2022年高三数学知识点精析精练函数方程不等式 .pdf

知识点大全2014 高三数学知识点精析精练29：函数、方程、不等式函数是高中数学的重要内容，也是历年高考所占比例最大的的一部分内容。对函数内容的考查一般都高于大纲的要求，高考试题中对函数内容的考查主要集中在函数的概念、性质，函数图象的变换等方面，并注意与方程、不等式、数列等内容相联系，进行综合考查，在考查中突出函数的思想、数形结合的思想。特别需注意的是在复习中必须加强对二次函数的再学习，再认识，从新的角度研究二次函数，加深对二次函数的理解和掌握。方程可看作函数值为零时的函数的解析式，而不等式则是函数的图象位于x 轴上方的情形。 在解决方程、 不等式的有关问题时，可以从函数的角度去思考、分析和解决；在解决函数的有关问题时，可以借助方程、不等式的有关知识去理解和解决。这是解决这类问题的一个重要的策略。一、对函数、方程、不等式的基本问题要熟练掌握象函数有关的概念、基本性质、函数的图象及解不等式等问题都是基本问题，在高考试题中一般都是中、低档题目，所以必须提高解决这类问题的准确性和熟练性。【例 1】（99 年全国）已知映射f:AB,其中集合A=3， 2， 1，1，2，3， 4，集合 B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的aA，在 B 中和它对应的元素是 | a| ，则集合B 中元素的个数是（）A.4 B.5 C.6 D.7 分析：解决此题的关键有两个，一是要熟悉映射的定义，二是准确理解题意。根据映射的定义，可知对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应；而根据题意，集合B 是集合 A 的象集，由对应法则，不难得出集合B=1，2，3， 4，故应选 A。【例 2】（99 年全国）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab0，则 g(b)等于A.aB.a1 C.b D.b1 分析：此题主要考查反函数的概念。g(b)是函数y=f(x)当函数值为b 时的自变量的值，所以 g(b)= a，故选 A。【例 3】(2001 年全国春季 )设函数f(x)=(0)xaabxb，求 f(x)的单调区间，并证明 f(x)在其单调区间上的单调性。分析：解决有关概念问题，一般都可以从它的定义开始。这个函数的单调区间既可以利用图象来求，也可以利用定义域结合特殊值的方法来求；证明也有两种方法，一是利用单调性的定义，二是利用函数的导数证明。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页知识点大全解法 1：函数 f(x)=(0)xaabxb的定义域为 （， b）(b,+)。函数 f(x)在（， b）上是减函数，在( b,+)上也是减函数。取 x1,x2(b,+)，且 x10,x2x10,(x1+b)(x2+b)0. f(x1)f(x2)0,即 f(x)在(b,+)上是减函数。同理可证f(x)在（，b）上也是减函数。解法 2：f/(x)=22()()()()xbxabaxbxb,显然，当 x b 时， f/(x)0 恒成立，试求a 的取值范围。分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用。当a=12时，f(x)=112222222xxxx，当且仅当12,22xxx即时等号成立，而212，也就是说这个最小值是取不到的。解： (1)当 a=12时， f(x)=122xx，这时 f/(x)=1212x,当 x1,时， f/(x)0,说明函数 f(x)为增函数，所以当x=1 时，取到最小值f(1)=3.5. (2)解法 1：f(x)0 恒成立，就是x2+2x+a0 恒成立，而函数g(x)=x2+2x+a 在1,上增函数，所以当x=1 时， g(x)取到最小值3+a，故 3+a0，得： a3。解法 2：f(x)0恒成立，就是x2+2x+a0 恒成立，即 a x2 2x 恒成立，这只要a 大于函数 x22x 的最大值即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页知识点大全而函数 x22x 在1,上为减函数，当 x=1 时，函数 x22x 取到最大值 3，所以 a3。函数、方程不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题。二、对函数、方程、不等式之间的联系要能灵活运用【例 5】（97 年全国）不等式组032|32xxxxx的解集是Ax|0 x2 Bx|0 x2.5 Cx|0 x6 Dx|0 x2 时，有 f（x）0，于是有a0，故 b0. 三、对二次函数的理解和掌握要更加深刻二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式： y=ax2+bx+c （2）顶点式： y=a(xm)2+n,其中 (m,n)是抛物线的顶点。（3）两根式： y=a(xx1)(xx2)，其中 x1、x2是方程 ax2+bx+c=0 的两根。【例 7】已知二次函数y= ax2+bx+c。（1）对于 x1,x2R,且 x1 x2，f(x1)f(x2),求证：方程f(x)= 12f(x1)+f(x2)有两个不相等的实根，且只有一个根属于(x1,x2)；（2）若方程f(x)= 12f(x1)+f(x2)在(x1,x2)内的根为m，且 x1,m12,x2成等差数列，设 x=x0是 f(x)的对称轴方程，求证：x00(x1x2). 设 g(x)= f(x)12f(x1)+f(x2),则因为 g(x1)g(x2)= f(x1)12f(x1)+f(x2) f(x2)12f(x1)+f(x2) =14f(x1) f(x2)20(f(x1)f(x2),所以在 (x1,x2)上必有一个实根。（2）因为 x1,m12,x2成等差数列，所以x1+x2=2m1. 由 2f(m)= f(x1)+f(x2),得： a(2m2x12x22)+b(2mx1x2)=0,将上式代入，得：b=a(2m2x12x22),所以 x0=222222212122222mxxxxbmma. 【例 8】已知函数229( )334(0)4f xxxbb在区间 b， 1 b上的最大值为25，求 b 的值 . 解: 由已知二次函数配方, 得221( )3()43.2f xxb（1）当1131,222bbb即时，( )f x 的最大值为4b2+3=25. 22513422bb与矛盾（2）当12b ，即102b时，( ),1f xbb在上递增，23()()25;2fbb（3）当112b 时，即32b时，( ),1f xbb在上递增，2155(1)9625,42fbbb解得. 四、注意数学思想的运用在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合 , 分类与讨论 , 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中. 【例 9】设 函 数24( )4 ,( )13f xaxx g xx， 已 知 4,0 x， 时 恒 有( )( )f xg x ，求 a 的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页知识点大全解: 由( )( )f xg x得224441,:4 ,:1,33xxxaCyxxLyxa令, 从而只要求直线L 不在半圆C下方时 , 直线 L 的 y 截距的最小值. 当直线与半圆相切时，易求得55(3aa舍去） . 故5, ( )( )af xg x . 注：本例的求解的关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中 , 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性. 还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升 , 还请三思而后行. 【例 10】 已知不等式11112log (1)122123aannn对于大于1 的正整数n 恒成立，试确定a 的取值范围 . 解: 构造函数111( )122f nnnn，易证( )f n 为增函数 . n 是大于 1 的 正整数，7( )(2).12f nf要使11112log (1)122123aannn对一切大于1 的正整数恒成立，必须127log (1)12312aa, 即15log (1)1,1.2aaa解得【例 11】 已知( )(1).1xf xxx(1)( )f x求的单调区间；（2）证明茶房任意0,()( )( ).xyf xyf xf y有（3）若10,()abcab b；求证：3( )( )4f af c解: （1）对已知函数进行降次分项变形,得1( )11f xx, .), 1() 1,()(上分别单调递增和在区间xf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页知识点大全（2）( )( )()1111xyxyxyxyxyxyf xfyf xyxyxyxyxyxyxy而,(1)(),xyxyxyfxyxyf xy由知)()()(yxfyfxf（3）221140,()()2cabbab ba243.22aaaca3( )( )()(3)4f af cf acf. 注：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值. 【例 12】 已知函数 f(x)=xxaaa（a， a(1) 证明函数f(x)的图象关于点P1 1,2 2(2) 令 an( )(1)af nfn， 对一切自然数n， 先猜想使an成立的最小自然数a,(3) 求证：1(1)lg 3(lg!)(4n nnn ). 解： (1)关于函数的图象关于定点P 对称 , 可采用解几中的坐标证法. 设 M(x,y)是 f(x)图象上任一点，则M 关于 P1 1,2 2的对称点为M （ x， yyxfaaaaaayaaaaaaaaaaxxxxxxx1)1(1111(1 x,1y)亦在 f(x)的图象上，故函数 f(x)的图象关于点P1 1,2 2对称 .(2)将 f(n)、 f(1n)的表达式代入an的表达式，化简可得anna猜 a=3, 即23nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页知识点大全设 n=k(k )时，23kk那么 n=k+1，1233 33kkk又2213312022kkk23nn(3)23kklg3 lg令 k=1,2,， n，得 n 个同向不等式，并相加得：(1)lg32lg(12),2(1)lg 3lg( !).4n nnnnn故函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一个重点【例 13】 已知二次函数2( )1( ,0)f xaxbxa bR a，设方程( )f xx 的两个实根为x1和 x2.； （1）如果1224xx，若函数( )f x 的对称轴为x=x0，求证： x0 1；（2）如果121| 2,| 2xxx，求 b 的取值范围 . 解:（1）设2( )( )(1)10g xf xxaxbxa且，由1224xx得(2)0,(4)0gg且, 即42103131142 .42 ,1643042428ababaaaaab由得3121824baaa，故01111248bxa；（2）由1210 xxa知12,xx同号 . 若102x，则21212,22,(2)4210 xxxxgab. 又222212(1)4|421(1)1(0bxxabaaa得，负根舍去）代入上式得22 (1)132bb，解得14b；若, 0)2(, 22,02121gxxx则即 4a2b+30. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页知识点大全同理可求得7.4b. 故当102x，1,4b当120 x时，7.4b【例 14】 对于函数( )f x，若存在000,()xRf xx使成立，则称0 x为( )f x的不动点。如果函数2( )( ,)xaf xb cNbxc有且只有两个不动点0，2，且1( 2),2f（1）求函数( )f x的解析式；（2）已知各项不为零的数列na满足14()1nnSfa，求数列通项na；（3）如果数列na满足114,nnaafa，求证：当2n时，恒有3na成立 . 解:依题意有2xaxbxc,化简为2(1)0,b xcxa由韦达定理 , 得20,12 0,1cbab，解得0,12acb代入表达式2( )(1)2xf xcxc，由21( 2),12fc得3,0,1,ccN bNcb又若则( )0f xx x不止有两个不动点，).1( ,) 1(2)(,2,22xxxxfbc故（2）由题设得221()41: 2,12(1)nnnnnnaSSaaa得（*）且21111,1: 2nnnnannSaa以代 得（* ）由（ * ）与（ * ）两式相减得：2211112()(),()(1)0,nnnnnnnnnaaaaaaaaa即,2:(*)1, 1211111aaanaaaannnn得代入以或解 得10a（ 舍 去 ） 或11a， 由11a， 若121,nnaaa得这 与1na矛 盾 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页知识点大全11nnaa，即na是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列，nan；（3）采用反证法，假设3(2),nan则由（ 1）知21()22nnnnaaf aa1111113(1)(1)1,(2,)2(1)21224nnnnnnnaaaannNaaa即,有12nnaaa，而当2n时，21211683;3,22823naaaa这与假设矛盾，故假设不成立，3na. 证法 2：由2211111111(),2()22222nnnnnnnaaf aaaaa得得1nat；（ 3）试求满足f(t)=t 的整数 t 的个数，并说明理由. 解 （1）为求 f(1)的值，需令0,(0)1.xyf得令1,( 2)2,( 1)2xyff. 令1,1,(0)(1)( 1),(1)1xyffff即. （ 2）令1,(1)( )2(1)( )2xf yf yyf yf yy即() 0)()1(,yfyfNy有时当. 由(1)( )f yf y ，(1)1f可知，对一切正整数y 都有( )0f y, 111)(2)()1(,yyyfyyfyfNy时当, 于是对于一切大于1 的正整数t，恒有 f(t)t. （ 3）由及（ 1）可知( 3)1, ( 4)1ff. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页知识点大全下面证明当整数4t时，( )f tt4,(2)20,tt由 ()得( )(1)(2)0,f tf tt即( 5)( 4)0,( 6)( 5)0,ffff同理，.0)1()(,0)2()1(tftftftf将诸不等式相加得ttftftf)(,4,41)4()(. 综上，满足条件的整数只有t=1，2. 【例 17】 已知函数 f（x）在（ 1，1）上有定义，1( )12f且满足 x、y（ 1，1）有)1()()(xyyxfyfxf（1）证明： f（x）在（ 1，1）上为奇函数；（2）对数列11221,21nnnxxxx求)(nxf；（3）求证1211125.()()()2nnf xf xf xn解（1）令0,xy则2(0)(0),(0)0fff令,yx 则( )()(0)0,()( )f xfxffxf x 为奇函数 . （ 2）11()()12f xf，122()()()()()2(),11nnnnnnnnnnxxxf xfff xf xf xxxx1()2.()()nnnf xf xf x即是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列1()2.nnf x（3）2112111111(1)()()()222nnf xf xf x1111112(2)22,12212nnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页知识点大全而2511(2)22,222nnnn1211125.()()()2nnf xf xf xn本例将函数、方程、数列、不等式等代数知识集于一题，是考查分析问题和解决问题能力的范例 . 在求解当中，化归出等比（等差）数列是数列问题常用的解题方法. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页