2022年高中数学解题基本方法换元法 2.pdf
高中数学解题基本方法换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象， 将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。 通过引进新的变量， 可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中， 某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x2x20，先变形为设2xt （t0 ），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数yx1x的值域时，易发现x0,1，设 xsin2 ，0,2 ，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x、 y 适合条件x2y2 r2（r0）时，则可作三角代换x rcos 、yrsin 化为三角问题。均值换元，如遇到xyS形式时，设xS2t ，yS2t 等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取， 一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的 t0 和0,2 。、再现性题组：1.y sinx cosx sinx+cosx的最大值是 _。2. 设 f(x21) loga(4 x4) （a1） ，则 f(x)的值域是 _。3. 已知数列 an 中， a1 1，an 1anan 1an，则数列通项an _ 。4. 设实数 x、y 满足 x22xy10，则 xy 的取值范围是 _。5. 方程1313xx3 的解是 _。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页6. 不等式 log2(2x1) log2(2x 12) 2 的解集是 _。【简解】1 小题：设 sinx+cosx t 2,2 ， 则 yt22 t 12， 对称轴 t 1，当 t 2，ymax122；2 小题：设 x21 t (t 1) ， 则 f(t)loga-(t-1)24 ， 所以值域为 ( ,loga4 ；3 小题： 已知变形为11an1an 1, 设 bn1an，则 b1 1,bn 1(n 1)(-1) n，所以 an1n；4 小题：设xyk，则 x22kx10, 4k2 40, 所以 k1 或 k 1；5 小题：设3xy，则 3y22y1 0, 解得 y13，所以 x 1；6 小题： 设 log2(2x1) y，则 y(y 1)2 ， 解得 2y0， 求 f(x) 2a(sinx cosx) sinx cosx 2a2的最大值和最小值。【解】 设 sinx cosx t ， 则 t -2,2 ， 由(sinx cosx)212sinx cosx 得： sinx cosx t212 f(x)g(t) 12(t 2a)212（a0） ，t -2,2 t -2时，取最小值：2a222a12当 2a2时， t 2，取最大值：2a222a12；当 00恒成立，求a 的取值范围。 （87 年全国理）【分析】不等式中log241()aa、 log221aa、log2()aa1422三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。【解】设 log221aat ，则 log241()aalog2812()aa3log2aa123log221aa3t ，log2()aa14222log2aa12 2t ，代入后原不等式简化为（3t ）x22tx 2t0 ，它对一切实数x 恒成立，所以：3048 302tttt()，解得ttt306或 t0 即 log221aa0 021aa1，解得 0a0 恒成立，求k 的范围。【分析】由已知条件()x192()y11621，可以发现它与a2b21 有相似之处，于是实施三角换元。【解】由()x192()y11621，设x13cos，y14sin ，即：xy1314cossin代入不等式xyk0 得：3cos4sin k0，即 k3cos 4sin 5sin( +) 所以 k0 (a0) 所表示的区域为直线axbyc0 所分平面成两部分中含x 轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上xyk0 的区域。即当直线xy k0 在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组16191144022()()xyxyk有相等的一组实数解， 消元后由0 可求得 k 3, 所以 k0)，则 f(4) 的值为 _。A. 2lg2 B. 13lg2 C. 23lg2 D. 23lg4 2. 函数 y(x 1)42 的单调增区间是_。A. -2,+ ) B. -1,+) D. (- ,+ ) C. (-,-1 3. 设等差数列 an的公差d12，且S100145，则a1a3 a5 a99的值为_。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知 x24y24x，则 xy 的范围是 _。5. 已知 a0，b 0，ab1，则a12b12的范围是 _。6. 不等式xax32的解集是 (4,b) ，则 a _，b_。7. 函数 y2xx1的值域是 _。8. 在等比数列 an中， a1a2 a102，a11a12 a3012，求a31a32 a60。9. 实数 m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式 sin2x2mcosx4m 10,y0)上移动，且AB 、 AD始终平行x 轴、 y 轴，求矩形ABCD 的最小面积。y x x yk0 k 平面区域y D C A B O x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x) 的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)g(a) ；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、 解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：利 用对应系数相等列方程；由 恒等的概念用数值代入法列方程；利 用定义本身的属性列方程；利 用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。、再现性题组：1. 设 f(x)x2m ，f(x)的反函数f1(x) nx5，那么 m 、n 的值依次为 _。A. 52 , 2 B. 52， 2 C. 52 , 2 D. 52， 2 2. 二次不等式ax2bx20 的解集是 (12,13) ，则 ab 的值是 _。A. 10 B. 10 C. 14 D. 14 3. 在(1 x3) （1x）10的展开式中， x5的系数是 _。A. 297 B. 252 C. 297 D. 207 4. 函数 yabcos3x (b0，7x0，x0。设 V4ab(15a ax)(7b bx)x (a0,b0）要使用均值不等式，则abaaxbbxx10157解得： a14， b 34， x 3 。从而 V643(154x4)(21434x)x 643(1542143)364327576。所以当 x3 时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm3。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V4ab(15a ax)(7 x)bx 或4ab(15 x)(7a ax)bx ，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。、巩固性题组：1. 函数 ylogax 的 x2,+ ) 上恒有 |y|1 ，则 a 的取值范围是 _。A. 2a12且 a1 B. 0a12或 1a2 C. 1a2或 0a122. 方程x2pxq0 与 x2 qxp 0 只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_。A. 1 B. 1 C. p q D. 无法确定3. 如果函数ysin2x acos2x 的图像关于直线x8对称，那么a_。A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 4. 满足 Cn01Cn12Cn2 nCnn500 的最大正整数是_。A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 无穷等比数列an的前 n 项和为 Sna12n , 则所有项的和等于_。A. 12 B. 1 C. 12 D.与 a 有关6. (1 kx)9b0b1xb2x2 b9x9，若b0 b1b2 b9 1，则k_。7. 经过两直线11x3y90 与 12xy190 的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_。 8. 正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60，过底面一边作截面，使其与底面成 30角，则截面面积为_。9. 设 yf(x) 是一次函数，已知f(8) 15, 且 f(2) 、f(5) 、(f14)成等比数列，求f(1)f(2) f(m) 的值。10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y 2x7 和抛物线截得的线段长是410, 求抛物线的方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
