2022年高考数学答题模板可以让你拿高分 .pdf

学习必备欢迎下载高考数学答题模板可以让你拿高分模板 1三角函数的性质问题例 1已知函数f(x)cos2x12，g(x)112sin 2x. (1)设 xx0是函数 yf(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数 h(x)f(x)g(x)的单调递增区间审题破题(1)由 x x0是 yf(x)的对称轴可得g(x0)取到 f(x)的最值； (2)将 h(x)化成 yAsin(x )的形式解(1)f(x)121 cos 2x6，因为 x x0是函数 yf(x)图象的一条对称轴，所以 2x06k ( kZ)，即 2x0k 6(kZ)所以 g(x0)112sin 2x0112sin k 6，kZ. 当 k 为偶数时， g(x0)112sin611434. 当 k 为奇数时， g(x0)112sin 6 11454. (2)h(x) f(x)g(x) 121cos 2x6112sin 2x1232cos 2x12sin 2x 3212sin 2x332. 当 2k 22x32k 2(kZ)，即 k 512xk 12(kZ)时，函数 h(x)12sin 2x332是增函数故函数 h(x)的单调递增区间为k 512，k 12(kZ)第一步 ：三角函数式的化简，一般化成yAsin(x )h 的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页学习必备欢迎下载第二步 ：由 ysin x、ycos x 的性质，将x 看做一个整体，解不等式，求角的范围或函数值的范围；第三步 ：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果；第四步 ：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误跟踪训练1已知函数f(x)2cos x sin x33sin2xsin xcos x1. (1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)的最大值及最小值；(3)写出函数f(x)的单调递增区间解f(x)2cos x12sin x32cos x3sin2xsin x cos x1 2sin xcos x3(cos2xsin2x)1 sin 2x3cos 2x1 2sin 2x31. (1)函数 f(x)的最小正周期为22.(2)1sin 2x31， 12sin 2x313. 当 2x32 2k ，kZ，即 x12k ，kZ 时， f(x)取得最大值3；当 2x32 2k ，kZ，即 x512k ，kZ 时， f(x)取得最小值 1. (3)由22k 2x322k ，k Z，得512k x12k ，kZ. 函数 f(x)的单调递增区间为512k ，12k (k Z)模板 2三角函数与向量、三角形例 2在锐角 ABC 中，已知内角A、B、C 的对边分别为a、 b、c，且3(tan Atan B)1tan A tan B，又已知向量m(sin A，cos A)，n(cos B，sin B)，求 |3m2n|的取值范围审题破题由已知 A，B 关系式化简， 利用向量的数量积求出|3m2n|并化简为一个角的三角函数形式解因为3(tan Atan B)1tan A tan B，所以tan A tan B1tan A tan B33，即 tan(AB)33，又 ABC 为锐角三角形，则0A2，0B2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页学习必备欢迎下载所以2AB2，所以 AB6. 又|3m2n|29m24n212m n1312sin(AB)1312sin 2B6. 又 0C (AB)2，0A6B2，所以6B3，所以22B60，且 a 1)的图象上的一点等比数列an的前 n 项和为 f(n)c.数列 bn ( bn0)的首项为c， 且前 n 项和 Sn满足 SnSn1SnSn1(n2)(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)若数列1bnbn1的前 n 项和为 Tn，问满足Tn1 0012 012的最小正整数n 是多少？解(1)f(1)a13， f(x)13x. 由题意知， a1f(1)c13c，a2f(2) c f(1)c29，a3f(3) c f(2)c227. 又数列 an 是等比数列，a1a22a34812272313c， c1. 又公比 qa2a113， an2313n1 213n (nN*)Sn Sn1(SnSn1)(SnSn1) SnSn1(n2)又 bn0，Sn0，SnSn11. 数列 Sn构成一个首项为1、公差为 1 的等差数列，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页学习必备欢迎下载Sn1(n1)1n，即 Snn2. 当 n2 时， bnSnSn1n2(n1)22n1，当 n1 时， b11 也适合此通项公式bn 2n1 (nN*)(2)Tn1b1b21b2b31b3b41bnbn111313 515712n1 2n 112 1131213151215171212n112n112112n1n2n1. 由 Tnn2n11 0012 012，得 n1 00110，满足 Tn1 0012 012的最小正整数n的值为 101. 模板 6概率与统计问题例 6某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米 )有关据统计，当X70 时， Y460；X 每增加10，Y增加 5.已知近 20 年 X 的值为： 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200, 140,110,160,220,140,160. (1)完成下列频率分布表：近 20 年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220 频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时 )或超过 530(万千瓦时 )的概率审题破题(1)直接根据已知数据计算频率填表；(2)将频率视为概率，将所求事件写成几个互斥事件的和，然后根据概率加法公式计算解(1)在所给数据中，降雨量为110 毫米的有3个， 160 毫米的有 7 个，200 毫米的有3个故近20 年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220 频率120320420720320220(2)由题意知，当X70 时， Y460；X 每增加 10，Y 增加 5，故 Y 4605X7010X2425. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页学习必备欢迎下载P(“ 发电量低于490 万千瓦时或超过530 万千瓦时 ”) P(Y530)P(X210) P(X70)P(X110)P(X220) 120320220310. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时 )或超过 530(万千瓦时 )的概率为310. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页学习必备欢迎下载第一步 ：理解题目中的数据和变量的意义，完成频率分布表；第二步 ：利用互斥事件的概率公式求概率、作答. 跟踪训练6(2013 陕西 )有 7 位歌手 (1 至 7 号)参加一场歌唱比赛，由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别A B C D E人数5010015015050 (1)为了调查评委对7 位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B 组中抽取了6 人请将其余各组抽取的人数填入下表组别A B C D E人数5010015015050 抽取人数6 (2)在(1)中，若 A，B 两组被抽到的评委中各有2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1 人，求这2 人都支持1 号歌手的概率解(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别A B C D E人数5010015015050 抽取人数36993 (2)记从 A 组抽到的3 个评委为a1，a2，a3，其中 a1，a2支持 1 号歌手；从B 组抽到的 6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中 b1，b2支持 1 号歌手从 a1，a2，a3 和b1，b2，b3，b4，b5， b6中各抽取1 人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18 种，其中 2人都支持1 号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共 4 种，故所求概率P41829. 模板 7圆锥曲线的定点问题例 7已知椭圆E 的中心在原点， 焦点在 x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21，离心率为e22. (1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 (1,0)作直线 l 交 E 于 P、 Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在一个定点M， 使MP MQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页学习必备欢迎下载为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由审题破题(1)利用待定系数法求E 的方程； (2)探求定点可以先根据特殊情况找出点，再对一般情况进行证明解(1)设椭圆 E 的方程为x2a2y2b21(ab0)，由已知得解得所以 b2a2c21. 所以椭圆E 的方程为x22y21. (2)假设存在符合条件的点M(m,0)，设 P(x1， y1)，Q(x2，y2)，则MP(x1m，y1)，MQ(x2m，y2)，MP MQ(x1 m)(x2m)y1y2x1x2m(x1 x2)m2y1y2. 当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为yk(x1)，由得 x22k2(x1)220，即(2k21)x2 4k2x2k220，则 x1x24k22k21，x1x22k222k21，y1y2k2(x1 1)(x21)k2x1x2(x1x2)1k22k21，所以 MP MQ2k222k21m4k22k21m2k22k212m24m1 k2 m222k21. 因为对于任意的k 值， MP MQ为定值，所以 2m24m12(m22)，得 m54. 所以 M54，0 ，此时， MP MQ716. 当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x1，则 x1x22， x1x21，y1y212，由 m54，得 MP MQ716. 综上，符合条件的点M 存在，且坐标为54，0 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页学习必备欢迎下载第一步 ：引进参数 .从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；第二步 ：列出关系式 .根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程；第三步 ：探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成yy0k xx0的形式，则kR 时直线恒过定点x0，y0；若是动态的曲线方程，将动态的曲线方程转化成f x，y g x，y 0 的形式，则 R 时曲线恒过的定点即是f x，y 0 与 g x，y 0 的交点；第四步 ：下结论；第五步 ：回顾反思 .在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的. 跟踪训练7已知抛物线y24x 的焦点为F，直线 l 过点 M(4,0)(1)若点 F 到直线 l 的距离为3，求直线 l 的斜率；(2)设 A，B 为抛物线上的两点，且直线AB 不与 x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点 M，求证：线段AB 中点的横坐标为定值(1)解由已知得直线l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为yk(x4)，由题意知抛物线的焦点坐标为 (1,0)，因为点 F 到直线 l 的距离为3，所以|3k|1k23，解得 k 22，所以直线l 的斜率为 22. (2)证明设线段 AB 中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB 不与 x轴垂直，所以AB 斜率存在，所以直线MN 的斜率为y0 x04，直线 AB 的斜率为4x0y0，直线 AB 的方程为 yy04x0y0(xx0)，联立方程得消去 x，得 1x04y2y0yy20 x0(x04)0，所以 y1y24y04x0，因为 N 为线段 AB 的中点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页学习必备欢迎下载所以y1 y22y0，即2y04 x0y0，所以 x02.即线段 AB 中点的横坐标为定值2. 模板 8圆锥曲线中的范围、最值问题例 8已知双曲线x2a2y2b21(a1， b0)的焦距为2c，直线l 过点 (a,0)和(0，b)，且点 (1,0)到直线 l 的距离与点 (1,0)到直线 l 的距离之和s45c，求双曲线的离心率e 的取值范围审题破题用 a，b 表示 s可得关于a，b，c 的不等式，进而转化成关于e 的不等式，求e 的范围解设直线 l 的方程为xayb1，即 bxayab0. 由点到直线的距离公式，且a1，得到点 (1,0)到直线 l 的距离 d1b a1a2b2，同理可得点 ( 1,0)到直线 l 的距离为d2b a1a2b2，于是 s d1 d22aba2b22abc. 由 s45c，得2abc45c，即 5ac2a22c2，可得 5e212e2，即 4e425e225 0，解得54e25. 由于 e1，故所求e的取值范围是52，5. 第一步 ：提取 .从题设条件中提取不等关系式；第二步 ：解不等式 .求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集；第三步 ：下结论 .根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参数的取值范围；第四步 ：回顾反思 .根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线的定义中的a，b，c 的大小关系等 . 跟踪训练8椭圆 C 的中心为坐标原点O，焦点在 y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与 y 轴交于点P(0，m)，与椭圆C 交于相异两点A，B，且 AP 3PB. (1)求椭圆 C 的方程；(2)求 m 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页学习必备欢迎下载解(1)设椭圆 C 的方程为y2a2x2b2 1(ab0)，设 c0， c2a2b2，由题意，知2b2，ca22，所以 a1，bc22. 故椭圆 C 的方程为y2x2121，即 y22x21. (2)设直线 l 的方程为y kxm(k0)， l 与椭圆 C 的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k22)x22kmx(m21)0， (2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0，(*) x1x2 2kmk22， x1x2m21k22. 因为 AP3PB，所以 x13x2，所以所以 3(x1x2)24x1x20. 所以 3 2kmk2 224m21k2 20. 整理得 4k2m22m2k22 0，即 k2(4m21)(2m22)0. 当 m214时，上式不成立；当 m214时， k222m24m21，由(*) 式，得 k22m22，又 k0，所以 k22 2m24m210. 解得 1m12或12m0 f(x)ax2a2x21 (x0)根据题意，有f(1) 2，所以 2a2 a30，解得 a 1 或 a32. (2)解f(x)ax2a2x21x2ax2a2x2xax 2ax2(x0)当 a0 时，因为x0，由 f(x)0 得(xa)(x2a)0，解得 xa；由 f(x)0 得(xa)(x2a)0，解得 0 xa. 所以函数f(x)在(a， )上单调递增，在(0，a)上单调递减当 a0，由 f(x)0 得(xa)(x2a)0，解得 x2a；由 f(x)0 得(xa)(x2a)0，解得 0 x0，使得 |g(x)g(x0)|0 成立？若存在， 求出 x0的取值范围； 若不存在，请说明理由审题破题(1)先求出f(x)，再求g(x)，然后讨论g(x)的单调区间，最值；(2)可构造函数h(x)g(x)g1x，通过 g(x)的单调性比较g(x)，g1x的大小； (3)对任意 x0 若不存在 x0，只需取一特殊值即可；若存在x0，一般利用最值解决解(1)由题设易知f(x)ln x，g(x)ln x1x，g(x)x1x2，令 g(x)0，得 x1，当 x(0,1)时， g(x)0. 故(1， )是 g(x)的单调增区间，因此， x1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1. (2)g1x ln xx，设 h(x)g(x)g1x2ln xx1x，则 h(x)x12x2，当 x1 时， h(1)0，即 g(x)g1x，当 x(0,1)(1， )时， h (x)0，h(1)0，因此， h(x)在(0， )内单调递减，当 0 xh(1)0，即 g(x)g1x，当 x1 时， h(x)h(1) 0，即 g(x)0，使 |g(x)g(x0)|0 成立，即对任意x0，有 ln xg(x0)0，使 |g(x)g(x0)|0 成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页学习必备欢迎下载第一步 ：构造函数h x g x g1x；第二步 ：根据求单调性、极值的步骤探求函数h x 的单调性；第三步 ：根据 h x 的单调性比较h x 和 0 的大小；第四步 ：下结论，反思回顾. 跟踪训练10已知函数f(x)ax2bxcln x. (1)当 ab 时，若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数a 的取值范围；(2)设函数 f(x)在 x12，x1 处取得极值，且f(1) 1，若对任意的x14，2 ，f(x)m恒成立，求m 的取值范围 (参考数据： e2.7) 解(1)ab 时， f(x)ax2axcln x，f(x)2axa1x2ax2ax1x(x0)当 a0 时， f(x)1x0，此时 f(x)在(0， )上单调递增；当 a0 时， x0，2ax2ax10， f(x)0，f(x)在(0， )上单调递增；当 a0，故在 (0， )上，函数g(x)的符号不确定，即此时f(x)的符号不确定，函数 f(x)在(0，)上不单调综上可知， a 的取值范围是0， )(2)f(x)在 x12，x1 处取得极值，f(1)f12 0，即2ab10ab20，a1b 3，即 f(x)2x23x1x2x1 x1x，且 f(x) x2 3xcln x. 又 f(1) 1，13c 1，得 c 1，f(x)x23x 1ln x. 当 x14，12时， f (x)0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页学习必备欢迎下载函数 f(x)在14，12上单调递增；当 x12，1 时， f (x)0，函数 f(x)在(1,2上单调递增f(x)极大值f1214321ln 1214ln 2，而 f(2) 1ln 2，f(2)f1234ln 4 ln 4ln e ，由于 4ee，故 f(2)f12，f(x)max 1ln 2，m 1ln 2. 3434精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页