2022年必修五不等式知识点 .pdf
学习必备欢迎下载不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1) 对称性：abba(2) 传递性：cacbba,(3) 加法法则：cbcaba；dbcadcba,( 同向可加 ) (4) 乘法法则：bcaccba0,；bcaccba0,bdacdcba0,0( 同向同正可乘) (5)倒数法则：baabba110,(6) 乘方法则：) 1*(0nNnbabann且(7) 开方法则：)1*(0nNnbabann且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式00022acbxaxcbxax或的解集：设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：000二次函数cbxaxy2（0a）的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载的解集)0(02acbxax21xxxx2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿 过 偶 弹 回 ；（ 3 ） 根 据 曲 线 显 现( )f x的 符 号 变 化 规 律 ， 写 出 不 等 式 的 解 集 。如： xxx1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式， 并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。( )( )0( )( )0( )( )0;0( )0( )( )fx g xf xfxf x g xg xg xg x4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式Axf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上minfxA若不等式Bxf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上maxfxB（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域 . （虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0 同一侧的所有点(yx,) ，把它的坐标（yx,) 代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以 只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C 0表示直线哪一侧的平面区域. （特殊地，当C0 时，常把 原点 作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于 x、y 的一次式z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、 y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式2abab1若 a,bR,则 a2+b22ab,当且仅当a=b 时取等号 .2如果 a,b 是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba变形：有:a+bab2；ab22ba,当且仅当a=b 时取等号 .3如果 a,b R+,ab=P(定值 ),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值P2;如果 a,b R+,且 a+b=S (定值 ),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S. 注： （ 1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4. 常用不等式 有： （1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用 ) ； （2）a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号） ； （3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题） 。不等式主要题型讲解（一）不等式与不等关系题型一：不等式的性质1.对于实数cba,中，给出下列命题：22,bcacba则若；babcac则若,22；22,0bababa则若；baba11,0 则若；baabba则若,0；baba则若,0；bcbacabac则若,0；11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是_ 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）（二）解不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载题型三：解不等式2.解不等式3.解不等式2(1)(2)0 xx。4.解不等式25123xxx5.不等式2120axbx的解集为 x|-1 x2，则a=_, b=_6.关于x的不等式0bax的解集为), 1(， 则关于x的不等式02xbax的解集为7. 解关于 x 的不等式2(1)10axax题型四：恒成立问题8.关于 x 的不等式a x2+ a x+10 恒成立，则a 的取值范围是_ 9.若不等式22210 xmxm对 01x的所有实数x都成立，求m的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载10.已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。（三）基本不等式2abab题型五：求最值11.（直接用）求下列函数的值域（1）y 3x 212x 2（2）yx1x12.（配凑项与系数）（1）已知54x，求函数14245yxx的最大值。（ 2）当时，求(82 )yxx的最大值。求函数2254xyx的值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载13.（条件不等式）（1）若实数满足2ba，则ba33的最小值是 . （2）已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。（四）线性规划题型八：目标函数求最值14.满足不等式组0,087032yxyxyx，求目标函数yxk3的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
