2022年教师用书高中数学1123四种命题四种命题间的相互关系教案新人教a版选修 .pdf

1.1.2 四种命题11.3 四种命题间的相互关系( 教师用书独具) 三维目标1. 知识与技能初步理解原命题、 逆命题、 否命题、 逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假2过程与方法培养学生发现问题、提出问题、 分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力3情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考，勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣重点、难点重点：四种命题之间相互的关系难点：正确区分命题的否定形式及否命题通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣， 然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念， 会写四种命题， 并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点( 教师用书独具) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页教学建议这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此采用以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练宜采取的教学方法： (1) 启发式教学这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律；(2) 讲练结合法这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高学习方法： (1) 由特殊到一般的化归方法：学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括；(2) 讲练结合法：让学生知道数学重生在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想教学流程创设问题情境，给出四个命题，引出问题：四个命题的条件与结论有何区别与联系？?引导学生观察、比较、分析，得出四种命题的概念与他们之间的相互关系.?通过引导学生回答所提问题，层层深入地得出四种命题真假的关系.?通过例 1及其变式训练，使学生掌握四种命题的概念及相互转化.?通过例 2及其互动探究，使学生掌握四种命题真假的判断方法.?错误 !? 错误 ! ? 错误 !( 对应学生用书第4 页) 课标解读1. 了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题 ( 重点 ) 2认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系( 难点 ) 3利用命题真假的等价性解决简单问题( 难点，易错点) 四种命题的概念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页【问题导思】给出以下四个命题：(1) 对顶角相等；(2) 相等的两个角是对顶角；(3) 不是对顶角的两个角不相等；(4) 不相等的两个角不是对顶角；1你能说出命题(1) 与(2) 的条件与结论有什么关系吗？【提示】它们的条件和结论恰好互换了2命题 (1) 与 (3) 的条件与结论有什么关系？命题(1) 与(4) 呢？【提示】命题 (1) 的条件与结论恰好是命题(3) 条件的否定和结论的否定命题(1) 的条件和结论恰好是命题(4) 结论的否定和条件的否定一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把两个命题叫做互否命题如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题四种命题的关系【问题导思】1 为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题该如何表示？【提示】逆命题：若q，则p. 否命题：若綈p，则綈q. 逆否命题：若綈q，则綈p. 2原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？【提示】互逆、互否、互为逆否四种命题的相互关系四种命题的真假关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页【问题导思】1知识 1 的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的？【提示】(1) 真命题， (2) 假命题， (3) 假命题， (4) 真命题2如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的逆否命题呢？【提示】原命题为真，其逆命题不一定为真，但其逆否命题一定为真1在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中， 一定与原命题真假性相同的是逆否命题2两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系. ( 对应学生用书第5 页) 四种命题的概念把下列命题改写成“若p，则q”的形式， 并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题(1) 全等三角形的对应边相等；(2) 当x2 时，x2 3x2 0. 【思路探究】(1) 原命题的条件与结论分别是什么？(2) 把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？【自主解答】(1) 原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等(2) 原命题：若x2，则x23x 20，逆命题：若x23x20，则x 2，否命题：若x2，则x23x20，逆否命题：若x23x20，则x2.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页1给出一个命题，写出该命题的其他三种命题时，首先考虑弄清所给命题的条件与结论，若给出的命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式2把原命题的结论作为条件，条件作为结论就得到逆命题；否定条件作为条件，否定结论作为结论便得到否命题；否命题的逆命题就是原命题的逆否命题分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题(1) 负数的平方是正数；(2) 若ab，则ac2bc2. 【解】(1) 原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数(2) 逆命题：若ac2bc2，则ab；否命题：若ab，则ac2bc2；逆否命题：若ac2bc2，则ab. 四种命题真假的判断写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假(1) 菱形的对角线互相垂直；(2) 等高的两个三角形是全等三角形；(3) 弦的垂直平分线平分弦所对的弧【思路探究】确定条件与结论 写出三种命题 判断真假【自主解答】(1) 逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形， 是假命题否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题(2) 逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题(3) 逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题逆否命题： 若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页1本例题目中命题的条件和结论不明显，为了不出错误， 可以先改写成“若p，则q”的形式，再写另外三种命题，进而判断真假2要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间的相互关系；其次，正确利用相关知识进行判断推理若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真； 确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明3互为逆否命题等价当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假来判断下列命题中正确的是( ) “若x2y20，则x，y不全为零”的否命题；“正三角形都相似”的逆命题；“若m0，则x2xm 0 有实根”的逆否命题A BCD【解析】原命题的否命题为“若x2y20，则x，y全为零”真命题原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”假命题原命题的逆否命题为“若x2xm0 无实根，则m0”方程x2xm0 无实根，判别式14m0，m14. 故m0，为真命题故正确的命题是，选B. 【答案】B 等价命题的应用若a2b2c2，求证：a，b，c不可能都是奇数【思路探究】(1)a，b，c不可能都是奇数包含几种情况？(2) 它的反面是什么？能否考虑证它的逆否命题？【自主解答】若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，所以a2b2为偶数，而c2为奇数， 即a2b2c2. 即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真， 所以若a2b2c2，则a、b、c不可能都是奇数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页1因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情况，而其否定只有一种情况，即“a、b、c都是奇数，”故应选择证明它的逆否命题为真命题，以使问题简单化2当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略3四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220 的解集是空集，则a2”，判断其逆否命题的真假【解】a，xR，且x2(2a1)xa220 的解集是空集(2a1)24(a22) 0，则 4a70，解得a74. 因此a2，原命题是真命题又互为逆否命题的命题等价，故逆否命题是真命题. ( 对应学生用书第6 页) 因否定错误致误写出命题“若x2y2 0，则x，y全为零”的逆命题、否命题，并判断它们的真假【错解】逆命题：若x，y全为零，则x2y20，是真命题；否命题：若x2y20，则x，y全不为零，是假命题【错因分析】本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误对“x，y全为零”的否定，应为“x，y不全为零”，而不是“x，y全不为零”【防范措施】要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论， 否定时一定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页要注意一些词语，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等【正解】逆命题：若x，y全为零，则x2y20，是真命题；否命题：若x2y20，则x，y不全为零，是真命题1写出四种命题的方法：(1) 交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3) 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题2四种命题的真假关系：若原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，它的逆否命题一定为真；互为逆否命题的两个命题的真假性相同因此， 若一个命题的真假不易判断时，我们可借助它的逆否命题进行判断 . ( 对应学生用书第7 页) 1(2013 福州高二检测) 已知a，bR，命题“若ab1，则a2b212”的否命题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页是( ) A若a2b212，则ab1B若ab1，则a2b212C若ab1，则a2b212D若a2b212，则ab1 【解析】“ab1”，“a2b212”的否定分别是“ab1”， “a2b212”， 故否命题为：“若ab1，则a2b212”【答案】C 2命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的 ( ) A逆命题B否命题C逆否命题D无关命题【解析】从两种命题的形式来看是条件与结论换位，因此为逆命题【答案】A 3命题“当x2 时，x2x60”的逆否命题是_【解析】原命题结论的否定作条件，条件的否定作结论，写出逆否命题即可【答案】当x2x60 时，x2.4写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假(1) 若mn0，则方程mx2xn 0 有实数根；(2) 若ab0，则a0 或b0. 【解】(1) 逆命题：若方程mx2xn0 有实数根，则mn 0. 假命题；否命题：若mn0，则方程mx2xn0 没有实数根假命题；逆否命题：若方程mx2xn0 没有实数根，则mn0. 真命题(2) 逆命题：若a0 或b0，则ab 0. 真命题；否命题：若ab0，则a0 且b0. 真命题；逆否命题：若a0 且b0，则ab0. 真命题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页一、选择题1命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是( ) A若p，则綈qB若q，则綈pC若綈q，则pD若綈q，则綈p【解析】若“綈p，则q”的逆否命题是“若綈q，则p”，又互为逆否命题真假性相同“若綈q，则p”一定是真命题【答案】C 2若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是 ( ) A互逆命题B互否命题C互为逆否命题D以上都不正确【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题【答案】A 3(2013台州高二检测) 已知命题p：若a0，则方程ax22x0 有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( ) A3 B 2 C1 D0 【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题故选B. 【答案】B 4(2013大庆高二检测) 下列判断中不正确的是( ) A命题“若ABB，则ABA”的逆否命题为真命题B“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题C“已知a，b，mR，若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题D“若x N*，则 (x1)20”是假命题【解析】若ABB，则有B?A，从而有ABA，A正确；B中的逆否命题：“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题B正确C中的逆命题为： “已知a，b，mR，若ab，则am2bm2为假命题，故C不正确D中x 1 时， (x1)20显然是假命题故D正确【答案】C 5下列命题中，不是真命题的为( ) A“若b24ac0，则关于x的一元二次方程ax2bxc 0(a0)有实根”的逆否命精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页题B“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C“若x29，则x3”的否命题D“对顶角相等”的逆命题【解析】A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C 中命题的否命题为“若x29，则x3”为真命题；D中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题【答案】D 二、填空题6命题“若ABB，则A?B”的否命题是 _【答案】若ABB，则A?B. 7已知命题“若m1xm1，则 1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是_【解析】由已知得，若1x2 成立，则m1xm 1 也成立m11m12，1m2.【答案】1,2 8(2013菏泽高二检测) 给定下列命题：若a0，则方程ax22x0 有解“等腰三角形都相似”的逆命题；“若x32是有理数，则x是无理数”的逆否命题；“若a1 且b1，则ab2”的否命题其中真命题的序号是_【解析】显然为真，为假对于中，原命题“若x32是有理数，则x是无理数”为假命题，逆否命题为假命题对于中，“若a1 且b1， 则ab2”的否命题是“若a1 或b1， 则ab2”为假命题【答案】三、解答题9设原命题是“当c0 时，若ab，则acbc”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假【解】原命题是真命题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页逆命题是“当c0 时，若acbc，则ab”，是真命题否命题是“当c0 时，若ab，则acbc”，是真命题逆否命题是“当c 0 时，若acbc，则ab”，是真命题10已知命题p：“若ac0，则二次方程ax2bxc0 没有实根”(1) 写出命题p的否命题；(2) 判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论【解】(1) 命题p的否命题为：“若ac0，则二次方程ax2bxc0 有实根”(2) 命题p的否命题是真命题，证明如下：ac0，ac0?b24ac0? 二次方程ax2bxc0 有实根该命题是真命题11已知奇函数f(x) 是定义域为R 的增函数，a，bR，若f(a) f(b) 0，求证：ab0.【证明】假设ab0，则ab. f(x) 在 R上是增函数f(a) f( b) ，又f(x) 为奇函数f( b) f(b) ，f(a) f(b) 即f(a) f(b) 0. 原命题的逆否命题为真，故原命题为真.( 教师用书独具) 判断命题“若m0，则方程x22x3m 0 有实数根”的逆否命题的真假【解】m0， 12m0， 12m 40. 方程x22x3m0 的判别式2241( 3m) 412m0，原命题“若m0，则方程x22x3m 0 有实数根”为真又原命题与它的逆否命题等价，“若m0，则方程x22x3m0 有实数根”的逆否命题为真精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页已知adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.【证明】设a2b2c2d2abcd1，则 2a2 2b22c22d22ab2bc2cd2ad2bc2ad2，即(ab)2 (bc)2 (cd)2(ad)22ad2bc2，若(ab)2 (bc)2 (cd)2(ad)20，则abcd0，于是adbc1；若(ab)2 (bc)2 (cd)2(ad)20，则(ab)2 (bc)2 (cd)2(ad)2为正数，所以必有adbc1. 综上，命题“若a2b2c2d2abcd1，则adbc1”成立，由原命题与它的逆否命题等价，知原命题也成立，从而原命题得证. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页