2022年挑战中考数学压轴题因动点产生的平行四边形问题 .pdf

学习好资料欢迎下载因动点产生的平行四边形问题例 1 2015年成都市中考第28 题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y ax22ax3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），经过点 A 的直线 l：ykxb 与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且 CD4AC（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k、b 用含 a 的式子表示） ；（2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若 ACE 的面积的最大值为54，求 a 的值；（3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由图 1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15 成都 28” ，拖动点 E 在直线 AD 上方的抛物线上运动，可以体验到，当ECAC 时， ACE 的面积最大点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点 H 在 y 轴正半轴运动，观察点Q 和 Q，可以看到点Q 和点 Q 都可以落在抛物线上思路点拨1过点 E 作 x 轴的垂线交AD 于 F，那么 AEF 与 CEF 是共底的两个三角形2以 AD 为分类标准讨论矩形，当AD 为边时， AD 与 QP 平行且相等，对角线APQD；当 AD 为对角线时， AD 与 PQ 互相平分且相等满分解答（1）由 y ax22ax3aa(x1)(x3)，得 A( 1, 0)由 CD4AC，得 xD 4所以 D(4, 5a)由 A(1, 0)、 D(4, 5a)，得直线l 的函数表达式为yaxa（2）如图 1，过点 E 作 x 轴的垂线交AD 于 F设 E(x, ax22ax3a)，F(x, axa)，那么 EFyEyF ax23ax4a由 SACESAEFSCEF11()()22EAECEF xxEF xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页学习好资料欢迎下载1()2CAEF xx21(34 )2axaxa21325()228a xa，得 ACE 的面积的最大值为258a解方程25584a，得25a（3）已知 A(1, 0)、D(4, 5a)，xP1，以 AD 为分类标准，分两种情况讨论：如图 2，如果 AD 为矩形的边，那么AD/QP，ADQP，对角线APQD由 xDxAxPxQ，得 xQ 4当 x 4 时， ya(x1)(x3)21a所以 Q(4, 21a)由 yDyAyPyQ，得 yP26a所以 P(1, 26a)由 AP2QD2，得 22(26a)282(16a)2整理，得 7a21所以77a此时 P26 7(1)7，如图 3，如果 AD 为矩形的对角线，那么AD 与 PQ 互相平分且相等由 xDxAxPxQ，得 xQ2所以 Q(2,3a)由 yDyAyPyQ，得 yP8a所以 P(1, 8a)由 AD2PQ2，得 52(5a)212(11a)2整理，得 4a21所以12a此时 P(14)，图 1 图 2 图 3 考点伸展第（ 3）题也可以这样解设P(1,n)如图 2，当 AD 时矩形的边时，QPD90，所以AMDNMDNP，即5553ana解得235ana所以 P235(1,)aa所以 Q3( 4,)a将 Q3( 4,)a代入 ya(x 1)(x 3)，得321aa所以77a如图 3，当 AD 为矩形的对角线时，先求得Q(2, 3a)由 AQD90，得AGQKGQKD，即32335aaa解得12a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页学习好资料欢迎下载例 2 2014年陕西省中考第24 题如图 1，已知抛物线C：y x2bxc 经过 A(3,0)和 B(0, 3)两点将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x 轴的交点记为N（1）求抛物线C 的表达式；（2）求点 M 的坐标；（3）将抛物线C 平移到抛物线C ，抛物线C 的顶点记为M，它的对称轴与x 轴的交点记为 N 如果以点M、N、M、 N 为顶点的四边形是面积为16 的平行四边形，那么应将抛物线 C 怎样平移？为什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页学习好资料欢迎下载图 1 动感体验请打开几何画板文件名“14 陕西 24” ，拖动右侧的点M 上下运动，可以体验到，以点M、N、M、 N 为顶点的平行四边形有四种情况思路点拨1抛物线在平移的过程中，MN与 MN 保持平行，当MN MN 4 时，以点M、N、M、 N 为顶点的四边形就是平行四边形2平行四边形的面积为16，底边 MN 4，那么高NN 43M N 4 分两种情况：点M在点 N的上方和下方4NN 4 分两种情况：点N 在点 N 的右侧和左侧满分解答（1）将 A(3,0)、B(0, 3)分别代入y x2bxc，得930,3.bcc解得 b 2， c3所以抛物线C 的表达式为y x22x3（2）由 y x22x3 (x1)24，得顶点M 的坐标为 (1,4)（3）抛物线在平移过程中，MN与 MN 保持平行，当MN MN 4 时，以点M、N、M、 N 为顶点的四边形就是平行四边形因为平行四边形的面积为16，所以 MN 边对应的高NN 4那么以点 M、 N、M 、N为顶点的平行四边形有4 种情况：抛物线 C 直接向右平移4 个单位得到平行四边形MNNM（如图 2） ；抛物线 C 直接向左平移4 个单位得到平行四边形MNNM（如图 2） ；抛物线 C 先向右平移4 个单位，再向下平移8 个单位得到平行四边形MNM N（如图 3） ；抛物线 C 先向左平移4 个单位，再向下平移8 个单位得到平行四边形MNM N（如图 3） 图 2 图 3 考点伸展精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页学习好资料欢迎下载本题的抛物线C 向右平移m 个单位，两条抛物线的交点为D，那么 MM D 的面积S关于 m 有怎样的函数关系？如图 4， MM D 是等腰三角形， 由 M(1,4)、 M(1m, 4)， 可得点 D 的横坐标为22m将22mx代入 y (x1)24，得244my所以 DH 244m所以 S2311(4)2248mmmm 图 4 例 3 2013 年上海市松江区中考模拟第24 题如图 1，已知抛物线y x2bxc 经过 A(0, 1)、B(4, 3)两点（1）求抛物线的解析式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页学习好资料欢迎下载（2）求 tanABO 的值；（3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB于点 N，交抛物线于点M，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“13 松江 24” ，拖动点 N 在直线 AB 上运动， 可以体验到， 以 M、N、 C、 B 为顶点的平行四边形有4个， 符合 MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个请打开超级画板文件名“13 松江 24” ，拖动点N 在直线 AB 上运动，可以体验到，MN有 4 次机会等于3，这说明以M、N、C、B 为顶点的平行四边形有4 个，而符合MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB 只有一个思路点拨1第（ 2）题求 ABO 的正切值，要构造包含锐角ABO 的角直角三角形2第（ 3）题解方程MNyMyNBC，并且检验x 的值是否在对称轴左侧满分解答（1）将 A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y x2bxc，得1,1643.cbc解得92b，c 1所以抛物线的解析式是2912yxx（2）在 RtBOC 中， OC4，BC3，所以 OB5如图 2，过点 A作 AH OB，垂足为H在 RtAOH 中， OA1，4sinsin5AOHOBC，所以4sin5AHOAAOH图 2 所以35OH，225BHOBOH在 RtABH 中，4222tan5511AHABOBH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页学习好资料欢迎下载（3）直线 AB 的解析式为112yx设点 M 的坐标为29( ,1)2xxx，点 N 的坐标为1( ,1)2xx，那么2291(1)(1)422MNxxxxx当四边形 MNCB 是平行四边形时，MNBC 3解方程 x24x3，得 x1 或 x3因为 x3 在对称轴的右侧（如图4） ，所以符合题意的点M 的坐标为9(1, )2（如图 3） 图 3 图 4 考点伸展第（3）题如果改为：点M 是抛物线上的一个点，直线MN 平行于 y 轴交直线AB 于 N，如果 M、N、B、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标那么求点 M 的坐标要考虑两种情况：MNyMyN或 MNyNyM由 yNyM4xx2，解方程 x2 4x3，得27x（如图 5） 所以符合题意的点M 有 4 个：9(1, )2，11(3,)2，57(27,)2，57(27,)2图 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页学习好资料欢迎下载例 4 2012年福州市中考第21题如图 1，在 RtABC 中， C90， AC6，BC8，动点 P 从点 A 开始沿边AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点Q 从点 C 开始沿边CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点P 作 PD/BC，交 AB 于点 D，联结 PQ点 P、Q 分别从点A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（ t0） （1）直接用含t 的代数式分别表示：QB_，PD_；（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动） ，使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度；（3）如图 2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点 M 所经过的路径长图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“12 福州 21” ，拖动左图中的点P 运动，可以体验到，PQ 的中点 M 的运动路径是一条线段拖动右图中的点Q 运动，可以体验到，当PQ/AB 时，四边形 PDBQ 为菱形请打开超级画板文件名“12 福州 21” ，拖动点 Q向上运动，可以体验到，PQ 的中点 M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页学习好资料欢迎下载的运动路径是一条线段点击动画按钮的左部，Q 的速度变成1.07，可以体验到， 当 PQ/AB时，四边形PDBQ 为菱形点击动画按钮的中部，Q 的速度变成1.思路点拨1菱形PDBQ 必须符合两个条件，点P 在 ABC 的平分线上，PQ/AB先求出点P运动的时间t，再根据PQ/AB，对应线段成比例求CQ 的长，从而求出点Q 的速度2探究点 M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M 的路径满分解答（1）QB82t，PD43t（2）如图 3，作 ABC 的平分线交CA 于 P，过点 P 作 PQ/AB 交BC 于 Q，那么四边形PDBQ 是菱形过点 P 作 PEAB，垂足为 E，那么 BEBC8在RtABC中，AC6，BC8，所以AB10图 3 在 RtAPE 中，23cos5AEAAPt，所以103t当 PQ/AB 时，CQCPCBCA，即106386CQ解得329CQ所以点 Q 的运动速度为3210169315（3）以 C 为原点建立直角坐标系如图 4，当 t0 时， PQ 的中点就是AC 的中点 E(3，0)如图 5，当 t4 时， PQ 的中点就是PB 的中点 F(1，4)直线 EF 的解析式是y 2x6如图 6，PQ 的中点 M 的坐标可以表示为（62t，t） 经验证，点M（62t，t）在直线 EF 上所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段EF 的长， EF2 5图 4 图 5 图 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页学习好资料欢迎下载考点伸展第（ 3）题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当 t2 时， PQ 的中点为 (2，2)设点 M 的运动路径的解析式为yax2bxc，代入 E(3，0)、F(1， 4)和(2，2)，得930,4,422.abcabcabc解得 a0，b 2，c6所以点 M 的运动路径的解析式为y 2x6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页学习好资料欢迎下载例 5 2012年烟台市中考第26题如图 1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以A 为顶点的抛物线yax2bxc 过点 C动点 P 从点 A 出发，沿线段AB 向点 B 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段CD 向点 D 运动点P、Q 的运动速度均为每秒1 个单位，运动时间为t 秒过点P 作 PEAB 交 AC 于点 E（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点G，当 t 为何值时，ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以 C、Q、E、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 烟台 26” ，拖动点P 在 AB 上运动，可以体验到，当P 在AB 的中点时，ACG 的面积最大观察右图，我们构造了和CEQ 中心对称的FQE 和ECH ，可以体验到，线段EQ 的垂直平分线可以经过点C 和 F，线段 CE 的垂直平分线可以经过点 Q 和 H，因此以C、 Q、 E、H 为顶点的菱形有2 个请打开超级画板文件名“12 烟台 26” ，拖动点P 在 AB 上运动，可以体验到，当P 在AB 的中点时，即t=2， ACG 的面积取得最大值1观察 CQ，EQ，EC 的值，发现以C、Q、E、H 为顶点的菱形有2个点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。思路点拨1把 ACG 分割成以GE 为公共底边的两个三角形，高的和等于AD2用含有t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以 C、Q、E、H 为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在满分解答（1）A(1, 4)因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y a(x1)2 4，代入点 C(3, 0)，可得 a 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页学习好资料欢迎下载所以抛物线的解析式为y (x1)2 4 x2 2x3（2）因为 PE/BC，所以2APABPEBC因此1122PEAPt所以点 E 的横坐标为112t将112xt代入抛物线的解析式，y (x1)242144t所以点 G 的纵坐标为2144t于是得到2211(4)(4)44GEtttt因此22111()(2)1244ACGAGECGESSSGE AFDFttt所以当 t1 时， ACG 面积的最大值为1（3）2013t或208 5t考点伸展第（ 3）题的解题思路是这样的：因为 FE/QC，FEQC，所以四边形FECQ 是平行四边形 再构造点F 关于 PE 轴对称的点 H，那么四边形EH CQ 也是平行四边形再根据 FQCQ 列关于 t 的方程，检验四边形FECQ 是否为菱形，根据EQCQ 列关于 t 的方程，检验四边形EH CQ 是否为菱形1(1,4)2Ett，1(1,4)2Ft，(3, )Qt，(3,0)C如图 2，当 FQCQ 时， FQ2CQ2，因此2221(2)(4)2ttt整理，得240800tt解得1208 5t，2208 5t（舍去）如图 3，当 EQCQ 时， EQ2CQ2，因此2221(2)(42 )2ttt整理，得213728000tt(1320)(40)0tt所以12013t，240t（舍去）图 2 图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页学习好资料欢迎下载例 6 2011年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy（如图 1） ，一次函数334yx的图象与y 轴交于点 A，点 M在正比例函数32yx的图象上，且MOMA二次函数yx2bxc 的图象经过点A、M（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在 y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334yx的图象上，且四边形 ABCD 是菱形，求点C 的坐标图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页学习好资料欢迎下载动感体验请打开几何画板文件名“11 上海 24” ，拖动点 B 在 y 轴上点 A 下方运动， 四边形 ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C 有一次机会落在抛物线上思路点拨1本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数2根据 MOMA 确定点 M 在 OA 的垂直平分线上，并且求得点M 的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤3第（ 3）题求点C 的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m 表示点C 的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m满分解答（1）当 x 0 时，3334yx，所以点 A 的坐标为 (0，3)，OA3如图 2， 因为 MOMA， 所以点 M 在 OA 的垂直平分线上， 点 M 的纵坐标为32 将32y代入32yx，得 x 1所以点M 的坐标为3(1, )2因此132AM（2）因为抛物线yx2bxc 经过 A(0，3)、M3(1, )2，所以3,31.2cbc解得52b，3c所以二次函数的解析式为2532yxx（3）如图 3，设四边形ABCD 为菱形，过点A 作 AECD，垂足为E在 RtADE 中，设 AE4m，DE3m，那么 AD5m因此点 C 的坐标可以表示为(4m，32m)将点 C(4m，32m)代入2532yxx，得23216103mmm解得12m或者 m0（舍去）因此点 C 的坐标为（ 2，2） 图 2 图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页学习好资料欢迎下载考点伸展如果第（ 3）题中，把“四边形ABCD 是菱形”改为“以A、B、C、D 为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图 4，点 C 的坐标为7 27(,)4 16图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页学习好资料欢迎下载例 7 2011年江西省中考第24题将抛物线 c1：233yx沿 x 轴翻折，得到抛物线c2，如图 1所示（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与 x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与 x 轴的交点从左到右依次为D、E当 B、D 是线段 AE 的三等分点时，求m 的值；在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“11 江西 24” ，拖动点 M 向左平移， 可以体验到， 四边形 ANEM可以成为矩形，此时B、D 重合在原点观察B、D 的位置关系，可以体验到，B、D 是线段 AE 的三等分点，存在两种情况思路点拨1把 A、B、D、E、M、N 六个点起始位置的坐标罗列出来，用m 的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来2B、D 是线段 AE 的三等分点，分两种情况讨论，按照AB 与 AE 的大小写出等量关系列关于 m 的方程3根据矩形的对角线相等列方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页学习好资料欢迎下载满分解答（1）抛物线c2的表达式为233yx（2）抛物线 c1：233yx与 x 轴的两个交点为( 1，0)、(1，0)，顶点为 (0,3) 抛物线 c2：233yx与 x 轴的两个交点也为(1，0)、(1，0)，顶点为 (0,3) 抛物线 c1向左平移m 个单位长度后，顶点M 的坐标为(,3)m，与 x 轴的两个交点为( 1,0)Am、(1,0)Bm，AB2抛物线 c2向右平移m 个单位长度后，顶点N 的坐标为 (,3)m，与 x 轴的两个交点为( 1,0)Dm、(1,0)Em所以 AE(1m) (1m)2(1m)B、 D 是线段 AE 的三等分点，存在两种情况：情形一，如图2， B 在 D 的左侧，此时123ABAE，AE6所以2(1m)6解得 m2情形二，如图3， B 在 D 的右侧，此时223ABAE，AE3所以2(1m)3解得12m图 2 图 3 图 4 如果以点A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形，那么AEMN2OM而 OM2m23，所以 4(1m)24(m23)解得 m1（如图 4） 考点伸展第（ 2）题，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM 中，因为AB2， AB 边上的高为3 ，所以 ABM 是等边三角形同理 DEN 是等边三角形当四边形ANEM 是矩形时， B、D 两点重合因为起始位置时BD 2，所以平移的距离m 1精选学习资料 - 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