2022年高中数学三角函数专题专项练习 .pdf

1 【三角函数疑难点拔】一、 忽略隐含条件例 3 假设01cossinxx，求x的取值范围。正解：1)4sin(2x，由22)4sin(x得)(432442Zkkxk)(222Zkkxk二、 无视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性例 4 设、为锐角，且+120，讨论函数22coscosy的最值。错解)cos(211)cos()cos(1)2cos2(cos211y，可见，当1)cos(时，23maxy；当1)cos(时，21miny。分析：由已知得90,30，6060，则1)cos(21，当1)cos(，即60时，21miny，最大值不存在。三、 无视应用均值不等式的条件例 5 求函数)20,0(sincos2222xbaxbxay的最小值。错解) 12sin0(42sin4cossin2sincos)2()1(2222xabxabxxabxbxay， 当12sinx时，aby4min分析：在已知条件下， 1 、 2两处不能同时取等号。正解：2222222222222)(2)cottan()cot1 ()tan1(baabbaxbxabaxbxay，当且仅当xbxacottan，即abxtan，时，2min)(bay【经典题例】例 4：已知 b、c 是实数，函数f(x)=cbxx2对任意、R有：,0)(sinf且,0)cos2(f1求 f 1的值；2证明： c3； 3设)(sinf的最大值为10，求 f x 。 思路 1 令 =2， 得, 0)1 (f令 =， 得,0)1(f因此,0)1(f； 2证明：由已知，当11x时，,0)(xf当31x时，,0)(xf通过数形结合的方法可得：,0)3(f化简得c3； 3由上述可知，-1 ，1 是)(xf的减区间，那么,10) 1(f又, 0)1(f联立方程组可得4, 5 cb,所以45)(2xxxf例 5：关于正弦曲线答复下述问题：1函数)43sin(log21xy的单调递增区间是？Zkkxk348328；2假设函数xaxy2cos2sin的图象关于直线8x对称，则a的值是 1 ；3把函数)43sin( xy的图象向右平移8个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3 倍纵坐标不变 ，则所得的函数解析式子是)8sin(xy；例 6：函数xxxxfcossin12sin)(， 1求 f(x)的定义域；2求 f(x)的最大值及对应的x 值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 思路 1x|x222kxk且Zk(2) 设 t=sinx+cosx,则 y=t-142, 12maxkxyZk例 7：在 ABC中，已知BACCAsin232cossin2cossin221求证： a、b、c 成等差数列；2求角 B的取值范围。思路1条件等式降次化简得bcaBCA2sin2sinsin2,2182682)(32)2(cos22222acacacacaccaaccacaB，得B的取值范围3,0(14设sincosx，且0cossin33，则x的取值范围是2, 0(；19已知)2,0(x，证明不存在实数) 1 ,0(m能使等式 cosx+msinx=m(*) 成立；2试扩大x的取值范围，使对于实数)1 ,0(m，等式 (*) 能成立；3在扩大后的x取值范围内，假设取33m, 求出使等式 (*) 成立的x值。提示：可化为1)42tan(xm2)2,2(x36x最值问题典型错例例 5. 求函数yxxsincos1342的最大值和最小值。错解：原函数化为4902yxxysinsin，关于sin x的二次方程的判别式()144902yy，即112112y，所以yymaxmin112112，。剖析：假设取y112，将导致sin x32的错误结论，此题错在无视了隐含条件|sin | x1。正解： 原函数化为4902yxxysinsin，当y0时，解得sinx0，满足sin x1当y0时 ， 解得sinxyy1114482， 又sin|sin |xRx，1， 则有114401111448122yyy或114401111448122yyy，解得113113y，所以yymaxmin113113，难点化简与求值【例】已知243,cos()=1312,sin(+)= 53, 求 sin2的值 _. 例 1不查表求sin220+cos280+3cos20cos80 的值 . 解法一： sin220+cos280+3sin220cos80=21 (1 cos40)+21 (1+cos160 )+ 3sin20 cos80=1 21cos40 +21cos160 +3sin20 cos(60 +20 )=1 21cos40 +21 (cos120 cos40 sin120 sin40 )+3sin20 (cos60 cos20 sin60 sin20 )=1 21cos40 41cos40 43sin40 +43sin40 23sin220=143cos4043(1 cos40)= 41解法二：设x=sin220+cos280+3sin20 cos80，y=cos220+sin2803cos20sin80 ，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 x+y=1+13sin60 =21，xy=cos40+cos160+3sin100 =2sin100 sin60 +3sin100 =0 x=y=41，即x=sin220+cos280+3sin20 cos80=41. 例 2关于x的函数y=2cos2x2acosx(2a+1) 的最小值为f(a) ，试确定满足f(a)=21的a值，并对此时的a值求y的最大值 . 解：由y=2(cosx2a)22242aa及 cosx 1，1得：f(a)2(41)22(122)2(12aaaaaa，f(a)=21, 14a=21a=812,+ )，故22a2a1=21，解得：a=1，此时，y=2(cosx+21)2+21，当 cosx=1 时，即x=2k，kZ，ymax=5. 难点训练1.( ) 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根均 tan、tan，且，( 2,2) ，则 tan2的值是 ( ) A.21B.2 C.34D. 21或 2 (43,4) ，(0 ，4) ，cos(4)=53，sin(43+)=135，则 sin(+)=_. 4. 不查表求值 :.10cos1)370tan31(100sin130sin25. 已知 cos(4+x)=53，(1217x47) ，求xxxtan1sin22sin2的值 . OAB的半径为 1，中心角 60，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积. +sin=3，sin+cos的取值范围是D，xD，求函数y=10432log21xx的最小值，并求取得最小值时x的值 . 参考答案难点磁场解 法一 ： 243, 0 4.+43, sin()=.54)(sin1)cos(,135)(cos122 sin2=sin ()+(+) =sin()cos(+)+cos()sin(+).6556)53(1312)54(135。解法二： sin()=135,cos(+)= 54, sin2+sin2=2sin(+)cos()= 6572sin2sin2=2cos(+)sin()=6540 sin2=6556)65406572(21难点训练一、1. 解析：a1，tan+tan=4a0。tan+tan=3a+10, 又、( 2,2) 、( 2,), 则2 ( 2,0),又tan(+)=342tan12tan2)tan(,34)13(14tantan1tantan2又aa, 整 理 得2tan222tan322=2. 答案： B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 3. 解析：(43,4),4(0, 2), 又 cos(4)=53. 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()43()4cos(2)43()4sin()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(即答案：6556三、 4. 答案： 2752853)54(257)4cos()4sin(2sinsincoscos)cos(sinsin2cossin1sin2cossin2tan1sin22sin54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos2sin,53)4cos(:.522xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx又解7. 解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为 (cos,sin)，则PS =sin. 直线OB的方程为y=3x，直线PQ的方程为y=sin.联立解之得Q(33sin；sin) ，所以PQ=cos33sin 。于 是SPQRS=sin(cos33sin)=33(3sincos sin2)=33(23sin222cos1)=33(23sin2+21cos221)= 33sin(2+6) 63. 03, 62+665. 21sin(2+6) 1. sin(2+6)=1 时，PQRS面积最大，且最大面积是63，此时，=6，点P为的中点，P(21,23). 8. 解：设u=sin+cos. 则u2+(3)2=(sin+cos)2+(cos+sin)2=2+2sin(+) 4. u21, 1uD= 1,1 ,设t=32x,1x1,1t5.x=232t.21,232,2,258log2log82log,0log.82,2,42.8224142142104325.05.05. 0min5.0max2xxtyMMyMtttttttxxM此时时时是减函数在时即当且仅当 提高训练 C 组 一、选择题5已知sinsin，那么以下命题成立的是A假设,是第一象限角，则coscosB假设,是第二象限角，则tantanC假设,是第三象限角，则coscosD假设,是第四象限角，则tantan二、填空题1已知角的终边与函数)0( ,0125xyx决定的函数图象重合，sin1tan1cos的值为 _2假设是第三象限的角，是第二象限的角，则2是第象限的角4如果,0sintan且,1cossin0那么的终边在第象限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 5假设集合|,3Ax kxkkZ，| 22Bxx，则BA=_三、解答题1角的终边上的点P与),(baA关于x轴对称)0,0(ba，角的终边上的点Q与A关于直线xy对称，求sincos1tantancossin值3求66441sincos1sincos的值参考答案一、选择题5 D 画出单位圆中的三角函数线二、填空题17713在角的终边上取点1255( 12,5),13,cos,tan,sin131213Pr2一、或三111222322,(), 222,(),22kkkZkkkZ1212()()422kkkk4二2sintansin0,cos0,sin0cos三、解答题1解：2222( ,),sin,cos,tanbabP abaabab2222( , ),sin,cos,tanabaQ b ababab22222sintan110costancossinbabaa3解：6622422444221sincos1(sincos)(sinsincoscos)1sincos1(1 2sincos)22221(1 3sincos)31(12sincos)2【练习】一、选择1、函数的值域是A. 1，1B.-2,2C. 0,2D.0,1 5、二、填空3、 已 知 f x asinx bcosx且 x 为f x 的 一 条 对 称 轴 ， 则 a ： b 的 值 为 . 4 、 假 设 函 数答案与解析一、选择题：1、选 B.，当 x0 时， 22sinx 2 即 2y2；当 x0 时， y0 包含于 2，2. 于是可知所求函数值域为 2，2 ，故应选 B. 5、选 C.解析：由 f(x) 在区间 ， 上递增及 f x为奇函数，知f(x) 在区间 ， 上递增，该区间长度应小于或等于fx的半个周期.，应选精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 二、填空题3、答案： a：b 1。解析：由题设得，又 x为 f x的一条对称轴，当 x时f(x)取得最值，即，a:b=1。4 、 答 案 ：， 解 析 ：， 由，注意到， 由 得： ， 再注 意到 当 且仅当于是由及得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页