2022年高中数学数列基础知识与典型例题 .pdf
学习必备欢迎下载数学基础知识例题数列数列1.数列 na 的前n项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn2. 数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。例 1.已知数列na的前 n 项和为nnSn22,求数列na的通项公式 . 例 2. 已知nnnSaa2311且，求na及nS例 3.已知11a，nnanS2(1)n求na及nS例 4.求和n321132112111. 例 5.数列 121,341,581,7161,(2n1)+n21的前 n项之和为 Sn，则 Sn等于( ) (A)n2+1n21(B)2n2n+1n21(C)n2+1121n(D)n2n+1n21例 6.求和: 2311234nSxxxnx. 等差数列与等比数列等差数列等比数列定义1nnaad( d 为常数 ,2n) 1(0,2)nnaq qna且为常数 ,递推公式1nnaad()nmaanm d) 1nnaaq(n mnmaa q) 通项公式1(1)naand11nnaa q（1,0a q）中项2n kn kaaA（*,0n kNnk）(0)nkn kn kn kGaaaa（*,0n kNnk）前n项和1121()2(1)222nnnSaan nnadddnan111(1)1(1)11nnnnaqSaqaa qqqq重要性质*(, ,)mnpqaaaam n p qNmnpq 等和性 :()nmaanm d从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：14710,a aaa（下标成等差数列）*:(, , ,)mnpqaaaam n p qNmnpq 等积性n mnmaaq从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：14710,a a aa（下标成等差数列）证 明方法证 明一 个数列 为等 差 数 列的 方法：1.定义法1()nnaad 常数2.中项法112(2)nnnaaan证明一个数列为等比数列的方法：1.定义法1()nnaqa常数2.中项法11(2)nnnaaan2（）设 元技巧三数等差：, ,ad a ad四数等差：3 ,3ad ad ad ad三数等比：2, ,aa aqa aq aqq或四数等比：23,a aq aqaq联系真数等比，对数等差 ; 指数等差，幂值等比。重点把握通项公式和前n 项和公式 ,对于性质主要是理解(也就是说自己能推导出来 ),具体运用时就能灵活自如.特别是推导过程中运用的方法,是我们研究其他数列的一种尝试 .如推导等差数列通项公式的“累差”法和推导等比数列通项公式的“累积”法，是我们求其他数列通项公式的一种经验.又比如推导等差数列求和公式的“倒序相加法”和推导等比数列求和公式的“错位相减法”都是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载数列求和的重要技巧 . 等差数列与等比数列注:等差、等比数列的证明须用定义证明;数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.解答有关数列问题时， 经常要运用各种数学思想 .善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标.函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是n的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解. 分 类 讨 论 思 想 ： 用 等 比 数 列 求 和 公 式 应 分 为) 1(1)1(1qqqaSnn及) 1(1qnaSn；已知nS求na时，也要进行分类；整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解.在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 等差数列与等比数列例 7.等差数列 a n 中，已知113a，6113a，a n=33，则 n 为（）(A)48 (B)49 (C)50 (D)51 例 8.在等比数列na中,3712,2aq,则19_.a例 9.23和23的等比中项为 ( ) ()1A( )1B()1C()2D例 10. 在等比数列na中，22a，545a，求8a，例 11.在等比数列na中,1a和10a是方程22510 xx的两个根 , 则47aa( ) 5( )2A2()2B1()2C1()2D例 12.已知等差数列na满足1231010aaaa,则有( ) 1101( )0A aa2100()0B aa399()0C aa51()51D a例 13. 已知数列na的前n项和nnSn232，求证:数列na成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。等差数列与等比数列例 14. 一个等差数列的前12 项之和为 354，前 12 项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差 . 例 15. 在等比数列na，已知51a，100109aa，求18a. 例 16.设数列 an 为等差数列， Sn为数列 an 的前 n 项和，已知 S7=7，S15=75, Tn为数列 nSn的前 n 项和，求 Tn. 例 17.三数成等比数列， 若将第三个数减去 32，则成等差数列， 若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数. 例 18. 在 5和 81 之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，求这两个数的和 . 例 19. 设 an 是等差数列，1( )2nanb，已知 b1+b2+b3=821，b1b2b3=81，求等差数列的通项 an. 例 20. 已知等差数列 an中，|a3|=|a9|，公差 d0，则使前 n 项和 Sn取最大值的正整数 n 是( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载(A)4 或 5 (B)5 或 6 (C)6 或 7 (D)8 或 9 数学基础知识与典型例题(第三章数列 )答案例 1. 当1n时，111Sa,当2n时，34)1()1(2222nnnnnan,经检验1n时11a也适合34nan,34nan()nN例 2. 解：1nnnSSa,nnnSS221,12211nnnnSS设nnnSb2则nb是公差为 1 的等差数列 ,11nbbn又2322111aSb, 212nSnn,12) 12(nnnS,当2n时212)32(nnnnnSSa22)32(3nnna(1)(2)nn,12) 12(nnnS例 3 解：1221)1(nnnnnananSSa从而有111nnanna11a, 312a,31423a,3142534a ,314253645a, )1(234) 1() 1(123)2)(1(nnnnnnnan, 122nnanSnn. 例 4.解：)111( 2) 1(23211nnnnnan12)111 ( 2)111()3121()211 (2nnnnnSn例 5.A 例 6. 解:1324321nnnxxxxSnnnnxxnxxxxS132132 nnnnxxxxSx1211，当1x时,xnxxnxnxnxxnxxxSxnnnnnnnn111111111121111xnxxnSnnn; 当1x时，214321nnnSn例 7.C 例 8.192 例 9.C 例 10. 解：145825454255358aaaqaa另解：5a是2a 与8a的等比中项，25482a14588a例 11.D 例 12.C 例 13.解：12311Sa, 当2n时,56)1(2)1(323221nnnnnSSannn,1n时亦满足56nan, 首项11a且)(65)1(6561常数nnaannna成等差数列且公差为6、首项11a、通项公式为56nan例 14. 解一：设首项为1a ，公差为 d则1732225662256)(63542111212111daddada5d解二：2732354奇偶偶奇SSSS162192奇偶SS由dSS6奇偶5d例 15. 解：109181aaaa，205100110918aaaa例 16. 解题思路分析：法一：利用基本元素分析法设 an 首项为 a1，公差为 d，则711517677215 1415752SadSad121ad(1)22nn nS152222nSnnn此式为 n 的一次函数 nSn 为等差数列21944nTnn法二： an为等差数列，设 Sn=An2+Bn27215777151575SABSAB解之得：1252AB21522nSnn，下略注：法二利用了等差数列前n 项和的性质例 17.解：设原来三个数为2,aqaqa则必有)32(22aqaaq,)32()4(22aqaaq由：aaq24代入得：2a或95a从而5q或 13 原来三个数为 2,10,50或9338,926,92例 18.70 例 19. 解题思路分析： an为等差数列bn为等比数列 b1b3=b22, b23=81, b2=21,131217814bbb b,13218bb或12182bb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载13 212()24nnnb或1251428nnnb1( )2nanb,12lognnab, an=2n-3 或 an=-2n+5 例 20. 2392nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
