根。数 a 的立方根用符号“3a”表示，读作“三次根号a，其中 a 是被开方数， 3 是根指数。(注意：根指数 3 不能省略 )。概括 2：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。3、例题讲解：例 1、 求下列各数的立方根：8； 8；0。125；27125；0 例 2、 求下列各式的值：327、364、321017、31000三、巩固训练：1、求下列各数的立方根：（1） 512（2）125. 0（3）3)3(（4）8332、填空（1） 立方根等于本身的数是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页学习必备欢迎下载（2） 若3x0。729，则x（3） 若216513y，则 y（4）64的立方根是，312的立方根是四、知识小结：1、 什么叫一个数的立方根 ?怎样用符号表示数a的立方根 ?a 的取值范围是什么? 2、数的立方根与数的平方根有什么区别? 3、我们在学习立方根概念时，应对照平方根概念进行。五、课后作业：六、课后反思平方根与立方根的练习目 的：通过练习，学生进一步掌握平方根与立方根的相似点与不同点，同时也巩固平方根与立方根的计算。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页学习必备欢迎下载实数与数轴 1 教学目的：1、使学生了解无理数和实数的概念，掌握实数的分类，会准确判断一个数是有理数还是无理数；2、使学生能了解实数绝对值的意义；3、使学生能了解数轴上的点具有一一对应关系；4、由实数的分类，渗透数学分类的思想；教学分析：重点：无理数及实数的概念；难点：有理数与无理数的区别，点与数的一一对应；关键：由实数与数轴的一一对应，渗透数形结合的思想。教学过程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页学习必备欢迎下载一、知识导向：在有理数基础上进一步将数系扩展到实数，从学习的角度看，它是以平方根为基础，从具体的例子（2）提炼出无理数的概念，并类比有理数的运算简单的实数的运算。实数引入的关键是无理数的引入，无理数在数学史上一开始并不被人们接受，对于无理数的理解是一个难点，因而教学时要花较多的时间，真正让学生体会到用计算器求得2的值只是一个近似值，并能在数轴上给予确定其相对位置。从而确立了实数与数轴上的点一一对应。二、新课拆析：1、知识设疑：其一、什么叫有理数？其二、有理数可以如何分类？2、知识形成概括：无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。（1）实数的定义：有理数与无理数统称为实数。（2）实数的相反数：（3）实数的绝对值：（4）实数的运算3、知识拓展我们在学有理数时，接触过数轴，请学生回忆什么叫数轴。规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。每一个有理数在数轴都有一个对应的位置，反过来，数轴上所有的点都表示有理数吗？画出课本中的数轴，并画出2，可见数轴上的数，不仅有表示有理数的点，还有表示无理数的点，所以实数与数轴上的点是一一对应的。实数的大小比较。数轴上右边的数总比左边的数大。不过有时我们还要将无理数取近似值，用有限小数来代替无理数进行比较。试估算（ 1）10在哪两个整数之间？（2）3.1 103.2 正确吗？实数的计算。在有理数范围的运算律及运算性质以实数范围内仍然适用。结果要求精确到某一位时， 在计算过程中应比结果要求的多保留一位小数，最后一步再次进行4 舍 5 入，得到一个符合要求的数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页学习必备欢迎下载4、例题讲解：例 1、下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数?哪些是正实数 ? 0.313 131，, 2 ，81 ， 23 ， 3 27， 3.14 ， 7 ， 0.4829 ，1.020020002， 3, 9， 3, 0.5 例 2、求下列各式中的x：（1）若|x； （2）若|x-1| 2。例 3、判断题：（1）任何实数的偶次幂是正实数。 （）（2）在实数范围内，若 | x|y| 则 xy。 （）（3）0 是最小的实数。（）（4）0 是绝对值最小的实数。（）例 4、求下列各数的相反数及绝对值：(1)3 64；(2)3 例 5、试估计32与的大小关系。例 6、计算：| 2 33 2 |2） （结果精确到 0。01）三、巩固训练：1、下列各数，哪些是有理数?哪些是无理数 ?哪些是实数 ? 3， 3 8 ， 1 。732， 0 。 2 ，0。13，3 5 ，2。734 78，227。2、判断正误，并说明理由。(1) 在理数是实数； ( ) (2) 实数是无理数； ( ) (3) 无限小数都是无理数； ( ) (4) 带根号的数都是无理数；( ) (5)0 是实数； ( ) (6)0 是无理数； ( ) (7)0 是有理数； ( ) (8) 无理数都是开方开不尽的数。( ) 3、求下列各数的相反数和绝对值：(1)2 。5；(2) 7；(3) 5；(4)0 ；(5)3 2；(6) 3。4、求下列各式中的实数x；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页学习必备欢迎下载(1) x23；(2) x0；(3) x10；(4) x2。5、 已知：nm73， 且nm,是两个连续整数，m，n。四、知识小结：1、今天我们学习了实数，请同学们首先要清楚，实数是如何定义的，它与有理数是怎样的关系，二是对实数两种不同的分类要清楚；2、 要对应有理数的相反数与绝对值定义及运算律和运算性质，来理解在实数中的运用。实数复习第一课时教学目标 ：了解数的算术平方根及平方根的概念，并会用符号表示；理解平方与开方之间是互为逆运算的关系；了解立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；教学重点： 了解数的算术平方根及平方根的概念，会求某些非负数的平方根了解立方根的概念，用立方运算求某些数的立方根；实数的意义和实数的分类；教学难点：a是非负数以及被开方数a是非负数；正确区分算术平方根与平方根；明确平方根与立方根的区别；教学方法： 合作交流解读探究教学过程一、 出示三节的知识结构图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页学习必备欢迎下载P124 二、 复习平方根立方根的概念，区分平方根、立方根、算术平方根的区别。三、练一练1. 下列说法正确的是 ( ) 2. 判断正误164的立方根是 2 （ ）23 是 27 的负的立方根（ ） 3 1 的立方根是 1 （ ） 4. 9的平方根是 3 3. 若2130 xyxyz，求, ,x y z的值。416.的平方根是A的算术平方根的相反数表示 66.B任何数都有平方根.C一定没有平方根2.aD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页学习必备欢迎下载4. 求下列各式中的x：第二课时5. 332278,3, 3.141,2,0.1010010001,1.414,0.0202 02,7378正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 6. 一个直角三角形的两条直角边的长为2 和 1，斜边长为多少？1962x8142x83x12823x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页学习必备欢迎下载7. 你能在数轴上画出表示10的点吗？8 大家都知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数， 因此，2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2 -1 来表示2的小数部分，你同意小明的方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的， 因为2的整数部分是 1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。请解答：三、小结这 2 节课你有什么收获？还有什么困惑的地方吗？., 103的相反数求是整数，且，其中已知yxyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页