2022年平行四边形优题与易错题答案与解析 .pdf

学习必备欢迎下载第 6 章平行四边形优题与易错题答案与解析1. 在? ABCD 中， AB 与 CD 的关系为：AB=CD 且 ABCD2考点 ：三角形中位线定理。专题 ：规律型。分析： 十等分点那么三角形中就有9 条线段，每条线段分别长，让它们相加即可解答：解：根据题意：图（ 1） ，有 1 条等分线，等分线的总长=；图（ 2） ，有 2 条等分线，等分线的总长=a；图（ 3） ，有 3 条等分线，等分线的总长=a； 图（ 4） ，有 9 条等分线，等分线的总长=a=a故答案为a3考点 ：三角形中位线定理。分析： 作 CF 中点 G，连接 DG，由于 D、G 是 BC、CF 中点，所以DG 是 CBF 的中位线，在 ADG 中利用三角形中位线定理可求 AF=FG ，同理在 CBF 中，也有 CG=FG，那么有AF=CF解答： 解：作 CF 的中点 G，连接 DG，则 FG=GC 又 BD=DC DGBF AE=ED AF=FG =故答案为4考点 ：三角形中位线定理。分析： 根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于原三角形周长的一半解答： 解：点 D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点， DE，EF，DF 分别是原三角形三边的一半， DEF 与ABC 的周长之比 =1：2故答案为 1：25一个任意三角形的三边长分别是6cm， 8 cm，12cm， 它的三条中位线把它分成三个平行四边形，则它们中周长最小是14cm考点 ：三角形中位线定理。分析： 周长最小的应该是中位线与最短边围成的平行四边形解答： 解：如图： AB=6cm，AC=8cm ，BC=12cm，D，F，E 分别为三角形各边中点三条中位线把它分成三个平行四边形，则它们中周长最小的应该是中位线与最短边围成的平行四边形即?ADEF AD=EF=3cm ，DE=AF=4cm ，其周长为2 3+2 4=14（cm）故答案为 146.考点 ：三角形中位线定理。分析： 易得 ABD ， ACD 为ABC 面积的一半，同理可得 BEC 的面积等于 ABC 面积的一半，那么阴影部分的面积等于BEC的面积的一半解答： 解： D 为 BC 中点，根据同底等高的三角形面积相等，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载SABD=SACD=SABC= 4=2，同理 SBDE=SCDE=SBCE= 2=1，SBCE=2，F 为 EC 中点，SBEF=SBCE= 2=1故答案为 17考点 ：三角形中位线定理。专题 ：整体思想。分析： 根据题意，易得MN=DE ，从而证得 MNO EDO，再进一步求 ODE 的高，进一步求出阴影部分的面积解答： 解：连接 MN ，作 AFBC 于 FAB=AC ， BF=CF=BC= 8=4，在 RtABF 中， AF=，M、N 分别是 AB，AC 的中点，MN 是中位线，即平分三角形的高且MN=8 2=4，NM=DE ， MNO EDO，O 也是 ME，ND 的中点，阴影三角形的高是1.5 2=0.75， S阴影=4 0.75 2=1.58考点 ：三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）。专题 ：操作型。分析： 由翻折可得 PDE=CDE，由中位线定理得DEAB ，所以 CDE=DAP，进一步可得 APD= CDE解答： 解： PED 是CED 翻折变换来的， PEDCED， CDE=EDP=48 ，DE 是ABC 的中位线，DEAB， APD=CDE=48 ，点评： 本题考查三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等9考点 ：三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）。分析： 根据折叠图形的对称性，易得EDF EAF ，运用中位线定理可知AEF 的周长等于 ABC 周长的一半，进而DEF 的周长可求解解答： 解： EDF 是EAF 折叠以后形成的图形， EDFEAF ， AEF= DEF，AD 是 BC 边上的高，EFCB，又 AEF=B， BDE=DEF， B=BDE， BE=DE ，同理， DF=CF，EF 为ABC 的中位线， DEF 的周长为 EAF 的周长，即AE+EF+AF=（AB+BC+AC ）=（12+10+9）=15.5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载10考点 ：三角形中位线定理。专题 ：规律型。分析： 根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解解答：解：根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半，那么第二个三角形的周长=ABC 的周长 =1 =，第三个三角形的周长为=ABC 的周长 =（）2，第 10 个三角形的周长=（）911考点 ：三角形中位线定理；等边三角形的性质。分析： 利用平移性质可得图形ABCDEFG 外围的周长等于等边三角形ABC 的周长加上AE，GF 长，利用三角形中位线长定理可得其余未知线段的长解答： 解： ABC 、ADE 及EFG 都是等边三角形，D 和 G 分别为 AC 和 AE 的中点，AB=AC=BC=4 DE=CD=AC= 4=2，EF=GF=AG=DE= 2=1 图形 ABCDEFG 外围的周长是AB+CD+BC+DE+EF+GF+AG=4+2+4+2+1+1+1=15 12考点 ：三角形中位线定理；等边三角形的性质。分析： 根据等边三角形的中位线所围成的三角形仍是等边三角形可求得中位线的长为2，则等边三角形的边长为4解答： 解：等边三角形的中位线所围成的三角形的周长为6，中位线的长为2，等边三角形的边长为413考点 ：三角形中位线定理。分析： 三角形的高和梯形的高相等，那么面积之比等于的三角形的底边和梯形上下底边之和的比解答： 解：在 ABC 中， DE 为中位线， BC=2DE ，设高为 hSADE=DE?h=DE?h；S梯形BCED=（DE+BC ）?h=DE?h，SADE：S梯形BCED=，14考点 ：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线。分析： 先根据三角形中位线定理求出AC 的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答解答： 解： D、F 是 BC、AB 的中点，AC=2FD=2 8=16cm，E 是 AC 的中点， AH BC 于点 H，EH=AC=8cm 15考点 ：三角形中位线定理；等腰三角形的性质。分析： 由 D、E 是 AC、AB 中点，可知DE 是ABC 的中位线，那么DEAB，即 1=3，又AD=DE ，又可得 2=3，那么可知 是正确的， 有 D 是 AC 中点， AD=DE ，可证 CD=DE ，再利用 DEAB ，可得出 B= C在 RtAEC 中， 2 不一定等于 C，所以 不正确解答： 解：由题意可证明 ADE 、DEC、ABC 都是等腰三角形， AEC 是直角三角形，则结论正确的是 故选 D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载16.解：由题意可得，DC=5cm，平行四边形ABCD ， BAE= DEA，又AE为DAB 的角平分线，DAE= DEA， ADE 是等腰三角形， AD=DE ， 当 DE=2cm时，该平行四边形的周长是10+4=14cm；当DE=3cm时，该平行四边形的周长是10+6=16cm17考点 ：平行四边形的性质。分析： 如图：根据题意可以作出两种不同的图形，所以答案有两种情况因为在?ABCD 中， AD=2 ，AE 平分 DAB 交 CD 于点E，BF 平分 ABC 交 CD 于点 F，所以 DE=AD=CF=BC=2 ；则求得 ?ABCD 的周长解答： 解：四边形 ABCD 是平行四边形，AB CD，BC=AD=2 ，AB=CD ， EAB=AED， ABF= BFC，AE 平分 DAB ，BF 平分 ABC ， DAE= BAE， CBF=ABF ， AED= DAE ， BFC=CBF，AD=DE ，BC=FC， DE=CF=AD=2 ，由图 得： CD=DE+CF EF=2+21=3，?ABCD 的周长为 10；由图 得： CD=DE+CF+EF=2+2+1=5 ，?ABCD 的周长为 14?ABCD 的周长为 10 或 14故答案为 10 或 1418考点 ：平行四边形的性质。分析： 利用平行四边形的性质，根据三角形的面积和平行四边形的面积逐个进行判断，即可求解解答： 解： A、因为高相等，三个底是平行四边形的底，根据三角形和平行四边形的面积可知，阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；B、因为两阴影部分的底与平行四边形的底相等，高之和正好等于平行四边形的高，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；C、根据平行四边形的对称性，可知小阴影部分的面积等于小空白部分的面积，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；D、无法判断阴影部分面积是否等于平行四边形面积一半，错误故选 D点评： 本题考查了平行四边形的性质，并利用性质结合三角形的面积公式进行判断，找出选项19考点 ：平行四边形的性质。专题 ：动点型。分析： 根据平行四边形的性质，得ABD BCD ，BEP BHP，PGD PFD，所以得其面积分别相等，从而得面积相等的平行四边形有3 对解答： 解：面积始终相等的平行四边形有：平行四边形AEPG 和平行四边形PHCF；平行四边形ABHG 和平行四边形BEFC；平行四边形 AEFD 和平行四边形GHCD 共 3 对故选 C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载20考点 ：平行四边形的性质。分析： 可先求平行四边形的总面积，因为AE=EF=FC，所以三个小三角形的面积相等，进而可求解解答： 解：如图，过点D 作 DGAB 于点 G，AD=6 ， DAB=30 ， DG=3 ，平行四边形ABCD 的面积为 S=AB?DG=8 3=24， ABC 的面积为 S= 24=12 BEF 的面积 S= 12=4 21考点 ：平行四边形的性质。专题 ：规律型。分析： 从图中这三个图形中找出规律，可以先找出这三个图形中平行四边形的个数，分析三个数字之间的关系从而求出第n 个图中平行四边形的个数解答： 解：从图中我们发现（1）中有 6 个平行四边形，（2）中有 18 个平行四边形，（3）中有 36 个平行四边形，第n 个中有 3n（n+1）个平行四边形故选 B22考点 ：平行四边形的性质。专题 ：应用题。分析： 由于在平行四边形中，已给出条件MN AB DC，EFDACB，因此， MN 、EF 把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，所以红、紫四边形的高相等，由此可证明S1S4=S2S3解答： 解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，则 S1=DE?h1，S2=AF?h2，S3=EC?h1，S4=FB?h2，因为 DE=AF ，EC=FB ，所以 A 不对；S1+S4=DE?h1+FB?h2=AF ?h1+FB?h2，S2+S3=AF ?h2+EC?h1=AF ?h2+FB?h1，所以 B 不对；S1S4=DE?h1?FB?h2=AF?h1?FB?h2，S2S3=AF?h2?EC?h1=AF?h2?FB?h1，所以 S1S4=S2S3，故选 C23考点 ：平行四边形的性质。分析： 四边形具有不稳定性、外角和等于360 、内角和等于360 ，不具有的是对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形解答： 解： A、一般四边形都具有不稳定性，不仅仅是平行四边形具有，错误；B、对角线互相平分，是平行四边形的一种判定方法，一般四边形不具有，正确；C、任意四边形的外角和等于360 ，不仅仅是平行四边形具有，错误；D、任意四边形的内角和等于360 ，不仅仅是平行四边形具有，错误故选 B24考点 ：平行四边形的性质。分析： 根据平行四边形的性质可知ABC 的面积是平行四边形面积的一半，再进一步确定BER 和ABC 的面积关系即可解答： 解： S?ABCD=12 SABC=S?ABCD=6 ，SABC= AC 高= 3EF 高=6，得到： EF 高=2， BEF 的面积 = EF 高=2 BEF 的面积为 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载25考点 ：垂线；多边形内角与外角。专题 ：分类讨论。分析： 分 2 在 1 的内部和外部两种情况讨论， 当 2 在 1 内部时，利用四边形的内角和定理求解即可； 当 2 在 1 的外部时，根据等角的余角相等的性质2=1解答： 解：如图，因为1 与 2 的位置不明确，所以分2 在1 的内部和外部两种情况讨论：（1）如图一，当 2 在 1 内部时，2=360 190 90 =360 48 90 90 =132 ；（2）如图二，当 2 在1 的外部时， 3=4， 1 与2 的两边互相垂直， 2=1=48 因此 2 的度数为48 或 132 点评： 本题主要考查垂直得到90 角，本题注意分两种情况讨论，学生往往容易漏掉2 在 1 外部的情况而导致出错26考点 ：多边形。分析： 一个 n 边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n 边形或（ n+1）边形或（ n1）边形解答： 解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形故选 A点评： 剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条27.考点 ：平面镶嵌（密铺） 。分析： 分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案解答： 解：正三角形的每个内角是60 ，正方形的每个内角是90 ， 3 60 +2 90 =360 ，正三角形可以；正五边形每个内角是180 360 5=108 ，正方形的每个内角是90 ，108m+90n=360 显然 n 取任何正整数时，m 不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90 ，正六边形的每个内角是120 度 90m+120n=360 ， m=443n，显然 n 取任何正整数时，m 不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90 ，正八边形的每个内角为：180 360 8=135 ， 90 +2 135 =360 ，正八边形可以故答案为正三角形或正八边形28考点 ：等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角。专题 ：计算题。分析： 先延长其中三边构造等边三角形，利用等边三角形的性质解题即可解答： 解：如图所示，六个内角都是120 ，三角形的每个内角都是60 ，即CDE，BFG，AHI ，ABC 都为等边三角形，CE=2，BF=3， BC=2+4+3=9 ， AH=AB GHBG=913=5，DI=AC AI CD=952=2，HI=AH=5 ，该六边形的周长是：1+3+4+2+2+5=17 故答案为 1729考点 ：三角形中位线定理。分析： 此三角形的三条中位线等于原三角形三边的一半，表示出三条中位线，让其相加得9，即可求得最长的中位线，也就求出了最长的边长解答： 解：设三角形三边分别为2x，3x，4x三角形的三条中位线围成的三角形的周长是+=9 解得： x=2 原三角形的最长边是4 2=8故答案为 8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载30考点 ：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线。分析： 易知 DE 是ABC 的中位线，那么AB=2DE ，而 CF 是ABC 斜边上的中线，应等于AB 的一半解答： 解： ABC 是直角三角形，CF 是斜边的中线，CF=AB ，又 DE 是ABC 的中位线，AB=2DE=2 3=6cm，CF= 6=3cm31考点 ：三角形中位线定理。分析： 先根据平行线的判定定理判定AB DE，再根据BD=CD 判定 DE 是ABC 的中位线，进而根据三角形的中位线定理解答即可解答： 解： B=CDE， AB DE，D、E 两点分别在BC、AC 边上， BD=CD ，DE 是ABC 的中位线，AB=2DE ，DE=2，AB=2DE=2 2=432 （2009?太原）如果三角形的两边分别为3 和 5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（）A4 B4.5 C5 D5.5 考点 ：三角形中位线定理；三角形三边关系。分析：本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2 小于 8，原三角形的周长大于10 小于 16，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于5 而小于 8，看哪个符合就可以了解答： 解：设三角形的三边分别是a、b、c，令 a=3，b=5，2c8， 10三角形的周长16， 5中点三角形周长8故选 D33考点 ：三角形中位线定理；勾股定理。分析： 由中位线定理易得BC 长，那么利用勾股定理即可求得AB 长解答： 解： ABC 中， B=90 ，D、E 分别是边 AB 、AC 的中点，BC=2DE=2 4=8，在 RtABC 中， AC=10 ，BC=8，由勾股定理得AB=6故答案为 634考点 ：三角形中位线定理。专题 ：操作型。分析： 应先根据所给条件判断出ABE 的形状，得到BAE 的度数，利用所给线段即可求得AE 长解答： 解： FGAD FB A=B AD 在直角三角形AB E 中， F 是 AE 的中点， AF=B F FAB =FB A FAB =B AD= BAE=30 在直角三角形ABE 中，根据勾股定理，得AE=2故答案为 2点评： 主要是发现一个30 的直角三角形ABE ，此题也是折叠等边三角形的一种方法：延长EB 交 AD 于 M，则三角形 AEM 即是等边三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载35考点 ：平行四边形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理。分析：连接 AC 交 BD 于 G，AE 交 DF 于 H根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB 和 AFDC 易得 AC=FD ，EH=BG 计算该六边形的面积可以分成3 部分计算，即平行四边形AFDC 的面积 +三角形 ABC 的面积 +三角形 EFD 的面积解答： 解：连接 AC 交 BD 于 G，AE 交 DF 于 HAB 平行且等于ED，AF 平行且等于CD，四边形 AEDB 是平行四边形，四边形AFDC 是平行四边形，AE=BD ，AC=FD ，EH=BG平行四边形 AFDC 的面积 +三角形 ABC 的面积 +三角形 EFD 的面积 =FD?BD=24 18=43236考点 ：平行四边形的性质。分析： 设平行四边形的面积为1，则DAM 的面积 =SDAB=S?ABCD，而由于=，所以 EMB 上的高线与 DAB 上的高线比为=，所以 SEMB= SDAB=，于是 SDEC=4SMEB=，由此可以求出阴影面积，从而求出面积比为解答： 解：设平行四边形的面积为1，四边形 ABCD 是平行四边形，SDAB=S?ABCD，又 M 是?ABCD 的 AB 的中点，则SDAM=SDAB=，而=， EMB 上的高线与 DAB 上的高线比为 =， SEMB= SDAB=， SDEC=4SMEB=，S阴影面积=1=， 则面积比为故填空答案：另解：四边形面积为ah 三角形 AMD 、DMB 、CBM 面积均为，则四边形 MBCD 面积为，由此即可求解37考点 ：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。分析： 根据三角形全等的判定，由已知条件可证 ABE CDF；继而证得 AG=GH=HC ；又根据三角形的中位线定理可证ABG DCH，得 EG=BG而 SABE=SAGE不正确故正确的结论有3 个解答： 解：在 ?ABCD 中， AB=CD ， BAE= DCF，BC=DA ；E、F 分别是边 AD 、BC 的中点，AE=CF ， ABE CDF；BFDE，BF=ED ?四边形 BFDE 是平行四边形 ?BEDF ，又 AE=ED ?AG=GH ，同理 CH=HG ， AG=GH=HC ；根据三角形的中位线定理，EG=DH ，容易证明 ABG DCH?BG=DH ， EG=BG； SABE=SAGE不正确故选 C点评： 本题考查了平行四边形的性质，平行线等分线段定理与全等三角形的判定，中等难度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载38如图，在直线m 上摆放着三个正三角形：ABC、HFG、DCE，已知 BC=GE，F、G 分别是 BC、CE 的中点， FM AC，GNDC设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S2，S3，若 S1+S3=20，则 S2等于（）A7 B8 C9 D10 考点 ：等边三角形的性质；平行四边形的性质。专题 ：规律型。分析：首先要弄清的是S1与 SOFC（即 a） 、 S3与 SGNE（即 b） 的关系；以前者为例， 若设 OFC 中，OC 边上的高为h， 则 a=OC?h，而 S1=OA?h；由于 BF=FC，且 BMF 、FOC 都是等边三角形，故OA=BF=FC=OC ，由此发现S1=2a，同理 S3=2b；由于 OFC和GNE 都是等边三角形，所以它们都相似，且相似比为1：2（因为 BC=GE=2FC ） ，故 b=4a，a+b=5a=（S1+S3）=10，由此可得 a=2，b=4；然后按照上面的方法证S2与 SPCG（即 b）的关系，从而得到S2的面积解答： 解：如图；（a、b 分别表示 OFC、GNE 的面积）F、G 分别是 BC、CE 的中点， BMF、OFC 以及 CPG、GNE 都是全等的等边三角形；SCPG=b；设 M 到 AC 的距离为 h，则 S1=OA ?h，a=OC?h；OA=MF=OC ， S1=2a，同理可得 S3=2b；易知 OFC NGE，则 a：b=FC2：GE2=1：4，即 b=4a；a+b=（S1+S3）=10，故 a=2，b=8；SPCG=b=8；梯形 COHG 中， PH=OC=FC=CG=PG，同上可证得S2=SCPG；所以 S2=b=8，故选 B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页