2022年高考数学总复习-函数的基本性质知识梳理教案 .pdf

学习必备欢迎下载函数的基本性质（基础）【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大 ( 小) 值及其几何意义；结合具体函数， 了解函数奇偶性的含义3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质【知识网络】【考点梳理】1单调性（1）一般地，设函数( )f x的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12xx时，若都有12()()f xf x，那么就说函数在区间D上单调递增，若都有12()()f xfx，那么就说函数在区间D上单调递减。（2）如果函数( )yf x在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数( )yf x在这一区间具有严格的单调性，区间D叫做( )yfx的单调区间。（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像定义法用 定 义 法 证 明 函 数 的 单 调 性 的 一 般 步 骤 是 设Dxx21,， 且12xx； 作 差)()(21xfxf；变形 （合并同类项、 通分、 分解因式、 配方等） 判断)()(21xfxf的正负符号；根据定义下结论。复合函数分析法设( )yf u，( )ug x , xa b，, um n都是单调函数，则 ( )yf g x在 , a b上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数， “里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：函数的基本性质奇偶性单调性周期性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载( )ug x( )yf u( )yf g x增增增增减减减增减减减增导数证明法设( )f x在 某 个 区 间(,)a b内 有 导 数 ()fx， 若( )f x在 区 间(,)a b内 ， 总 有 ()0 ( ()fxfx，则( )f x在区间( , )a b上为增函数（减函数） ；反之，若( )f x在区间( , )a b内为增函数（减函数） ，则( )0( )0)fxfx。图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。2、奇偶性(1) 定义 : 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为这一定义域内的奇函数 ; 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为这一定义域内的偶函数 . 理解：( ) 上述定义要求一对实数x,-x必须同时都在f(x)的定义域内 , 注意到实数x,-x在 x 轴上的对应点关于原点对称( 或与原点重合), 故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件 . ( ) 判断函数奇偶性的步骤: 考察函数定义域;考察 f(-x)与 f(x) 的关系 ;根据定义作出判断. ( ) 定义中条件的等价转化f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;或 f(-x)=-f(x) )()(xfxf=-1 (f(x) 0) f(-x)= f(x) f(x)-f(-x)=0;或 f(-x)=f(x) )()(xfxf=1 (f(x) 0) (2) 奇( 偶) 函数图像的特征( ) 奇函数图像关于原点对称; ( ) 偶函数图像关于y 轴对称 . 【典型例题】类型一、求（判断）函数的单调区间例 1. 证明函数( )(0)af xxax在区间(,)a是增函数。解：设21xxa，2122211122112212)()(xxaxxxaxxxxaxxaxxfxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载21211221121221)()()(xxaxxxxxxxxaxxxx21xxa012xxaxx210)()(12xfxf函数( )(0)af xxax在区间(,)a是增函数。举一反三：【变式】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|； (2)121yx；(3)21yx. 解： (1) 1x( 1x) 1x( 1xy画出函数图象，函数的减区间为1,，函数的增区间为(-1 ，+) ；(2) 定义域为u1y,1x2u,2121,，设，其中 u=2x-1 为增函数，uy1在(- ， 0) 与(0 ，+) 为减函数，则,21,21,121在xy上为减函数；(3) 定义域为 (- ， 0) (0， +) ，2x1y单调增区间为：(- ， 0)，单调减区间为(0，+). 类型二、单调性的应用( 比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例 2. 已知函数f(x)在(0 ，+)上是减函数，比较f(a2-a+1) 与3( )4f的大小 . 解：22133a -a+1=(a-) +0244又 f(x)在(0，+) 上是减函数，则23(-1)( )4f aaf. 例 3. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间1(,1)2上是增函数，求：(1) 实数 a 的取值范围； (2)f(2)的取值范围 . 解： (1) 对称轴-12ax是决定 f(x)单调性的关键，联系图象可知只需-11222aa；(2) f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又 a2， -2a -4 f(2)=-2a+11-4+11=7 f(2)7,+. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载举一反三：【变式】已知函数32,2( )(1) ,2xf xxxx，若关于x 的方程( )f xk有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是 _. 解：2( )(2)f xxx单调递减且值域(0,1，3( )(1) (2)f xxx单调递增且值域为(,1)，由图象知，若( )f xk有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1 ）.类型三、判断函数的奇偶性例 4. 判断下列函数的奇偶性：(1)1-( )(1)1xfxxx (2)( )-1f xx(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)21-( )|2|-2xf xx(6)22-(0)( )(0)xx xfxxx x (7)1( )( ) -()()2f xg xgxxR解析： (1) f(x)的定义域为-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2) x-1 0， f(x) 定义域1 +，不关于原点对称，f(x) 为非奇非偶函数；(3) 对任意 xR，都有 -x R，且 f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则 f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4) xR ， f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)， f(x)为奇函数；(5)2-1x11-x0 x-1,00,1x0 x-4x+22且221-1-( )(2)- 2xxf xxx221- (- )1-(- )- ( )-xxfxf xxx， f(x)为奇函数；(6) xR ， f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)， f(x) 为奇函数；(7)11(- ) (- ) -(- ) (- ) -( )- ( )22fxgxgxgxg xf x， f(x) 为奇函数 . 举一反三：【变式】 已知 f(x) ， g(x) 均为奇函数， 且定义域相同， 求证：f(x)+g(x)为奇函数， f(x) g(x)为偶函数 . 证明： 设 F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x) 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载G(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=G(x) f(x)+g(x)为奇函数， f(x)g(x) 为偶函数 . 类型四、函数奇偶性的应用( 求值，求解析式，与单调性结合) 例 5. f(x) 是定义在R上的奇函数，且当x0 时， -y=(-x)2-(-x) 即 y=-x2-x 又 f(0)=0，22-x -x x0f(x)=x -x x0，如图举一反三：【变式】定义在 1，1 上的函数yf(x) 是减函数，且是奇函数，若f(a2a1)f(4a5) 0，求实数a的取值范围 . 解析：2222(1)(45)( )(1)( 45)11133314511214533312f aafaf xf aafaaaaaaaaaa由题得函数是奇函数解之得的取值范围为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页