2022年高三数学大一轮复习离散型随机变量的均值与方差学案理新人教A版 .pdf

优秀学习资料欢迎下载学案 68 离散型随机变量的均值与方差导学目标 ： 1. 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念 .2. 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题自主梳理1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为X x1x2xixnP p1p2pipn(1) 均值称E(X) _ 为 随 机 变 量X的 均 值 或_，它反映了离散型随机变量取值的_(2) 方差称D(X) _为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X) 的_，其 _为随机变量X的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb) _. (2)D(aXb) _.(a，b为实数 ) 3两点分布与二项分布的均值、方差(1) 若X服从两点分布，则E(X) _，D(X) _. (2) 若XB(n，p) ，则E(X) _，D(X) _. 自我检测1若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于 ( ) X 012345 P 2x 3x 7x 2x 3x xA.118B.19C.209D.9202(2011菏泽调研) 已知随机变量X服从二项分布，且E(X) 2.4 ，D(X) 1.44 ，则二项分布的参数n，p的值为 ( ) An4，p 0.6 B n6，p 0.4 Cn8，p 0.3 D n24，p0.1 3(2010全国 ) 某种种子每粒发芽的概率都为0.9 ，现播种了1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2 粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( ) A100 B 200 C300 D400 4(2011浙江 ) 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数若P(X0) 112，则随机变量X的数学期望E(X) _. 5(2011杭州月考) 随机变量 的分布列如下：101 P a b c其中a，b，c成等差数列若E( ) 13，则D( ) _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载探究点一离散型随机变量的期望与方差例 1袋中有 20 个大小相同的球，其中记上0 号的有 10 个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球， 表示所取球的标号(1) 求 的分布列、期望和方差；(2) 若 ab，E( ) 1，D( ) 11，试求a，b的值变式迁移 1 编号 1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位， 每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X. (1) 求随机变量X的分布列；(2) 求随机变量X的数学期望和方差探究点二二项分布的期望与方差例 2(2011黄山模拟)A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验每个试验组由4 只小白鼠组成，其中2 只服用A，另 2 只服用B，然后观察疗效若在一个试验组中， 服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多， 就称该试验组为甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B有效的概率为12. (1) 求一个试验组为甲类组的概率；(2) 观察 3 个试验组，用 表示这 3 个试验组中甲类组的个数，求 的分布列和数学期望变式迁移 2 某学生在上学路上要经过4 个路口， 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min. (1) 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2) 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载探究点三离散型随机变量期望与方差的应用例 3购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000 元的赔偿金假定在一年度内有10 000 人购买了这种保险， 且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为14100.999.(1) 求一投保人在一年度内出险的概率p；(2) 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费( 单位：元 ) 变式迁移 3 因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案， 每种方案都需分两年实施若实施方案一， 预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、 0.9 倍、 0.8 倍的概率分别是0.3 、0.3 、0.4 ；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是0.5 、0.5. 若实施方案二， 预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2 倍、 1.0 倍、 0.8 倍的概率分别是0.2 、 0.3 、0.5 ；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2 倍、 1.0 倍的概率分别是0.4 、0.6. 实施每种方案第一年与第二年相互独立，令 i(i1,2) 表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数(1) 写出 1、 2的分布列；(2) 实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？(3) 不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10 万元、 15 万元、 20 万元问实施哪种方案的平均利润更大？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载1若 ab，则E() aE( ) b，D( ) a2D( ) 2若 B(n，p) ，则E( ) np，D( ) np(1 p) 3求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有：(1) 已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式 ) 求解； (2) 已知随机变量 的期望、方差，求 的线性函数ab的期望、方差和标准差，可直接用 的期望、方差的性质求解； (3) 如能分析所给随机变量，是服从常用的分布( 如两点分布、二项分布等) ，可直接利用它们的期望、方差公式求解( 满分： 75 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 25 分) 1(2011福州质检) 已知某一随机变量 的概率分布列如下，且E( ) 6.3 ，则a的值为 ( ) 4a 9 P 0.50.1bA.5 B 6 C7 D8 2设 B(n，p) ，若有E( ) 12，D( ) 4，则n、p的值分别为 ( ) A18，23B 16，12C20，16D15，143随机变量X的分布列为X 124 P 0.40.30.3 则E(5X4) 等于 ( ) A15 B 11 C2.2 D2.3 4设掷 1 枚骰子的点数为，则 ( ) AE( ) 3.5 ，D( ) 3.52BE( ) 3.5 ，D( ) 3512CE( ) 3.5 ，D( ) 3.5 DE( ) 3.5 ，D( ) 35165(2011成都调研) 已知抛物线yax2bxc (a0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c 3，2，1,0,1,2,3， 在这些抛物线中，记随机变量 为“|ab| 的取值”，则 的数学期望E() 为( ) A.89B.35C.25D.13二、填空题 ( 每小题 4 分，共 12 分) 6(2011上海 ) 马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布列如下表：x 123 P( x)？！？请小牛同学计算 的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊 ， 但 能 断 定 这 两 个 “ ？ ” 处 的 数 值 相 同 据 此 ， 小 牛 给 出 了 正 确 答 案E( ) _. 7(2011泰安模拟) 设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4.P(Xk) akb(k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载1,2,3,4)又X的均值E(X) 3，则ab_. 8 两封信随机投入A、B、C三个空邮箱， 则A邮箱的信件数X的数学期望E(X) _. 三、解答题 ( 共 38 分) 9(12 分)(2011 江西 ) 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8 杯，其颜色完全相同，并且其中4 杯为A饮料，另外 4 杯为B饮料， 公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯饮料中选出4杯A饮料 若 4杯都选对，则月工资定为3 500 元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为2 800 元；否则月工资定为2 100 元令X表示此人选对A饮料的杯数假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力(1) 求X的分布列；(2) 求此员工月工资的期望10(12 分)(2011 山东 ) 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C 进行围棋比赛，甲对 A、乙对 B、丙对 C各一盘已知甲胜A、乙胜 B、丙胜 C的概率分别为0.6,0.5，0.5. 假设各盘比赛结果相互独立(1) 求红队至少两名队员获胜的概率；(2) 用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望E( )11(14 分) 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2 万元、1.18 万元、 1.17 万元的概率分别为16、12、13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0p1)设乙项目产品价格在一年内进行2 次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为，对乙项目投资十万元， 取 0、1、2时，一年后相应利润是1.3 万元、 1.25 万元、 0.2 万元随机变量1、2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润(1) 求 1、2的概率分布和数学期望E( 1) 、E( 2) ；(2) 当E( 1)E( 2) 时，求p的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载学案 68 离散型随机变量的均值与方差自主梳理1 (1)x1p1x2p2xipixnpn数学期望平均水平(2) ni 1 (xiE(X)2pi平均偏离程度算术平方根DX2.(1)aE(X) b(2)a2D(X) 3(1)pp(1 p) (2)npnp(1p) 自我检测1C 2.B 3.B 4.53解析由题意知P(X0)13(1 p)2112，p12. 随机变量X的分布列为：X 0123 P 1121351216E(X) 0112113251231653. 5.59课堂活动区例 1解题导引要求期望，需先求出分布列，要求分布列，需先求随机变量取每个值的概率，而求概率离不开常见事件概率的计算方法第(2) 小题注意性质E(a b) aE( ) b，D(a b) a2D( ) 的应用解(1) 的分布列为01234 P 1212011032015E( ) 0121120211033204151.5. D( ) (0 1.5)212 (1 1.5)2120 (2 1.5)2110 (3 1.5)2320 (4 1.5)2152.75. (2) 由D( ) a2D( ) ，得a22.75 11，即a2.又E() aE( ) b，所以当a2 时，由 121.5 b，得b 2；当a 2 时，由 121.5 b，得b4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载a2，b 2或a 2，b4变式迁移 1 解(1)P(X0) 2A3313；P(X1) C13A3312；P(X3) 1A3316. 随机变量X的分布列为X 013 P 131216(2)E(X) 0131123161. D(X) (1 0)213 (1 1)212(3 1)2161. 例 2解题导引(1) 准确理解事件“甲类组”的含义，把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示；(2) 第(2) 小题首先判断随机变量 服从二项分布，再求其分布列和均值解(1) 设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i 0,1,2 ，Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i0,1,2. 依题意有P(A1) 2132349，P(A2) 232349. P(B0) 121214，P(B1) 2121212. 所求的概率为PP(B0A1) P(B0A2) P(B1A2) 14491449124949. (2) 的可能值为0,1,2,3，且 B3，49. P( 0) 593125729，P( 1) C1349592100243，P( 2) C234925980243，P( 3) 49364729. 的分布列为0123 P 1257291002438024364729数学期望E( )0125729110024328024336472943. 变式迁移2 解(1) 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A. 因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A) 113 11313427. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载(2) 由题意可得， 的可能取值为0,2,4,6,8(单位： min) 事件“ 2k”等价于事件“该学生在上学路上遇到k次红灯”(k0,1,2,3,4)，所以P(2k)Ck413k234k (k0,1,2,3,4)即 的分布列是02468 P 16813281827881181所以 的期望是E( )016812328148276881818183. 例 3解题导引各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，投保人中出险人数 B(104，p) ，进而利用二项分布的有关性质求解解各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000 人中出险的人数为 ，则 B(104，p) (1) 记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000 元赔偿金，则A发生当且仅当0，P(A) 1P(A) 1P( 0) 1(1 p)104，又P(A) 10.999104，故p0.001. (2) 该险种总收入为10 000a元， 支出是赔偿金总额与成本的和支出 10 00050 000. 盈利 10 000a (10 000 50 000) ，盈利的期望为E( ) 10 000a10 000E( ) 50 000 ，由 B(104,103) 知，E() 10 000103，E( ) 104a104E( ) 5104104a10410410 35104. E( ) 0? 104a1041051040?a10 50 ?a 15( 元 ) 故每位投保人应交纳的最低保费为15 元变式迁移 3 解(1) 1的所有取值为0.8 、0.9 、1.0 、1.125 、1.25 ，2的所有取值为0.8 、0.96 、 1.0 、 1.2 、1.44. 1、2的分布列分别为：10.80.91.01.1251.25 P 0.20.150.350.150.15 20.80.961.01.21.44 P 0.30.20.180.240.08 (2) 令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，P(A) 0.15 0.15 0.3 ，P(B) 0.24 0.08 0.32. 可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大(3) 令 表示方案i的预计利润，则1101520 P 0.350.350.3 2101520 P 0.50.180.32 所以E( 1) 14.75 ，E( 2) 14.1 ，可见，方案一的预计利润更大课后练习区精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载1C 由分布列性质知：0.5 0.1 b1，b0.4. E( ) 40.5 a0.1 90.4 6.3. a7. 2A E( ) np12，D( ) np(1 p) 4. 1p41213，p23，n18. 3A E(X)10.4 20.3 40.3 2.2 ，E(5X4) 5E(X) 411 415. 4B E( ) 1162163164165166163.5 ，D( ) 16(1 3.5)2(2 3.5)2(3 3.5)2 (4 3.5)2(5 3.5)2(6 3.5)2 3512. 5 A 对称轴在y轴的左侧 (a与b同号 ) 的抛物线有2C13C13C17126 条， 的可取值有0、1、2，P( 0) 6712613，P( 1) 8712649，P( 2)4712629，E( )01314922989. 62 解析设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为12x，则E( )1x2(1 2x) 3xx24x3x2. 7.110解析离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4. P(Xk) akb (k 1,2,3,4)，所以(ab) (2ab) (3ab) (4ab) 1，即 10a4b1，又X的均值E(X) 3， 则(ab) 2(2ab) 3(3ab) 4(4ab) 3， 即 30a10b 3，a110，b0，ab110. 8.23解析由题意知XB2，13，E(X) 21323. 9解(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4.(2分) P(Xi) Ci4C4i4C48(i0,1,2,3,4)(4 分) 即X 01234 P 1708351835835170(6 分) (2) 令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100 ，2 800,3 500.(8分) 则P(Y3 500) P(X4)170，P(Y2 800) P(X3) 835，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载P(Y2 100) P(X2)5370. E(Y) 3 5001702 8008352 10053702 280.(10分 ) 所以此员工月工资的期望为2 280 元 (12 分) 10解(1) 设甲胜 A的事件为D，乙胜 B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D，E，F分别表示甲不胜A，乙不胜B ，丙不胜C的事件因为P(D) 0.6 ，P(E) 0.5 ，P(F) 0.5 ，由对立事件的概率公式知P(D) 0.4 ，P(E) 0.5 ，P(F) 0.5.(2分) 红队至少两人获胜的事件有：DEF，D E F，DEF，DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，(4 分) 因此红队至少两人获胜的概率为PP(DEF) P(DE F) P(D EF) P(DEF) 0.6 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5 0.4 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5 0.55.(6分) (2) 由题意知 可能的取值为0,1,2,3.(8分) 又由 (1) 知D E F，D E F，D E F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，(9分) 因此P( 0)P(DEF) 0.4 0.5 0.5 0.1 ，P( 1) P(DE F) P(D E F) P(D EF) 0.4 0.5 0.5 0.4 0.5 0.5 0.6 0.5 0.50.35 ，P( 3) P(DEF) 0.6 0.5 0.5 0.15. 由对立事件的概率公式得P( 2) 1P( 0)P( 1) P( 3) 0.4.(11分) 所以 的分布列为：0123 P 0.10.350.40.15 因此E( ) 00.1 10.3520.4 30.151.6.(12分) 11解(1) 1的概率分布为11.21.181.17 P 161213E( 1) 1.2 161.18121.17131.18. (3 分) 由题设得 B(2 ，p) ，即 的概率分布为012 P (1 p)22p(1 p)p2(5 分) 故 2的概率分布为21.31.250.2 P (1 p)22p(1p)p2所以 2的数学期望是E( 2) 1.3 (1p)21.252p(1p) 0.2 p21.3 (12pp2) 2.5 (pp2) 0.2 p2p20.1p1.3.(8分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载(2) 由E( 1)1.18 ，整理得 (p0.4)(p0.3)0 ，解得 0.4p0.3. 因为 0p1，所以，当E(1)E( 2) 时，p的取值范围是0p0.3.(14分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页