2022年高中数学第一章解三角形知识点复习及经典练习 .pdf

学习必备欢迎下载高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结1正弦定理 :2sinsinsinabcRABC或变形：:sin:sin:sina b cABC. 推论： 定理： 若 、0，且 +，则 sinsin，等号当且当=时成立。判断三角解时，可以利用如下原理： sinA sinB A B a b coscosABAB（cosyx在(0,)上单调递减）2余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC或222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab. 3（ 1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5三角形中的基本关系：sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABCsincos,cossin,tancot222222ABCABCABC已知条件定理应用一般解法一边和两角（如 a、B、C）正弦定理由 A+B+C=180 ，求角 A，由正弦定理求出b 与 c，在有解时有一解。两边和夹角(如 a、 b、c)余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由 A+B+C=180 求出另一角，在有解时有一解。三边(如 a、 b、c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180 ，求出角C 在有解时只有一解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载解三角形 基础训练 A组 一、选择题1在 ABC 中，若0030,6,90BaC，则bc等于（）A1B1C32D322若A为 ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）AAsinBAcosCAtanDAtan13在 ABC 中，角,A B均为锐角，且,sincosBA则 ABC 的形状是（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形4等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（）A2B23C3D325在ABC中，若Babsin2，则A等于（）A006030 或B006045 或C0060120 或D0015030 或6边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A090B0120C0135D0150二、填空题1在RtABC 中，090C，则BAsinsin的最大值是 _。2在 ABC 中，若Acbcba则,222_。3在 ABC 中，若aCBb则,135,30,200_。4在 ABC 中，若sin Asin BsinC7813，则C_。5在 ABC 中，,26AB030C，则ACBC的最大值是 _。三、解答题1 在 ABC 中，若,coscoscosCcBbAa则 ABC 的形状是什么？2在 ABC 中，求证：)coscos(aAbBcabba3在锐角 ABC 中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin。4在 ABC 中，设,3,2CAbca求Bsin的值。解三角形 综合训练 B组一、选择题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载1在 ABC 中，:1: 2:3A B C，则:a b c等于（）A1: 2:3B3: 2:1C1:3 : 2D2:3 :12在 ABC 中，若角B为钝角，则sinsinBA的值（） A 大于零 B 小于零 C 等于零 D 不能确定3在 ABC 中，若BA2，则a等于（）AAbsin2BAbcos2CBbsin2DBbcos24在 ABC 中，若2lgsinlgcoslgsinlgCBA，则 ABC 的形状是（）A直角三角形B等边三角形C不能确定D等腰三角形5在 ABC 中，若,3)(bcacbcba则A( ) A090B060C0135D01506在 ABC 中，若1413cos,8,7Cba，则最大角的余弦是（）A51B61C71D817在 ABC 中，若tan2ABabab，则 ABC 的形状是（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形二、填空题1若在 ABC 中，060 ,1,3,ABCAbS则CBAcbasinsinsin=_。2若,A B是锐角三角形的两内角，则BAtantan_1（填 或 ）。3在 ABC 中，若CBCBAtantan,coscos2sin则_。4在 ABC 中，若,12,10,9cba则 ABC 的形状是 _。5在 ABC 中，若Acba则226,2,3_。6在锐角 ABC 中，若2,3ab，则边长c的取值范围是 _。三、解答题1 在 ABC 中，0120 ,21,3ABCAcb aS，求cb,。2 在锐角 ABC 中，求证：1tantantanCBA。3 在 ABC 中，求证：2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA。4 在 ABC 中，若0120BA，则求证：1cabcba。5在 ABC 中，若223coscos222CAbac，则求证：2acb解三角形 提高训练 C组一、选择题1A为 ABC 的内角，则AAcossin的取值范围是（）A)2,2(B)2,2(C2, 1(D2,2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载2在 ABC 中，若,900C则三边的比cba等于（）A2cos2BAB2cos2BAC2sin2BAD2sin2BA3在 ABC 中，若8,3,7cba，则其面积等于（）A12B221C28D364在ABC中，090C，00450A，则下列各式中正确的是（）A sincosAAB sincosBAC sincosABD sincosBB5在 ABC 中，若)()(cbbcaca，则A（）A090B060C0120D01506在 ABC 中，若22tantanbaBA，则 ABC 的形状是（）A直角三角形B等腰或直角三角形C不能确定D等腰三角形二、填空题1在 ABC 中，若,sinsinBA则A一定大于B，对吗？填 _（对或错）2在 ABC 中，若,1coscoscos222CBA则 ABC 的形状是 _。3在 ABC 中， C 是钝角，设,coscos,sinsin,sinBAzBAyCx则zyx,的大小关系是 _。4在 ABC 中，若bca2，则CACACAsinsin31coscoscoscos_。5在 ABC 中，若,tanlgtanlgtanlg2CAB则 B 的取值范围是_。6在 ABC 中，若acb2，则BBCA2coscos)cos(的值是 _。三、解答题1在 ABC 中，若)sin()()sin()(2222BAbaBAba，请判断三角形的形状。2 如果 ABC 内接于半径为R的圆，且,sin)2()sin(sin222BbaCAR求 ABC 的面积的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载3 已知 ABC 的三边cba且2,2CAbca，求:a b c4在 ABC中，若()()3abc abcac，且tantan33AC，AB边上的高为4 3，求角,A B C的大小与边, ,a b c的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载基础训练 A组 一、选择题1.C 00tan30 ,tan302 3,244,2 3bbacbcba2.A 0,sin0AA3.C cossin()sin,22AABA B都是锐角，则,222AB ABC4.D 作出图形5.D 012 sin,sin2sinsin,sin,302baBBABAA或01506.B 设中间角为，则22200005871cos,60 ,180601202582为所求二、填空题1.1211sinsinsincossin 222ABAAA2.012022201c o s,1 2 022bcaAAbc3.2600sin6215 ,4sin4sin154sinsinsin4abbAAaAABB4. 0120abcsin Asin BsinC7813，令7 ,8 ,13ak bk ck22201cos,12022abcCCab5. 4,sinsinsinsinsinsinACBCABACBCABBACBACA CB C2(62)(sinsin)4(62)sincos22ABABABmax4cos4,()42ABACBC三、解答题1.解：coscoscos,sincossincossincosaAbBcCAABBCCsin 2sin2sin 2,2sin()cos()2sincosABCABABCCcos()cos(),2coscos0ABABABcos0A或cos0B，得2A或2B所以 ABC 是直角三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载2.证明：将acbcaB2cos222，bcacbA2cos222代入右边得右边2222222222()222acbbcaabcabcabcab22abababba左边，)coscos(aAbBcabba3证明： ABC 是锐角三角形，,2AB即022ABsinsin()2AB，即sincosAB；同理sincosBC；sincosCACBACBAcoscoscossinsinsin4.解：2 ,acbsinsin2sinACB，即2sincos4sincos2222ACACBB，13sincos2224BAC，而0,22B13cos24B，313sin2sincos22244BBB839 综合训练 B组 一、选择题1.C 132,:sin:sin:sin:1:3 :2632222ABCa b cABC2.A ,ABAB，且,AB都是锐角，sinsin()sinABB3.D sinsin 22sincos,2 cosABBB abB4.D sinsinlglg 2,2,sin2cossincossincossinAAABCBCBCsin()2cossin,sincoscossin0,BCBCBCBCsin()0,BCBC，等腰三角形5.B 22()()3,()3,abc bcabc bcabc222222013, c o s,6 022bcabcabcAAbc6.C 2222cos9,3cababCc，B为最大角，1cos7B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载7.D 2cossinsinsin22tan2sinsin2sincos22ABABABabABABABabAB，tan2tan,tan022tan2ABABABAB，或tan12AB所以AB或2AB二、填空题1.33922113s i n3 ,4 ,1 3 ,1 3222ABCSbcAccaa132 39sinsinsinsin332abcaABCA2.,22ABAB，即sin()2tantan()2cos()2BABBcos1sintanBBB，1tan,tantan1tanAABB3.2si nsi nt ant a nco sc o sBCBCBCsincoscossinsin()2sin1coscossinsin2BCBCBCABCAA4.锐角三角形C为最大角，cos0,CC为锐角5. 060222843233114cos226222( 31)2 22bcaAbc6(5,13)222222222222213, 49,513, 51394abccacbccccbac三、解答题1.解：1sin3,4,2ABCSbcAbc2222c o s,5abcbA bc，而cb所以4,1 cb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载2. 证明： ABC 是锐角三角形，,2AB即022ABsinsin()2AB，即sincosAB；同理sincosBC；sincosCAsinsinsinsinsinsincoscoscos,1coscoscosABCABCABCABC1tantantanCBA3. 证明：sinsinsin2sincossin()22ABABABCAB2sincos2sincos2222ABABABAB2sin(coscos)222ABABAB2cos2coscos222CAB4coscoscos222ABC2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA4证明：要证1cabcba，只要证2221aacbbcabbcacc，即222abcab而0120 ,AB060C2222220cos,2cos602abcCabcababab原式成立。5证明：223coscos222CAbac1cos1cos3sinsinsin222CABAC即sinsincossinsincos3sinAACCCABsinsinsin()3sinACACB即sinsin2sinACB，2acb 提高训练 C组 一、选择题1.C sincos2 sin(),4AAA而520,sin()144424AAA2.B sinsinsinsinsinabABABcC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载2sincos2 cos222ABABAB3.D 011cos,60 ,sin6 322ABCAASbcA4.D 090AB则sincos ,sincosABBA，00045 ,AsincosAA，004590 ,sincosBBB5.C 22222201,cos,1202acbbc bcabcAA6.B 22sincossincossin,sincossincoscossinsincossinABABAAABBABBABs i n 2s i n 2, 2222ABABAB或二、填空题1.对,s i ns inBA则22ababABRR2.直角三角形21(1c o s 21c o s 2)c o s ()1,2ABAB21(cos2cos2 )cos ()0,2ABAB2cos()cos()cos ()0ABABABcoscoscos0ABC3. zyx, s i nc o s, s i nc os,22ABABABBA yz,sinsinsin,cabCAB xy xyz41s i ns i n2 s i n, 2 s i nc o s4 s i nc o s2222ACACACACACBcos2cos,coscos3sinsin222222ACACACAC则221sinsin4sinsin322ACAC1coscoscoscossinsin3ACACAC22(1cos )(1cos)14sinsin22ACAC22222sin2sin4sinsin112222ACAC5. )2,32tantantantantan,tantan()tantan1ACBACBACAC2tantantantan()tan1ACBACB3tantantantan2 tantan2tanBBACACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载3tan3tan,tan0tan33BBBBB6122,sinsinsin,bacBACBBCA2c o sc o s)c o s (2coscossinsincos12sinACACBBcoscossinsincos1 2sinsinACACBACcoscossinsincos1ACACBcos()cos11ACB三、解答题1.解：22222222sin()sincossin,sin()cossinsinabABaABAabABbABBc o ss i n, s i n 2s i n 2, 222c o ss i nBAABABABAB或2等腰或直角三角形2.解：2sinsin2sinsin(2)sin,RAARCCabB222sinsin(2)sin,2,aAcCabB acabb222222022,cos,4522abcabcabCCab2222 ,2sin2 ,22,sincR cRCR abRabC22222222,22RRababab ab21222sin,24422RSabCab2max212RS另法：122sin2sin2sin244SabCabRARB222sin2sin2sinsin4RARBRAB212cos()cos()2RABAB22122cos()2222(1)22RABR2max212SR此时AB取得等号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载3.解：sinsin2sin,2sincos4sincos2222ACACACACACB12147sincos,cos,sin2sincos222424224BACBBBB3,24242BBACACB AC33371sinsin()sincoscossin4444ABBB71sinsin()sincoscossin4444CBBB:sin:sin:sina b cABC)77(:7:)77(4.解：22201()()3,cos,602abc abcac acbacBBtantan33tan(),3,1tantan1tantanACACACACtantan23AC，联合tantan33AC得tan1tan23tan1tan23AACC或，即000075454575AACC或当0075 ,45AC时，4 34(326),8(31),8sinbcaA当0045 ,75AC时，4 34 6,4(31),8sinbcaA当00075 ,60 ,45ABC时，8,4(3 26),8( 31),abc当00045 ,60 ,75ABC时，8,4 6,4(31)abc。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页