2022年高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总 .pdf
学习必备精品知识点高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总【知识汇编】参数方程：直线参数方程：00cos()sinxxttyyt为参数00(,)xy为直线上的定点，t为直线上任一点( , )x y到定点00(,)xy的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos()sinxarybr为参数(a,b) 为圆心， r 为半径；椭圆22221xyab的参数方程是cos()sinxayb为参数；双曲线2222-1xyab的参数方程是sec()tanxayb为参数；抛物线22ypx的参数方程是22()2xpttypt为参数极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P的极坐标为(, )，直角坐标为( , )x y，则cosx, siny, 222xy, tanyx。【题型 1】参数方程和极坐标基本概念1已知曲线 C的参数方程为sin51cos52yx (为参数 ) ，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。1)求曲线 c 的极坐标方程2)若直线l的极坐标方程为(sin +cos)=1，求直线l被曲线 c 截得的弦长。解：(1) 曲线 c 的参数方程为sin51cos52yx( 为参数 ) 曲线 c 的普通方程为 (x-2)2+(y-1)2=5 将sincosyx代入并化简得：=4cos+2sin 即曲线 c 的极坐标方程为=4cos+2sin (2) l的直角坐标方程为 x+y-1=0 圆心 c 到直线l的距离为 d=22=2弦长为 225=23 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备精品知识点2 极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位， 以原点 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴 已知曲线 C1的极坐标方程为 22sin （4） ，曲线 C2的极坐标方程为 sin a（a0） ，射线，4，4，2与曲线 C1分别交异于极点 O的四点 A，B，C，D（1）若曲线 C1关于曲线 C2对称，求 a 的值，并把曲线 C1和 C2化成直角坐标方程；（2）求OA OC OB OD 的值解： （1）1C：2)1()1(22yx，2C：ay，因为曲线1C关于曲线2C对称，1a，2C：1y（2）)4sin(22| OA；cos22)2sin(22|OBsin22|OC，)4cos(22)43sin(22|OD24|ODOBOCOA【题型 2】直线参数方程几何意义的应用1. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为122322xtyt（t为参数） ，直线l与曲线C：22(2)1yx交于A，B两点. （1）求AB的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为32 2,4，求点P到线段AB中点M的距离 . 解： （1）直线 l 的参数方程为122322xtyt，（t 为参数） ，代入曲线 C的方程得24100tt设点 A，B对应的参数分别为12tt，则124tt，1 210t t，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备精品知识点所以12| |2 14ABtt（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为( 22)，所以点 P在直线 l 上，中点 M对应参数为1222tt，由参数 t 的几何意义，所以点P到线段 AB中点 M的距离|2PM2已知直线 l 经过点(1,1)P, 倾斜角6，（1）写出直线 l 的参数方程。（2）设 l 与圆422yx相交与两点,A B，求点 P 到,A B两点的距离之积。解： （1）直线的参数方程为1cos61sin6xtyt，即312112xtyt（2）把直线312112xtyt代入422yx得22231(1)(1)4,(31)2022tttt1 22t t，则点 P 到,A B两点的距离之积为 23设经过点( 1,0)P的直线l交曲线 C：2cos3sinxy(为参数 ) 于 A、B两点（1）写出曲线 C的普通方程；（2）当直线l的倾斜角60时，求|PAPB与| |PAPB的值解： （1）C：22143xy（2）设l：11232xtyt（t 为参数）联立得：254120tt212121 216| |45PAPBttttt t，1 212| | |5PAPBt t4以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1,2)，点M的极坐标为(3,)2，若直线l过点P，且倾斜 角为6，圆C以M为圆心，3为半径（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C相交于,A B两点，求PAPB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备精品知识点解： （1）直线l的参数方程为31,212,2xtyt为参数）t (， （答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为sin6. （2）把31,212,2xtyt代入22(3)9xy，得2(31)70tt，1 27t t，设点,A B对应的参数分别为12,tt， 则12,PAtPBt,7.PAPB5以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线l的参数方程为2312xtyt（t为参数） ，曲线C的极坐标方程为2sin4cos. (1) 求曲线C的直角坐标方程； (2)设直线l与曲线C相交于AB、两点，求AB. 解：(1)由cos4sin2，既cos4sin22曲线C的直角坐标方程为xy42. (2)l的参数方程为代入24yx，整理的07842tt，所以122tt，1 274t t所以14374134)(132)3(212212122t tttttAB. 【题型 3】两类最值问题1已知曲线C：2219xy，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()24. （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程；（2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值 . 解： （1）曲线C的参数方程为3cossinxy（为参数） ，直线l的直角坐标方程为20 xy（2）设(3cos,sin)P，P到直线l的距离10 cos()23cossin222d（其中为锐角，且1tan3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备精品知识点当cos()1时，P到直线l的距离的最大值max52d2已知曲线C的极坐标方程为2sincos10，曲线13cos:2sinxCy（为参数） （1）求曲线1C的普通方程；（2）若点M在曲线1C上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值解： （1）曲线1C的普通方程是：22194xy（2）曲线C的普通方程是：2100 xy设点(3cos,2sin)M，由点到直线的距离公式得：3cos4sin1015cos()1055d其中34cos,sin550时，min5d，此时9 8( ,)5 5M3在平面直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程是22222xtyt（t 为参数） ，以原点 O为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为42cos()4. （1）将圆 C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线 l 与圆 C交于 A，B两点，点 P的坐标为(2,0)，试求11PAPB的值. 解： （1）由4 2 cos()4，展开化为2242(cossin)4(cossin)2，将cossinxy代入, 得22440 xyxy，所以，圆 C的直角坐标方程是22440 xyxy. （2）把直线l的参数方程22222xtyt（t 为参数）代入圆的方程并整理，可得：22 240tt. 设 A，B两点对应的参数分别为12,t t，则12122 2,40tttt，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备精品知识点所以212121 2()42 6ttttt t. 12121211112 6642ttPAPBtttt. 4已知曲线1C的参数方程是)(3siny2cosx为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C的坐标系方程是2，正方形ABCD的顶点都在2C上，且,A B C D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)3（1）求点,A B C D的直角坐标；（2）设P为1C上任意一点，求2222PAPBPCPD的取值范围 . 解： （1）点,A B C D的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636点,A B C D的直角坐标为(1, 3),(3,1),(1,3),(3,1)（2）设00(,)P xy；则002cos()3sinxy为参数2222224416tPAPBPCPDxy23220sin32,52精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
