2022年微分几何复习题 .pdf

1 第一章曲线论一、单项选择题1、过点0r且以非零向量a为方向的直线方程为A、00rar B 、0)(0rar C 、0)(0arr D 、0)(0arr2、已知向量ba，则必有；A、0ba B 、ba C 、0ba D 、0ba3、设s,r分别是可微的向量函数, 则以下运算正确的是；A、srsr)( B、srsrsr)( C 、srsr)( D 、rsrssr)(4、过0r且垂直于非零向量n的平面方程是A、0)(0nrr B 、0)(0nrr C、nvrr0 D、0)(0rnr5、设)(),(),(tutstr分别是可微的向量函数, 则),(usr；A、usr)( B、usr)( C 、) , , (usr D 、),(),(),(usrusrusr6、单位向量函数)(tr关于t的旋转速度等于A、)( tr B、)( tr C 、)( tr D、)( tr7、向量函数)(trr具有固定方向的充要条件是；A、1)(tr B 、1)( tr C 、0)( )(trtr D 、otrtr)( )(8、向量函数)(trr具有固定长的充要条件是； A 、0)( )(trtr B 、0)()( trtr C 、1)(tr D 、1)( tr9、星形线taytax33sin,cos上对应于t从 0 到的一段弧的长等于；A、a B、a2 C、a3 D、a610、已知向量ba/，则必有； A、0ba B、ba C、0ba D、0ba11、在曲线的正常点处, 曲线的切线和主法线所确定的平面是曲线上该点的； A、法平面 B、切平面 C、密切平面 D、从切平面12、平面曲线的曲率或挠率特征是； A 、曲率0 B、曲率 C、挠率)0(cc D、挠率013、设圆的半径为R，则圆上每一点的曲率都是；A、 0 B、1 C、R D、R114、如果一条曲线的密切平面固定，则此曲线是；A、平面曲线 B、挠曲线 C、一般螺线 D、直线15、设曲线)(trr的自然参数方程为)(srr，则曲线在任一点的单位切向量是；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 A、)(tr B、)(sr C、dtrd D、dsrd16、曲率恒等于零的曲线是； A 、平面曲线 B、直线 C、挠曲线 D、一般螺线17、 圆柱螺线,sin,costttr，在点t的切线方程是；A、1101zyx B 、1111zyx C 、1101zyx D 、0zy18、对于一般螺线，下列命题成立的个数是；切线和固定方向作固定角主法线与一个固定方向垂直曲率和挠率的比等于一个常数副法线与一个固定方向作固定角 A、二个 B、三个 C、四个 D、五个19、下列不是一般螺线性质的是； A、切线和固定方向作固定角 B、主法线与一个固定方向垂直 C、曲率和挠率的积等于一个常数 D 、副法线与一个固定方向作固定角 E、曲率和挠率的比等于一个常数20、如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么此曲线是； A、球面曲线 B、圆 C、平面曲线 D、直线21、空间曲线c上正则点P的切线和该点邻近点Q的平面，当点Q沿曲线趋于点P时，平面的极限位置称为曲线的点的；A、密切平面 B、法平面 C、切平面 D、从切平面二、填空题1、设曲线)(trr的自然参数方程为)(srr，则曲线在任一点的单位切向量是；2、 向量函数)(tr是区间,ba上的连续函数 , 则)(xadttrdxd；3、 直线ttttr3 ,2 ,)(的自然参数方程是；4、设曲线参数方程)(srr，则参数s是自然参数的充要条件是；5、最贴近曲线的直线是、最贴近曲线的平面是；6、若空间曲线)(trr上的密切平面都垂直于一固定向量e，则该曲线是；7、空间曲线是直线的充要条件是；8、若空间曲线)(trr满足0),(rrr，则该曲线是；9、曲线)(trr上的点都是正常点，则必有；10、曲线)(c上所有点都是正常点时, 则称该曲线)(c为 . 11、空间曲线的自然方程是；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 12、)(tr具有固定长的充要条件是；13、)(tr具有固定方向的充要条件是；14、空间曲线是平面曲线的充要条件是；15、平面曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的决定 . 16、空间曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的决定 . 17、圆柱螺线ttttr,sin,cos)(在点（ 1，0，0）处的切线方程是；18、 曲线ttttr5,sin3 ,cos3)(上的每一点都是；19、由曲线上一点的主法线与副法线构成的平面是曲线在这点的；20、由曲线上一点的切线与副法线构成的平面是曲线在这点的；21、设圆的半径为R，则圆上每一点的曲率（按顺时针方向）都是；22、切线和固定方向作固定角的曲线称为；23、圆柱螺线,sin,cosbttatar的自然参数表示为；24、 若曲线btatrr),(中的函数是连续可微的函数，则曲线为；25、按照椭圆点、双曲点、抛物点进行分类，可展曲面上的点都是点。三、判断题1、若0ba， 则0a或0b . （）2、 如果m是常向量 , 则有babadttrmdttrm)()(. ( ) 3、对空间曲线, 切向量的正向和曲线的参数t的增值方向是一致的.( ) 4、 曲线ttttr5,sin3,cos3)(上的每一点都是正常点. （）5、如果一条曲线的密切平面固定，则曲线是平面曲线（）6、曲线)(trr在)(0tP点的密切平面由)(0tP和向量)( 0tr完全确定 .( ) 7、 若0)()(ttstr是在点和连续的向量函数, 则也连续在点0)()(ttstr. ( ) 8、挠率不恒为零的曲线称为挠曲线 ( ) 9、 如果一个向量函数的模等于固定长，那么它的微商为零. （）10、切线是通过切点的所有直线当中最贴近曲线的直线.( ) 11、)(s是曲线的副法向量对于弧长的旋转速度. （）12、曲线在某点的曲率和挠率完全确定了曲线在该点邻近的近似形状；（）13、当曲线在一点处的弯曲程度越大, 切向量对于弧长的旋转速度就越小. ( ) 14、 挠率为定数的曲线是平面曲线. ( ) 15、空间曲线挠率大于零时, 曲线由下往上成左旋曲线. （）16、空间曲线穿过法平面和从切平面, 但不穿过密切平面. ( ) 17、空间曲线)(trr，若0),(rrr，则曲线为平面曲线18、在光滑曲线的正常点处，切线必存在且唯一（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 第二章曲面论一、单项选择题1、 如果),(11vu是曲面),(vurr的正常点，则在该点处有；A、0vurr B、0vurr C、0vurr D、0vurr2、两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是经过适当选择参数A、它们的第一基本形式相等 B、 它们的第二基本形式相等C、它们的第一基本形式成比例 D、 它们的第二基本形式成比例3、 曲面的曲纹坐标网是正交的充要条件是；A、 F=0 B、 G=0 C、 L=0 D、 M=0 4、 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是；A、 F=0 B、 M=0 C、F=M=0 D、 L=N=0 5、 曲面上的曲纹坐标网是共轭网的充要条件是；A、 F=0 B、 M=0 C、F=M=0 D、 L=N=0 6、 曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是；A、 F=0 B、 M=0 C、F=M=0 D、 L=N=0 7、两个曲面之间的变换是等距变换的充要条件是经过适当的参数变换A、它们的第一基本形式成比例 B、 它们的第一基本形式相等C、 它们的第二基本形式成比例 D、 它们的第二基本形式相等8、 曲面上的一点P处有0MNL, 在点 P称为曲面的A、 双曲点 B、 椭圆点 C、抛物点 D、平点9、 下列曲面中不是可展曲面的是 A 、 椭圆抛物面 B、一条曲线的切线曲面 C 、柱面 D、锥面10、 在光滑曲面),(vurr上, 微分方程0du表示；A、 一条曲线 B、 一族曲线曲线族 C 、 两条曲线 D 、 两族曲线曲线网11、 曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的；A、 法平面 B、 密切平面 C、 从切平面 D、 法线曲面12、 直纹面)()(ubvuar的 V曲线是；A、直母线B、与直母线垂直相交的直线C、与导线)(ua垂直的曲线D、与导线)(ua平行的曲线13、曲面上的一点P处有02MLN,则点 P称为曲面的；A、 椭圆点 B、 抛物点 C、 双曲点 D、 平点14、曲面上的一点P处有02MLN, 则点 P称为曲面的；A、 椭圆点 B、 抛物点 C、 双曲点 D、 平点15、曲面上的一点P处有02MLN, 则点 P称为曲面的；A、 椭圆点 B、 抛物点 C、 双曲点 D、 脐点16、下面除了之外都是曲面的等距不变量（保长不变量）A、曲面上曲线的弧长B、曲面上两曲线的交角C、曲面域面积D、曲面曲线的曲率17、曲面 S：),(vurr的每一点满足F=M=0 ，则此曲面的曲率线是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 A、u曲线B、v曲线C、曲面上的u曲线和v曲线D、参数曲线的二等分轨线18、曲面 S：),(vurr在 P点处的两个方向dvdud:)(和vu:)(既正交又共轭，则A、0,2nrdrrdB、0,0nrdrrdC、0,0nndrrdD、0, 0nrdrrd二、填空题1、在曲面),(vurr上，微分方程0dvdu表示；2、曲面zzr,sin,cos),(在点（ 0， 0）处的切平面方程是；3、曲面zzr,sin,cos),(在点)0 ,(处的切平面方程是；4、曲面),(vurr是正则曲面，则必有；5、曲面在脐点处，第一、第二基本量满足；6、曲面在圆点处，第一、第二基本量满足；7、球面上每一点都是；8、两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是；9、两个曲面之间的一个变换是等距变换的充要条件是；10、已知平面 到单位球面s的中心距离为)10(dd, 则与s交线的曲率为；11、曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的；12、空间曲线)(trr的主法线曲面的方程是；13、设曲面),(vurr的u- 曲线与v- 曲线的交角为，则cos；14、曲面上一曲线，如果它每一点处的切方向都是该曲面的渐近方向，则此曲线称为曲面的；15、曲面上的一点P处有 L=M=N=0 ，则点 P称为曲面的；16、曲面上一点P处使法曲率nk=0 的方向为曲面在点P的；17、曲面上一曲线，如果它每一点处的切方向都是该曲面的主方向，则此曲线称为曲面的；18、平面上每一点都是；19、如果曲面上有直线，则它一定是曲面的；20、曲面在椭圆点邻近的形状近似于；21、曲面的三个基本形式之间满足；22、平面族azayxa2222的包络是；23、平面族1sinsincoszyx的包络是；24、曲面族S：06sinsincoszyx的包络为；25、曲面族S：03coscossinzyx的包络为；三、判断题1、 曲面上一点P处使nk=0 的方向称为曲面在点P的主法方向 . ( ) 2、设曲面的第一基本形式为22GdvEduI，则u曲线和v曲线的位置关系为正交。（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 3、用曲面S：),(vurr的第一基本量表示曲面域D（D对应uv平面上的区域为D）的面积为DdudvFEG2。 （）4、 曲面的第二基本形式是正定的. ( ) 5、曲面在椭圆点附近的形状近似于双曲抛物面. ( ) 6、曲面的曲纹坐标网都是正交的. ( ) 7、 如果曲面上的点都是双曲点, 则曲面上存在两族渐近曲线. ( ) 8、平面上每一点都是平点. ( ) 9、 等距变换一定是保角变换,保角变换却不一定是等距变换. ( ) 10、曲面上一点处的杜邦指标线是在该点的切平面上的有心二次曲线. ( ) 11、曲面上的弧长、交角、曲面域的面积等都是等距不变量, 也是曲面的内蕴量. ( ) 12、一个曲面如果它每一点处的平均曲率H=0,称之为极小曲面. ( ) 13、曲面上一点( 非脐点 ) 的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值. ( ) 14 直纹曲面),()(ubvuar当0),(bba时，是可展曲面. ( ) 15、 在椭圆柱面上任何点处, 高斯曲率都等于零. ( ) 16、 =22362dvdudvdu不是曲面的第一基本形式（）17、由于高斯曲率22FEGMLNK，故高斯曲率不是内蕴量. ( )18、一个曲面为可展曲面的充要条件为单参数平面族的包络。（）19、可展曲面只有三类：锥面、柱面、切线面，而直纹面也只有三类。（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页