2022年平行四边形知识点及证明题 .pdf
学习必备精品知识点第 18 章 平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一正确理解定义（1）定义： 两组对边 分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法（2）表示方法： 用“”表示平行四边形， 例如：平行四边形 ABCD记作ABCD ，读作“平行四边形 ABCD ” 2熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的（1）角： 平行四边形的 邻角互补 ，对角相等 ；（2）边： 平行四边形两组 对边分别平行且相等 ；（3）对角线 ：平行四边形的对角线互相平分 ；（4） 面积： S=底高ah；平行四边形的对角线将四边形分成4 个面积相等的三角形3平行四边形的判别方法定义： 两组对边 分别平行的四边形是平行四边形方法 1：两组对角 分别相等的四边形是平行四边形方法 2：两组对边 分别相等 的四边形是平行四边形方法 3：对角线互相平分 的四边形是平行四边形方法 4：一组平行且相等 的四边形是平行四边形二、 几种特殊四边形的有关概念（1）矩形： 有一个角是 直角 的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：平行四边形； 一个角是直角，两者缺一不可（2）菱形： 有一组 邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：平行四边形；一组邻边相等，两者缺一不可（3）正方形： 有一组 邻边相等 且有一个 直角 的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形2几种特殊四边形的有关性质知新教育伴你成长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备精品知识点（1）矩形：边：对边平行且相等；角：对角相等、邻角互补；对角线：对角线互相平分且相等；对称性：轴对称图形（ 对边中点连线所在直线，2条） （2）菱形： 边：四条边都相等；角：对角相等、邻角互补；对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；对称性：轴对称图形（对角线所在直线， 2条） （3）正方形： 边：四条边都相等；角：四角相等；对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； 对称性：轴对称图形（4条） 3几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定： 满足下列条件之一的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；四个角都相等（2）菱形的判定： 满足下列条件之一的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等（3）正方形的判定： 满足下列条件之一的四边形是正方形 有一组 邻边相等且有一个 直角 的平行四边形 有一组 邻边相等的矩形； 对角线互相垂直的矩形 有一个角是 直角 的菱形 对角线相等的菱形；4几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法 先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角 先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等 说明四边形 ABCD的三个角是直角（2）识别菱形的常用方法 先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等 先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直 说明四边形 ABCD的四条相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备精品知识点（3）识别正方形的常用方法 先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等 先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等 先说明四边形 ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等 先说明四边形 ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角5几种特殊四边形的面积问题 设矩形 ABCD的两邻边长分别为a,b，则 S矩形=ab 设菱形 ABCD的一边长为 a，高为 h，则 S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则 S菱形=12ab 设正方形 ABCD的一边长为 a， 则 S正方形 =2a； 若正方形的对角线的长为a， 则 S正方形 =212a平行四边形矩形菱形正方形图形性质1对边且；2对角；邻角；3对角线；1对边且；2对角且四个角都是；3对角线；1 对边且四条边都；2对角；3对角线且每条对角线；1对边且四条边都；2对角且四个角都是；3对角线且 每 条 对 角线；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备精品知识点面积证明题1. 如图，在菱形ABCD中， A=60,=4, O 为对角线BD 的中点，过O 点作 OEAB，垂足为 E(1)求 ABD 的度数； (2) 求线段的长2. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为边AB、AD的中点，连接EF、OE、OF.求证：四边形AEOF是菱形 . ABBEA F D B E O C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备精品知识点3. 在正方形ABCD中， AC为对角线， E为 AC上一点，连接EB、ED（1）求证： BEC DEC ；（2）延长 BE交 AD 于 F，当 BED =120时，求 EFD的度数4. 已知：如图，在正方形ABCD中，点 E、F分别在 BC和 CD上， AE = AF（1）求证： BE = DF；AA F D E B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备精品知识点（2）连接 AC交 EF于点 O，延长 OC至点 M，使 OM = OA，连接 EM、FM判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论证明： （1）5. 如图，四边形 ABCD是边长为 a 的正方形，点 G， E分别是边 AB， BC的中点，AEF =90o，且 EF交正方形外角的平分线CF于点 F（1）证明： BAE =FEC ；（2）证明： AGE ECF ；（3）求 AEF的面积A D B E F O C M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备精品知识点6.已知梯形ABCD中，BCAD /，ADAB(如图所示 )BAD的平分线AE交BC于点E，联结DE(1) 在图中，用尺规作BAD的平分线AE(保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED是菱形；(2) 若60ABC，BEEC2，求证：DCED精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备精品知识点7. (2010 湖北省黄石市 ) 如图， 正方形ABCD中，EF、分别是ABBC、边上的点， 且.AEBF求证.AFDE8. 如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕（1）求证：FGCEBC；（2）若84ABAD，求四边形ECGF（阴影部分 ）的面积D C F B E A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备精品知识点9. 如图，在 ABC中， D 是 BC边的中点， E、F分别在 AD 及其延长线上，CE BF，连接 BE 、CF（1）求证： CDE ；（2）若 ABAC，求证：四边形BFCE是菱形10. 如图，在矩形ABCD （ABAD）中，将 ABE沿 AE对折，使AB 边落在对角线AC上，点 B 的对应点为F，同时将 CEG沿 EG对折，使CE边落在 EF所在直线上，BDF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备精品知识点点 C的对应点为H（1）证明： AFHG（图（ 1） ） ；（2）证明： AEF EGH （图（ 1） ） ；（3）如果点C的对应点H 恰好落在边AD 上（ 图（2） ） 求此时 BAC的大小11.如图，梯形ABCD中， AB CD，AC平分 BAD，CE AD 交 AB于点 E 求证：四边形AECD是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备精品知识点12. 求证：矩形的对角线相等13. 如图，在ABCD中， EF BD，分别交BC、CD于点 P、Q，分别交AB、AD 的延长线于点E、F已知 BE=BP 求证： （1） E= F（2）ABCD是菱形14. (2010 四川省眉山市 ) 如图， O 为矩形 ABCD对角线的交点，DEAC，CE BD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备精品知识点DCBAOE（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若 AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
