2022年高一数学人教知识点总结 .pdf

学习必备欢迎下载高一数学知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性互异性无序性(1) 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集R 二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：BA有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分，； （2）A与 B 是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA 2 “相等”关系：A=B (5 5，且 5 5，则 5=5) 即： 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集 :如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 BA) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果 A B 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有2n个子集， 2n-1个真子集二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页学习必备欢迎下载集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x)，x A其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； 定义域一致(两点必须同时具备) 2值域 : 先考虑其定义域5映射对于映射 f：A B 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。二函数的性质1.函数的单调性 (局部性质 ) （1）增减函数注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . (3).函数单调区间与单调性的判定方法(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x) ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习必备欢迎下载y=f(u)的单调性密切相关，其规律： “同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8函数的奇偶性（整体性质）9、函数的解析表达式函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域 . 10函数最大（小）值第二章 基本初等函数一、指数函数负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是0，记作00n。当n是 奇 数 时 ，aann， 当n是 偶 数 时 ，)0()0(|aaaaaann2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：) 1,0(*nNnmaaanmnm，) 1, 0(11*nNnmaaaanmnmnm0 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）rasrraa),0(Rsra；（2）rssraa )(),0(Rsra；（3）srraaab)(),0(Rsra（二）指数函数及其性质注意：指数函数的底数的取值范围， 底数不能是负数、 零和 1指数函数的图象和性质a1 0a1 0a1 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域 x0 定义域 x0 值域为 R 值域为 R 在 R 上递增在 R 上递减函数图象都过定点（ 1，0）函 数 图象 都过 定点（1，0）（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在 （0，+）都有定义并且图象都过点（1，1） ；（2）0时， 幂函数的图象通过原点， 并且在区间),0上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时， 幂函数的图象在区间),0(上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习必备欢迎下载2 、函数 零点 的意 义 ：函数)(xfy的零 点就 是方 程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程0)(xf的实数根；2 （几何法） 对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy（1），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3）， 方程02cbxax无实根， 二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点高中数学必修二复习基本概念公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。公理 3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页学习必备欢迎下载推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行直线在平面内有无数个公共点直线和平面相交有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。三垂线定理及逆定理 : 如果平面内的一条直线 ,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直.直线和平面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页学习必备欢迎下载直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。两个平面的位置关系：a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。b、相交两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。直线与方程（1）直线的斜率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习必备欢迎下载定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时， k 不存在。（3）直线方程点斜式：)(11xxkyy直线斜率 k，且过点11,yx注意：当直线的斜率为0时， k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：bkxy，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11, yx，22,yx截矩式：1xyab其中直线 l 与x轴交于点( ,0)a,与y轴交于点(0, )b,即 l 与x轴、y轴的截距分别为,a b。一般式：0CByAx（A，B 不全为 0）注意：1各式的适用范围2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：by（b 为常数） ；平行于 y 轴的直线：ax（a 为常数） ；（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（5）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,/bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（6）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21/ ll；方程组有无数解1l与2l重合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习必备欢迎下载（7）两点间距离公式：设1122(,),A xyB xy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121|()()ABxxyy（ 8）点到直线距离公式：一点00, yxP到 直 线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd（9）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。圆的方程（1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为 r；（2）一般方程022FEyDxyx当0422FED时 ， 方 程 表 示 圆 ， 此 时 圆 心 为2,2ED， 半 径 为FEDr42122（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到 l 的距 离 为22BACBbAad， 则 有相离与Clrd；相切与 Clrd；相交与Clrd（2）过圆外一点的切线： k 不存在，验证是否成立 k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 =半径，求解 k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为 (x0，y0)，则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2圆与圆的位置关系通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习必备欢迎下载当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点基本三角函数诱导公式终边相同的角的三角函数值相等zk,tan2tanzk,2zk,2kCoskCosSinkSin轴对称关于与角角xtantanCosCosSinSin轴对称关于与角角ytantanCosCosSinSin关于原点对称与角角tantanCosCosSinSin对称关于与角角xy2cot2tan22SinCosCosSincot2tan22SinCosCosSin上述的诱导公式记忆口诀： “奇变偶不变，符号看象限”三角函数的性质性质xSinyxCosy定义域R R 值域1 , 11 , 1周期性22奇偶性奇函数偶函数单调性减函数增函数,232,22,22,22zkkkzkkk减函数增函数,2 ,2,2,2zkkkzkkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习必备欢迎下载对 称 中心zkk,0,zkk,0,2对称轴zkkx,2zkkx,图像54321-1-2-3-4-5-6y-8-6-4-22468xO /2 2 - -2 3 /2- /2-3 /254321-1-2-3-4-5y-8-6-4-22468xO /23 /2- /2-3 /2 - -2 2 平面向量共线定理：一般地，对于两个向量如果有,0,baa是共线向量与是共线向量；反之如果与则使得一个实数ababaab,0,.,ab使得那么又且只有一个实数向量的一个定理的类似推广向量共线定理：0aab平面向量基本定理：不共线的向量为该平面内的两个其中212211,eeeea空间向量基本定理：不共面的向量为该空间内的三个其中321332211,eeeeeea一般地，设向量aayxbyxa如果且, 0,221101221yxyxb那么反过来，如果ayxyx则, 01221b.一般地，对于两个非零向量ba,有Cosbaba，其中为两向量的夹角。222221212121yxyxyyxxbabaCos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习必备欢迎下载特别的，22aaaaaaa或者0,0,212121212211yyxxbayyxxbaayxbyxa特别的则且如果三角公式以及恒等变换两角的和与差公式：，SinCosCosSinSinSinCosCosSinSintantan1tantantantantan1tantantanSinSinCosCosCosSinSinCosCosCos二倍角公式：22222tan1tan22tan2112222SinCosSinCosCosCosSinSin半角公式：212212CosCosCosSinSinCosCosSinCosCos11112tan高中数学必修 5 知识点第一章：解三角形知识点：1、正弦定理： 在C 中，a、b 、c分别为角、C 的对边， R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC2、正弦定理的变形公式：2sinaR，2sinbR，2sincRC ； sin2aR，sin2bR，sin2cCR； （正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）:sin:sin:sina b cC ；sinsinsinsinsinsinabcabcCC3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac4、余弦定理：在C 中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC5 、 余 弦 定 理 的 推 论 ：222cos2bcabc，222cos2acbac，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习必备欢迎下载222cos2abcCab6、设a、b 、c是C 的角、C 的对边，则：若222abc， 则90C为直角三角形；若222abc，则90C为锐角三角形；若222abc，则90C为钝角三角形第二章：数列12、由三个数a， b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与 b的等差中项若2acb，则称 b 为a与c的等差中项13、若等差数列na的首项是1a，公差是 d ，则11naand 14 、 若na是 等 差 数 列 ， 且 mnpq （m、n、 p 、*q） ， 则mnpqaaaa；若na是等差数列，且2npq（n、 p 、*q） ，则2npqaaa15、等差数列的前n项和的公式：12nnn aaS；112nn nSnad18、在a与b中间插入一个数 G ，使a，G ，b 成等比数列，则 G 称为a与b 的等比中项若2Gab，则称 G 为a与b 的等比中项21、 若na是等比数列，且 mnpq（m、n、p 、*q） ， 则mnpqaaaa；若na是等比数列，且2npq（n、 p 、*q） ，则2npqaaa 22、等比数列na的前n项和的公式：11111111nnnna qSaqaa qqqq一些方法：2、由递推公式求通项公式：若化简后为daann 1形式，可用等差数列的通项公式代入求解；若化简后为),(1nfaann形式，可用叠加法求解；若化简后为qaann 1形式，可用等比数列的通项公式代入求解；若化简后为bkaann 1形式，则可化为)()(1xakxann，从而新数列xan是等比数列，用等比数列求解xan的通项公式，再反过来求原来那个。 （其中x是用待定系数法来求得）3、由求和公式求通项公式：11Sa1nnnSSa检验naa 是否满足1，若满足则为na，不满足用分段函数写。第三章：不等式1、0abab ；0abab ；0abab比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页学习必备欢迎下载2 、 不 等 式 的 性 质 ： abba ； ,ab bcac； abacbc；,0ab cacbc，,0ab cacbc；,ab cdacbd；0,0abcdacbd；0,1nnababnn；0,1nnabab nn3、一元二次不等式： 只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2的不等式4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24bac000二次函数2yaxbxc0a的图象一元二次方程20axbxc0a的根有两个相异实数根1,22bxa12xx有两个相等实数根122bxxa没有实数根一元二次不等式的解集20axbxc0a12x xxxx或2bx xaR20axbxc0a12x xxx12、均值不等式定理：若0a，0b，则2abab，即2abab 13、常用的基本不等式：222,abab a bR ；22,2ababa bR；20,02ababab；14、极值定理：设x、 y 都为正数，则有若 xys（和为定值），则当 xy 时，积 xy取得最大值24s精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页学习必备欢迎下载若 xyp（积为定值），则当 xy时，和 xy取得最小值 2p 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页