2022年高中数学-第课时一元二次不等式同步导学案北师大版必修 .pdf

2 一元二次不等式第 1 课时一元二次不等式的解法知能目标解读1. 理解一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系，能借助二次函数的图像解一元二次不等式 .2. 熟练掌握将一元二次不等式转化为一元一次不等式组.3. 对于含参数的一元二次不等式，能进行分类讨论求解. 重点难点点拨重点：一元二次不等式的解法. 难点：一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系及对含参数的一元二次不等式的分类讨论. 学习方法指导1. 一元二次不等式与相应的二次函数，二次方程的联系一 元二 次方程ax2+bx+c=0(a 0), 一 元二次不等式ax2+bx+c0、ax2+bx+c0 =0 0) 的图像ax2+bx+c=0(a0) 的根有两个不相等的实根x1,x2且x10(a0) 的解集x|xx2x|x-ab2 R ax2+bx+c0) 的解集x|x1xx22. 解一元二次不等式的一般步骤（1）对不等式变形，使一端为0 且二次项系数大于0.（2）计算相应的判别式.（3）当 0 时，求出相应的一元二次方程的根.（4）根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集.注意：（1） 利用数形结合法解一元二次不等式. 在熟悉图像的前提下，关键是迅速求解对应的一元二次方程.求解时优先考虑因式分解法，其次才是公式法.（2）特别地，若a0(a0)与ax2+bx+c0(a0)的解集不同 .3. 解含参数的一元二次不等式含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，解这类不等式可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页以从分析两个根的大小及二次项系数的正负入手去解答，必要的时候应根据二次项系数的正负或两根的大小关系上分类讨论，对于每一种情况都要注意结合二次函数的图像写出不等式的解集.4. 解不等式应注意的问题（1）解不等式的核心问题是不等式的同解变形，是将复杂的、生疏的不等式问题转化为简单的、熟悉的最简不等式问题. 不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图像都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化.（2）一元一次不等式（组）和一元二次不等式（组）的解法是不等式的基础，因为很多不等式的求解最终都是转化为一元一次不等式（组）和一元二次不等式（组）进行的.（3）解不等式的过程中，经常要去分母、去绝对值符号等，往往易忽略限制条件和变量取值范围的改变；对分步或分类求出的结果，何时求交集，何时求并集很容易失误.（4）解含参数的不等式时，注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论. 分类的标准是通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件）、根据方法（例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变参数值） 、按照解答的需要（例如进行不等式变形时，必须具备的变形条件）等方面来决定，一般都应做到不重复、不遗漏. 知能自主梳理1. 一元二次不等式含有未知数，且未知数的次数为不等式，叫做一元二次不等式 .2. 一元二次不等式的解及其解集一般地，使某个一元二次不等式成立的叫做这个不等式的解. 一元二次不等式的所有解组成的，叫做这个不等式的解集.答案1. 一个最高2 的整式2.x的值集合思路方法技巧命题方向一元二次不等式的解法例 1解下列不等式：（1）2x2-3x-20；（2）-3x2+6x2.分析先求相应方程的根，然后根据相应函数的图像，观察得出不等式的解集.解析(1) 方程 2x2-3x-2=0 的两根为x1=-21,x2=2.函数y=2x2-3x-2 的图像是开口向上的抛物线，图像与x轴有两个交点为（-21，0）和（ 2，0） ，如图所示 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页观察图像可得原不等式的解集为xx2.（2）原不等式可化为3x2-6x+20，方程 3x2-6x+2=0 的两根为x1=1-33,x2=1+33, 函数y=3x2-6x+2 的图像是开口向上的抛物线，图像与x轴的两个交点为 （1-33，0）和（ 1+33，0） ，如图所示 .观察图像可得原不等式的解集是x|1-33x0 的解集为 x|-31x0.分析由题意可知 -31,21是方程ax2+2x+c=0 的两根，故可用韦达定理求得a、c的值 .解析由ax2+2x+c0 的解集为 x|-31x21， 知a0， 且方程ax2+2x+c=0 的两根为x1=-31,x2=21,由韦达定理知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页a0，即 2x2-2x-120,解得 -2x3.所求不等式的解集为x|-2x3. 说明一元二次不等式解集的端点恰好是其对应的一元二次方程的两根，也是与其对应的二次函数与 x 轴交点的横坐标. 变式应用2 已知关于x的不等式x2+ax+b0 的解集 . 解析由韦达定理有-a=1+2 b=12 ，得a=-3, b=2 代入不等式，2x2-3x+10,2x2-3x+10 (2x-1)(x-1)0 x1.bx2+ax+10 的解集为（ -, 21） (1,+ ). 探索延拓创新命题方向含参数的一元二次不等式的解法例 3解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10(a1). 分析当a=0 时，不等式的解集a0 时，不等式的解集0a1 时不等式的解集解析（1）若a=0,则原不等式可化为-x+11.(2) 若a0, 即x1.(3) 若 0a1 时，原不等式的解为1xa1.综上所述：当a0 时，解集为x|x1;当a=0时，解集为x|x1;当 0a1 时，解集为x|1x0(a0). 解析由于a0, 所以原不等式可化为（x-2 ） （x-a2）0,由a2 2可得a=1,当 0a1 时，解不等式可得xa2;当a=1时，解不等式得xR且x2;当a1时，解不等式得x2.综上所述，当0aa2或x1时，原不等式的解集为x|x2 或xa2. 名师辨误做答例 4已知x1,x2是关于x的方程x2-(a-2)x+(a2+3a+5)=0 的两个实根，求x21+x22的最大值 .误解由根与系数的关系，得x1+x2=a-2,x1x2=a2+3a+5,x21+x22=(x1+x2) 2-2x1x2=(a-2) 2-2(a2+3a+5)=-a2-10a-6 =-(a+5) 2+1919，x21+x22的最大值为19.辨析由于一元二次方程只是在判别式0 时才有两个实根，故a的取值范围有限制，本题没有考虑这一限制，会使x21+x22的范围不准确.正解由=（a-2 ）2-4(a2+3a+5)0，得-4 a-34.x21+x22=(x1+x2) 2-2x1x2=-(a+5) 2+19，当a-4 时，x21+x22取最大值18. 课堂巩固训练一、选择题1. 不等式 16x2+8x+10 的解集为（）A.x|x-41B.x|-41x41精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页C. D.x|x=-41答案D解析 16x2+8x+1=(4x+1) 20，不等式16x2+8x+10 的解集为 x|x=-41，故选 D. 2. 不等式 -3x2+7x-20 的解集为（）A.x|31x2或x31C.x|-2x2答案B解析原不等式可化为3x2-7x+20,即(3x-1)(x-2)0,x2 或x0, 解得m2 或m2. 二、填空题4. 设集合A=x|(x-1) 23x-7, 则集合A中有个元素 .答案0解析不等式 (x-1) 23x-7 可化为x2-5x+80,即(x-25)2+470的解集是 . 答案x|x3解析由表知x=-2 时，y=0，x=3 时，y=0.二次函数y=ax2+bx+c可化为y=a(x+2)(x-3), 又当x=1 时，y=-6, a=1.不等式ax2+bx+c0 的解集为x|x-2 或x3. 三、解答题6. 若不等式ax2+bx+c0的解集为x|-3x4, 求不等式bx2+2ax-c-3b0的解集为x|-3x4 ,a0 且-3 和 4 是方程ax2+bx+c=0 的两根，-3+4 ab-3 4ac解得b=-a c=-12a不等式bx2+2ax-c-3b0 可化为 -ax2+2ax+15a0, 即x2-2x-150,-3x5, 所求不等式的解集为x|-3x5. 课后强化作业一、选择题1.(2011 山东理， 1) 设集合M =x|x2+x-60 ，N =x|1 x 3, 则MN = （）A.1,2) B.1,2 C.( 2,3 D.2,3 答案A 解析本题主要考查集合的运算（交集）、集合的表示法及二次不等式的解法.依题意：M=(-3,2),又N=1,3 ,MN=1,2), 故选 A. . 不等式 -x2x-2 的解集为（）A.x|x-2 或x1 B.x|-2x0的解集是x|-21x0 的解集为x|-21x31,-21、31是方程ax2+bx+2=0 的两根 ,2131ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页2131a2解得a=-12 b=-2.a-b=-10. 4. 若 0t1, 则不等式 (x-t)(x-t1)0 的解集为（）A.x|t1xt1或xtC.x|xt D.x|txt1答案D解析 0t1, (x-t)(x-t1)0, txt1, 故选 D. 5.x=2 是方程x2+kx+2=0 的一根，则不等式x2+kx+20的解集为（）A.x|x2 B.x|1x2C.x|x2 D.答案B 解析方程x2+kx+2=0 的一根为x=2, 则由根与系数关系知另一根为1，所以x2+kx+20 的解集为x|1x0;x2+6x+100;2x2-3x+40, 解集不为 R.中 =62-4100. 故选 C. 7. 不等式x2-ax-12a20（其中a0）的解集为（）A.（-3a,4a）B.(4a,-3a) C.(-3,4) D.(2a,6a)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页答案B解析x2-ax-12a20,(x-4a)(x+3a)0, 又a0, 4ax0 的解集为x|x4, 那么对于函数f(x)=ax2+bx+c有（）A.f(5)f(2)f(-1) B.f(2)f(5)f(-1)C.f(2)f(-1)f(5) D.f(-1)f(2)0 的解为x4. 则a0 且-2 和 4 是方程ax2+bx+c=0 的两根，函数f(x)=ax2+bx+c的图像开口向上，对称轴为x=-ab2 =1.f(5)f(-1)f(2), 故选 C. 二、填空题9. 不等式ax2+bx+30的解集为x|x3 或x0,B=x|x2+ax+b0. 且AB=R,AB=x|33或x-1, AB=R,AB=x|3x4, B=x|-1 x4,-1,4是方程x2+ax+b=0 的两根 .a=-(-1+4)=-3,b=-14 4. 11. 若关于x的不等式x2-ax-a-3 的解集不是空集，则实数a的取值范围是. 答案a-6 或a2 解析x2-ax-a-3 的解集不是空集,y=x2-ax-a+3 的图像与x轴有交点 ,则=(-a) 2-4 1(-a+3)0，解得a-6 或a 2. 12. 对于实数x, 当且仅当nxn+1(nN+) 时， 规定 x =n, 则不等式4 x2-36 x +450 的解集为. 答案x|2 x8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页解析由 4x2-36 x+450，得23x 7.5, 即 1.5 x7.5,故 2x 7， 2x0;（4） -2x2+3x-20. 解析（ 1）原不等式化为(x-5)(x+1) 0，-1 x5.故所求不等式的解集为x|-1 x 5.(2) 原不等式化为4x2-18x+4810，即（ 2x-29）20，x=49.故所求不等式的解集为x|x=49.(3) 原不等式化为x2-6x+100,即(x-3) 2+10,即 2(x-43)2+870. x R.故所求不等式的解集为R. 14. 解关于x的不等式4x2-3x-6 2x+8. 解析原不等式可化为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页解得 5x 7 或x=-2.原不等式的解集为x|5 x7 或x=-2. 15. 已知不等式ax2+5x+c0 的解集为 x31x0 的解集为 x31x21，所以x1=31与x2=21是方程ax2+5x+c=0 的两个实数根，且a0. 解析 56x2-ax-a2 0可化为（ 7x-a）(8x+a) 0,当a0 时， -8a7a，x7a或x-8a;当a0 时， -8a7a, x-8a或x7a；当a=0 时，x0.综上所述，当a0 时，原不等式的解集为x|x7a或x-8a,当a=0 时，原不等式的解集为x|xR且x 0,当a-8a或x7a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页