2022年高三复习学案：对数与对数函数 .pdf

对数与对数函数一基础知识1对数(1)对数的概念如果)1,0(aaNab,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数 ,记) 1,0(logaaNba(2)对数的性质：零与负数没有对数01loga1logaa(3)对数的运算性质NMMNaaalogloglogNMNMaaalogloglogMnManaloglog其中 a0,a0,M0,N0 (4)对数换底公式：)10, 10,0(logloglogmmaaNaNNmma且且2对数函数一般形式：y=alogx (a0 且 a1)定义域： (0,+ )值域： (0,+ )过定点：（1，0）图象：单调性：a 1,在(-,+ )上为增函数 a0 当时且1, 10 xay0 时且10, 1xay0 3.记住常见对数函数的图形及相互关系二、题型剖析1对数式的化简和运算题组指数式与对数式的互化将下列指数式改写成对数式；1624；27133；205a；45. 021b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页将下列对数式改写成指数式；3125log5；23log31；699.1lg a题组计算：（1）1log 2log2aa；（2）33log 18log 2；（3）1lglg 254；（4）552log 10log 0.25 ；（5）522log 253log 64 ；（6）22log (log 16) 。题组计算：2lg50lg)5(lg212lg)2(lg5lg2lg)2(lg2222换底公式及应用例 2（ 1）已知4.1log,35log75求m（2）若aaa3)3(416log:,27log612求证思维分析：用换底公式化成相关数质数为对数的底数与真数，再进行代换。3指对数互化例 3已知 x,y,z 为正数，满足zyx643 求证：xzy1121比较 3x、4y、 6z 的大小思维分析：掌握指数式与对数式互化是解决问题的一个有效途径。4对数函数的图象例 4. 图中的曲线是对数函数xyalog的图象，已知a的取值为2 、34、52、61四个值，则相应于曲线1C 、2C 、3C 、4C 的a的值依次为【】A2 、34、52、61 B34、2 、61、52C2 、34、61、52 D34、2 、52、61训练： 若01a，则函数log (5)ayx的图象不经过【】A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限0 y x 1C2C3C4C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页若143loga，则a的取值范围是【】A)43,0( B),43( C)1 ,43( D)43, 0(), 1(5对数函数的性质例 4. 已知函数xf是实数集R上的奇函数，且当0 x时，1log2xxf（其中0a且1a）求函数xf的解析式；画出函数xf的图像；当1xf时，写出x的范围例 5. 已知函数xf10, 0logababxbxa且. 求xf的定义域；判断xf的奇偶性；讨论xf的单调性。6.综合运用已知3log1xxf，2log2xxg，试比较xf与xg的大小已知11log)(xmxxfa是奇函数（其中)1,0 aa，（1）求m的值；（2）讨论)(xf的单调性；（3）当)(xf定义域区间为)2,1 ( a时，)(xf的值域为), 1(，求a的值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页(3)对于函数)32(log)(221axxxf，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R，求实数 a 的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数 a 的取值范围；（3）若函数在), 1内有意义，求实数a 的取值范围；（4）若函数的定义域为),3()1 ,(，求实数 a 的值；（5）若函数的值域为 1,(，求实数 a 的值；（6）若函数在 1 ,(内为增函数，求实数a 的取值范围 . (4)解答下述问题：（）设集合03log21log2|8221xxxA，若当Ax时，函数4log2log)(22xxxfa的最大值为 2，求实数 a 的值. （）若函数22724)(21xxaxf在区间0，2上的最大值为 9，求实数 a 的值. （）设关于x的方程bbxx(0241R） ，（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页高一数学对数与对数函数复习题一、选择题1若 3a=2,则 log38-2log36 用 a 的代数式可表示为（）（A）a-2 （B）3a-(1+a)2 （C）5a-2 （D）3a-a2 2.2loga(M-2N)=logaM+logaN,则NM的值为（）（A）41（B）4 （C）1 （D）4 或 1 3已知 x2+y2=1,x0,y0,且 loga(1+x)=m,logayanxlog,11则等于（）（A）m+n （B）m-n （C）21(m+n) （D）21(m-n) 4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5 lg7=0 的两根是 、，则的值是（）（A）lg5lg7（B）lg35（C）35 （D）3515.已知 log7log3(log2x)=0，那么 x21等于（）（A）31（B）321（C）221（D）3316函数 y=lg（112x）的图像关于（）（A）x 轴对称（B）y 轴对称（C）原点对称（D）直线y=x 对称7函数 y=log(2x-1)23x的定义域是（）（A） （32，1）（1，+）（B） （21，1）（1，+）（C） （32，+）（D） （21，+）8函数 y=log21(x2-6x+17)的值域是（）（A）R （B）8，+ （C） （-，-3）（D）3，+ 9函数 y=log21(2x2-3x+1)的递减区间为（）（A） （1，+）（B） （-，43（C） （21，+）（D） （-，2110函数 y=(21)2x+1+2,(x0)的反函数为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页（A）y=-)2(1log)2(21xx（B）)2(1log)2(21xx（C）y=-)252(1log)2(21xx（D）y=-)252(1log)2(21xx11.若 logm9logn9n1 （B） nm1 （C） 0nm1 （D） 0mn1 12.loga132，则 a的取值范围是（）（A） （0，32）（1，+）（B） （32，+）（C） （1 ,32）（D） （0，32）（32，+）13若 1xb,a=logbx,c=logax,则 a,b,c的关系是（）（A）abc （B）acb （C）cba （D）ca0 且 a 1)在 （-1， 0） 上有 g(x)0， 则 f(x)=a1x是（）（A）在（-，0）上的增函数（B）在（-，0）上的减函数（C）在（-，-1）上的增函数（D）在（-，-1）上的减函数18若 0a1,则 M=ab，N=logba,p=ba的大小是（）（A） MNP （B） NMP （C） PMN （D） PNM 19 “等式 log3x2=2 成立”是“等式 log3x=1 成立”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件20已知函数 f(x)=xlg,0af(b)，则（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页（A）ab1 （B）ab0 二、填空题1若 loga2=m,loga3=n,a2m+n= 。2函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域是。3lg25+lg2lg50+(lg2)2= 。4.函数 f(x)=lg(xx12)是（奇、偶）函数。5已知函数f(x)=log0.5 (-x2+4x+5),则 f(3) 与 f （4）的大小关系为。6函数 y=log21(x2-5x+17)的值域为。7函数 y=lg(ax+1)的定义域为（ -，1） ，则 a= 。8.若 函 数 y=lgx2+(k+2)x+45 的 定义 域 为R， 则 k 的取 值 范 围是。9函数 f(x)=xx10110的反函数是。10已知函数 f(x)=(21)x,又定义在（ -1，1）上的奇函数g(x)，当 x0时有 g(x)=f-1（x）,则当 x0 时，g(x)= 。三、解答题1若 f(x)=1+logx3,g(x)=2log2x，试比较 f(x)与 g(x)的大小。2已知函数 f(x)=xxxx10101010。（1）判断 f(x)的单调性；（2）求 f-1(x)。3已知 x 满足不等式 2(log2x）2-7log2x+30,求函数 f(x)=log24log22xx的最大值和最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页4已知函数 f(x2-3)=lg622xx, (1)f(x) 的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性；(3)求 f(x) 的反函数 ; (4)若 f)(x=lgx, 求)3(的值。5设 0 x0且 a 1，比较)1(logxa与)1 (logxa的大小。6已知函数 f(x)=log31822xnxmx的定义域为 R，值域为0，2，求 m,n的值。7已知 x0,y 0,且 x+2y=21,求 g=log 21(8xy+4y2+1)的最小值。8求函数)x|xlg(|x4y2的定义域9已知函数)ax2(logya在0，1上是减函数，求实数a的取值范围10已知)a1x(log)x(fa，求使 f(x)1 的 x 的值的集合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页对数与对数函数参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A B D D C C A C A D 题号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案C A D D C B C B B B 二、填空题112 2.x31x且 x2 由110103xxx解得 1x3且 x2。32 4奇)(),()1lg(11lg)1lg()(222xfxfxxxxxxxfRx且为奇函数。5f(3)0解得-1x5。又u=-x2+4x+5=-(x-2)2+9, 当 x (-1,2)时，y=log0.5(-x2+4x+5)单调递减；当x2,5时，y=log0.5(-x2+4x+5)单调递减， f(3)0 恒成立，则（k+2）2-50,即 k2+4k-10,由此解得 -5-2k0 时，g(x)=log21x, 当 x0, g(-x) =log21(-x),又g(x)是奇函数，g(x)=-log21(-x)(x0) 三、解答题1f (x)-g(x)=logx3x-logx4=logx43x.当 0 xg(x); 当 x=34时，f(x)=g(x); 当 1x34时，f(x)34时，f(x)g(x) 。2（1）f(x)=),(,.,1101102122xxRxxx设，,且 x1x2,f(x1)-f(x2)=) 110)(110()1010(21101101101102121221122222222xxxxxxxx0,(102x10, -1y3, f(x)的定义域为（ 3，+） 。（2）f(x)的定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数。（3）由 y=lg,33xx得 x=110)110(3yy,x3,解得 y0, f-1(x)=)0(110)110(3xxx(4)f)3(=lg3lg3)3(3)3(,33)3(3)3(，解得(3)=6。5axxxaalg)1lg()1(log)1(log- 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页)1(log)1(log,0)1(log)1(log),1lg(, 10)1lg(lg1lg)1lg(22xxaxxxxxaaxaaa即则。6由 y=log31822xnxmx，得 3y=1822xnxmx，即（ 3y-m）x2-8x+3y-n=0.x64,R-4(3y-m)(3y-n) 0，即 32y-(m+n)3y+mn-160。由 02y，得931y，由根与系数的关系得911691mnnm，解得 m=n=5。7由已知 x=21-2y0,410y,由 g=log 21(8xy+4y2+1)=log21(-12y2+4y+1)=log21-12(y-61)2+34,当 y=61,g 的最小值为 log21348解：21x0 x2x21x|x|0 x|x|0 x422x2121x0或函数的定义域是221()210(，9解： a是对数的底数a0 且 a1函数 u2ax是减函数函数)ax2(logya是减函数a1(uloga是增函数 ) 函数的定义域是a2x0ax2定义域是)a2(，函数在区间 0，1上有意义是减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页)a2( 10，2a1a21a1 即1)a1x(loga当 a1 时1a2x1axaa1x0a1x解为 x2a1 当 0a1 时1a2x1axaa1x0a1xa12a1 解为 a1x1 时，x|x2a 1 当 0a1 时， x|a1x1 成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页解析版：【例 1】已知11log)(xmxxfa是奇函数（其中)1, 0 aa，（1）求m的值；（2）讨论)(xf的单调性；（3）求)(xf的反函数)(1xf；（4）当)(xf定义域区间为)2,1 ( a时，)(xf的值域为), 1(，求a的值. 解析（1）011log11log11log)()(222xxmxmxxmxxfxfaaa对定义域内的任意x恒成立，10)1(11122222mxmxxm，当)1(0)(1xxfm时不是奇函数，1m，（2）,11log)(xxxfa定义域为), 1()1,(，求导得exxfalog12)(2，当1a时，)(,0)(xfxf在), 1()1,(与上都是减函数；当10a时，), 1() 1,()(,0)(与在xfxf上都是增函数；（另解）设11)(xxxg，任取111221xxxx或，0)1)(1()(21111)()(2112112212xxxxxxxxxgxg，)()(12xgxg，结论同上；（3）111)1(1111logyyyyyaaaxaxaxxaxxy，)10,0(11)(,0,011aaxaaxfyaxxy且（4）)2, 1 ()(,3,21axfaax在上为减函数，命题等价于1)2(af，即014131log2aaaaa，解得32a. 评析例 1 的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页【例 2】对于函数) 32(log)(221axxxf，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R，求实数 a 的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数 a 的取值范围；（3）若函数在), 1内有意义，求实数a 的取值范围；（4）若函数的定义域为),3()1 ,(，求实数 a 的值；（5）若函数的值域为 1,(，求实数 a 的值；（6）若函数在 1 ,(内为增函数，求实数a 的取值范围 . 解答记2223)(32)(aaxaxxxgu，（1）Rxu对0恒成立，33032minaau，a的取值范围是)3,3(；（2）这是一个较难理解的问题。从“xalog的值域为R” ，这点思考，“u21log的值域为 R”等价于“)(xgu能取遍),0(的一切值”，或理解为“)(xgu的值域包含了区间),0(”)(xgu的值域为),0(),32a命题等价于33032minaaau或，a 的取值范围是),33,(；（3）应注意“在), 1内有意义”与定义域的概念是不同的，命题等价于“), 10)(xxgu对恒成立” ， 应按)(xg的对称轴ax0分类，33121012410)1(12aaaaaaga或或，a的取值范围是)3,2(；（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式0322axx的解集为31|xxx或，3, 121xx是方程0322axx的两根，, 2322121axxaxx即 a 的值为 2；（5）由对数函数性质易知：)(xg的值域为),2，由此学生很容易得2)(xg，但这是不正确的 .因为“2)(xg”与“)(xg的值域为),2”并不等价，后者要求)(xg能取遍),2的一切值（而且不能多取）. )(xg的值域是),32a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页命题等价于123)(2minaaxg；即 a 的值为 1；（6）命题等价于：0) 1 (1 1 ,(0)( 1 ,()(0gaxxxgxg恒成立对为减函数在，即21aa，得 a 的取值范围是)2 , 1. 评析学习函数知识及解决函数问题， 首先是要非常准确理解与掌握函数中的每个概念， 许多函数的概念都有很深刻的内涵，解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同，才能作出准确的解答，并要在学习中不断积累经验 . 【例 3】解答下述问题：（）设集合03log21log2|8221xxxA，若当Ax时，函数4log2log)(22xxxfa的最大值为 2，求实数 a 的值. 解析3log21| 03log7log2|2222xxxxxA 82|xx而axaxxaxxf2log)2(log)2)(log(log)(22222，令321,82,log2txtx，atattgxf2)2()()(2，其对称轴22at，当4722at，即12)3()(23maxagtga时，适合；当6132)21()( ,23,4722maxagtgaat时即，适合；综上，6131或a. （）若函数22724)(21xxaxf在区间0，2上的最大值为 9，求实数 a 的值. 解析2272221)(2xxaxf，令41,20,2txtx，),41 (2227)(2122721)()(222taatatttgxf抛物线)(tg的对称轴为at，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页当2584394243)4()( ,25maxaagxfa时，不合；当25a时，5914)1()(maxaagxf，适合；综上，5a（）设关于x的方程bbxx(0241R） ，（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解. 解析（1）原方程为124xxb，11) 12(22)2(24221xxxxx，), 1b当时方程有实数解；（2）当1b时，12x，方程有唯一解0 x；当1b时，bbxx1121)12(2. bbxx112,011 ,02的解为)11 (log2bx；令,0111011bbbbbx112,01时当的解为)11(log2bx；综合、，得1）当01b时原方程有两解：)11 (log2bx；2）当10bb或时，原方程有唯一解)11(log2bx；3）当1b时，原方程无解 . 评析例 3 是一组具有一些综合性的指数、 对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点， 题型非常广泛， 应通过解题学习不断积累经验. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页