2022年高等数学电子教案第三章 .pdf

学习必备欢迎下载第三章微分中值定理与导数的应用第一讲 微分中值定理(The Mean Value Theorem) 微分中值定理是微分学的核心，她具有非常广泛的应用，是研究函数性态的有力工具。本节介绍三大中值定理。一 罗尔中值定理：1 极值的定义： 设)(xf在区间I上有定义，Ix0且存在IxU)(0， 对任意)(0 xUx，)()()()(00 xfxfxfxf，则称0 x是)(xf的极大值点（极小值点）。)(0 xf是极大值（极小值） ，通称为极值。注：极值和最值的本质区别：极值是局部概念（相对于某个邻域内）最值是整体概念（相对于整个定义域）极值只可能在定义域的内部取到，而最值可能在内部，也可能在端点处取到。极值不是唯一的，最值（如果存在）则一定是唯一的。极值不一定是最值，最值也不一定是极值，当最值在定义域内部取到时，最值就一定是极值。2 费马引理（ Fermat） ：函数)(xf在区间I上有定义，如果)1()(xf在0 x点可导 ; )2(0 x是)(xf的极值点 . 则0)(0 xf. 说明：（1）几何意义：)(xf在0 x点存在切线，若0 x是极值点，则切线是平行于x轴的。（2）理论证明：只要证明0)()(lim000 xxxfxfxx，即0)()(00 xfxf. 3驻点：通常把0)(0 xf的点0 x称为)(xf的驻点（临界点、稳定点）驻点不一定是极值点。如：3xy，0 x不是极值点，在该点的两侧单调增加。极值点不一定是驻点，如：xy，0 x是极小值点，但在该点不可导。4罗尔定理 (Rolle) ：如果函数)(xf满足)1(,ba上连续；)2(),(ba内可导；)3()()(bfaf. 则在),(ba内至少存在一点，使得0)(f. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页学习必备欢迎下载几何意义： 连续光滑曲线 （无缝隙的光滑曲线）若两端点的函数值相等，则在曲线上至少存在一点，使得函数在该点的切线平行于x轴。或在连接高度相同的两点的一段连续曲线上，如果每一点都有不垂直于x轴的切线， 那么曲线上至少有一点的切线是平行于x轴的。定理的条件是充分的： 罗尔定理的三个条件是充分的但不是必要的，去掉任何一个条件，结论都不一定成立。前两个条件能否合并为一条？条件加强导致定理的适用范围缩小。例 1 1, 010 ,)(2xxxxf，显然)1(1lim)(lim211fxxfxx，不满足第一条。例 2 xxf)(在1 , 1上连续，但在) 1 , 1(内不可导，不满足第二条。例 3 xxf)(在1 ,0上连续，在)1 ,0(内可导，但)1 ()0(ff，不满足第三条。例 421 ,211,)(2xxxxxf，显然有0时，0)(f，即罗尔定理的结论成立。而函数在2, 1上不连续， 在)2, 1(内不可导， 且)2()1(ff，即不满足定理任何一个条件。理论证明：只要证明在),(ba内至少存在一个极值点，然后由费马引理即得证。二 拉格朗日中值定理 (Lagrange) 定理：如果函数)(xf满足：)1 (在,ba上连续；)2(在),(ba内可导；则在),(ba内至少存在一点，使得)()()(abfafbf。几何意义：如果连续曲线)(xfy的弧段上除端点外处处具有不垂直于轴的切线，那么在这弧上至少有一点，使曲线在该点处的切线平行于弦。理论证明：构造辅助函数xabafbfxfx)()()()(，然后借助于罗尔中值定理。注： 1）辅助函数可以有不同的形式：几何分析（课本） ：)()()()()()(axabafbfafxfx倒推法：)()()()()(xfabxafbfx2）拉格朗日中值公式：)()()(abfafbf，在ba,之间或10),)()()(ababafafbf3）有限增量形式公式：10 ,)()()(xxxfxfxxf，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页学习必备欢迎下载xxxfy)(推论 1 函数)(xf在区间I上的导数恒为零，则Cxf)(。证明：任意Ixx21,，且21xx，则)()()(1212xxfxfxf，所以)()(21xfxf，由任意性知Cxf)(。推论 2 对任意Ix，)()(xgxf，则Cxgxf)()(。证明： 令)()()(xgxfxh，则0)()()(xgxfxh，由推论 1 可知Cxh)(，即Cxgxf)()(。例如：证明 1 , 1,2arccosarcsinxxx。练习：课本14 题。三 柯西中值定理 (Cauchy) 如果连续曲线弧段AB的方程用参数方程来表示的话：)()(xfYxgX，则拉格朗日中值公式就变成)()()()()()(agbgafbfgf。定理：如果函数)(),(xgxf满足：)1(在,ba上连续；)2(在),(ba内可导；)3(0)(),(xgbax。则在),(ba内至少存在一点，使得)()()()()()(agbgafbfgf. 证明：由于函数)(xf满足拉格朗日定理的条件，所以)()()(abfafbf，函数)(xg满足拉格朗日定理的条件，所以)()()(abgagbg，所以两式相除得到：)()()()()()(agbgafbfgf. 注：这个证明是错误的，其实两个式子的不一定相同。比如：2)(xxf在)1 , 0(内)01)()0()1 (fff，即211；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页学习必备欢迎下载3)(xxg在)1 ,0(内)01)()0()1 (ggg，即332；但由)()()0()1 ()0()1 (gfggff可知32. 所以仍然采用构造辅助函数的方法。例 1 证明不等式) 1(当0 x时，xxxx)1ln(1)2(babaarctanarctan分析：xxxx)1ln(1变化1)1ln(11xxx，即10)01ln ()1ln (11xxx，所以只要令函数)1ln()(xxf即可，然后根据微分中值定理即可。baba r c t anar c t a n变化1arctanarctanbaba，只要令函数xxfarctan)(即可。例 2 设)4)(3)(2)(1()(xxxxxf，说明0)(xf有几个实根。分析：0)(xf为三次方程， 在实数域内最多有三个实根，又因为)(xf在4,3,3,2,2, 1上连续，在)4,3(),3 ,2(),2 , 1(内可导，由罗尔定理可知：存在321,使得0)()()(321fff，则说明321,是方程的三个根。例 3 证明方程015xx只有一个正根。分析：首先根的存在性：函数1)(5xxxf满足介值定理的条件；其次根的唯一性：假设有两个不同的根，根据罗尔定理就产生矛盾。练习： 1、2、3、4 题。作业： 7、9、10 题。第二讲 中值定理的应用应用（一）证明不等式通常我们用拉格朗日中值定理证明不等式，首先选择适当的函数及区间，然后利用中值定理，得到一个含有的等式；其次对等式进行适当的放大或缩小，去掉含有的项。例 证明)0( ,1xxeexxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页学习必备欢迎下载分 析 ： 证 明 的 关 键 在 于 选 择 哪 个 函 数 ， 在 哪 个 区 间 上 用 中 值 定 理 。 若 注 意 到01eeexx，就不难看出1xe恰为xe在区间,0 x上两点处的函数值之差。练习： 1 证明当1x时，xeex2 证明不等式)0(1)1ln(122xxxxx证明： 设2211)1ln()(xxxxxf，显然函数在,0 x上满足拉格朗日定理的条件， 所以存在),0(x使)0)()0()(xffxf，而)1ln ()(2xxxf且0)0(f，因此)0)(1ln()(2xxxf，当x0时，0)1ln(2，从而0)(xf。应用（二）证明恒等式（I）证明至少存在一点，使0)()(nf的命题例 若)(xf在),(ba内具有二阶导数，且)()()(321xfxfxf（bxxxa321）证明：在),(31xx内至少有一点，使得0)( f。分 析 ： 要 寻 找 函 数)(xf在,31xx上 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件 即 可 ， 只 要 找 到 两 点)()(21ff即可。练习： 若函数)(xf在 1 ,0内具有三阶导数，且0)1 ()0(ff，设)() 1()(3xfxxF，证明：在)1 ,0(内至少有一点，使得0)( F。证明：因)(xF在1 ,0上连续，在) 1 ,0(上可导，且0)1 ()0(FF，由罗尔定理知：存在)1 ,0(1，使0)(1F；又)() 1()()1(3)(32xfxxfxxF，且0) 1 (F，所以)(xF在 1 ,1上满足罗尔定理的条件，存在)1 ,(12，使0)(2 F；又)()1()()1(6)() 1(6)( 32 xfxxfxxfxxF， 且0)1 ( F， 所 以)( xF在 1 ,2上满足罗尔定理的条件，存在) 1 , 0() 1 ,(2，使0)( F。（II ）证明涉及两个函数改变量及其导数关系的命题例 设021xx，证明)()1(212112xxeexexxx，其中在1x与2x之间。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页学习必备欢迎下载分析：)()1(212112xxeexexxx分离得：exxexexxx)1(212112在分离1x和2x得：exxxexexx)1 (11121212，从而满足柯西中值定理。练习： 1 设函数)(xf在,ba上可导，且0ab，证明至少存在一点),(ba，使)()()()(1ffbfafbaab。分析：abaafbbfbaaafbbfababfbaf11)()(11)()()()(2 课本 15 题。(III) 构造辅助函数类命题即“原函数辅助函数法”具体步骤：将要证明成立的等式0)(u改写成0)(，即寻找函数)(x，使)()(xux，在验证)(x满足罗尔定理的所有条件。例 1 设函数)(xf、)(xg在,ba上连续，在),(ba内可导，且0)(xg，证明至少存在一点),(ba使)()()()()()(gfbggfaf分析：将结论等式改写为)()()()()()(fbgggfaf即0)()()()()()()()(gfgffbggaf，用“原函数辅助函数法”可找到辅助函数)()()()()()()(xgxfxfbgxgafx。例 2 设)(xf在 1 ,0上连续，在)1 ,0(内可导，且0) 1(,0)0(ff，证明在) 1 ,0(内至少存在一点使0)()(3ff分析：注意)()(3)()(3)(2323xxfxfxxfxxfxxfx，所以辅助函数为)()(3xfxx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页学习必备欢迎下载例 3 设函数)(xf、)(xg在,ba上连续， 在),(ba内可导， 且0)()(bfaf，证明至少存在一点),(ba使0)()()(gff分析：利用恒等变形改变结论形式化为：0)()()(gff，可确定辅助函数)()(ln)(xgxfxF，由于)(xf在,ba可能取不大于零的值，所以不能直接将)(xF作为辅助函数，而应取)()()()(xfeexxgxF为辅助函数。练习：1设)(xf在1 , 0上连续， 在)1 ,0(内可导， 且0)0(f，当) 1 ,0(x时，0)(xf，证明在)1 ,0(内至少存在一点使)1 ()1(2)()(ffff分析：结论形式化为：0)1()(2)1()(ffff即0)1()1 ()(2)1()(2fffff即辅助函数为：)1()()(2xfxfx2 第 132 页 13 题。应用（三）讨论方程实根的问题在中值定理中， 主要是利用罗尔定理证明方程实根的存在性。基本思想是把要证明其存在的问题归结为某函数的导数在某区间的零点问题，而该函数又恰好在该区间上满足定理的条件。证明的关键是选择恰当的辅助函数和恰当的区间。例 设012) 1(3121naaann，证明方程：0) 12cos(3coscos21xnaxaxan在2,0内至少有一个实根。分析：只要找到一个函数使xnaxaxaxfn) 12cos(3coscos)(21即可，而易知xnnaxaxaxfn)12sin(123sin31sin)(21，再说明该函数满足罗尔定理即可。练习：1 设)(xf在 1 ,0上连续，在)1 , 0(内可导，且1)21(,0)1()0(fff， 证明在)1 , 0(内方程1)(xf至少有一个实根。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页学习必备欢迎下载分析：考虑1)()(xfxF， 即xxfxF)()(， 但是)(xF并不满足罗尔定理条件，又知0)21()1(fF，根据连续函数上的介值定理存在1 ,21使0)(F，这就意味着)(xF在,0上满足罗尔定理的条件。2 若)(xf在,ba上连续，在)0)(,(aba内可导，证明在),(ba内方程)()()()(222xfabafbfx至少存在一个实根。分析：构造辅助函数)()()()()(222xfabafbfxxF，验证罗尔定理的条件。作业： 1。整理练习部分2预习罗比塔法则第三讲 罗比塔法则(L Hospitals Rule)问题 1：罗比塔法则的使用范围：未定式的00和型问题 2：罗比塔法则的内容：（I）00型定理 1 设函数)(xf、)(xg满足：) 1(0)(lim)(limxgxfxaxxax)2(在点a的某去心领域内（或当Xx时） ，)(),(xgxf都存在且0)(xg)3(lxgxfxax)()(lim（可以为无穷大）则lxgxfxgxfaxax)()(lim)()(lim分析：利用柯西中值定理。练习：1）11lim1arctan2lim22xxxxxx2）31cossin3limcossin3sinlimsincossinlim02030 xxxxxxxxxxxxxx3）2coslimsinlimsin2lim000 xeexeexxxeexxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页学习必备欢迎下载（II ）型定理 2 设函数)(xf、)(xg满足：) 1()(lim)(limxgxfxaxxax)2(在点a的某去心领域内（当Xx时） ，)(),(xgxf都存在且0)(xg)3(lxgxfxax)()(lim（可以为无穷大）则lxgxfxgxfaxax)()(lim)()(lim练习：1）32sin6sinlim3tantanlim22xxxxxx2）01limlnlimxxxxx3）0!limlimxnxxnxenex（III ）待定型0、00、1、0例)(1lnlim)0(lnlim00 xxnxxxnx)00(1ln1lim)1(lnln1lim11ln1lim111xxxxxxxxxxxxx1limlim0lnlimln11eeexxxxxxxxx1limlim0lnlimln000eeexxxxxxxxx33ln03ln)ln(lim10lnlnlnlim3lim0abcecbaccbbaaecbaabcxxxxxxxxcbaxxxxxxxxx1lim)(tanlim0sin1tanlnlimtanlnsinlimtanlnsin0sin000eeeexxxxxxxxxxxx本节总结：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页学习必备欢迎下载法则仅适用于00和型，对于其他的未定型，必须化为00或才可用罗比塔法则；在求“幂指函数”的极限时，一般用对数解法，具体步骤：第一步：令)(xfy，取对数)(lnlnxfy；第二步：求Aylnlim；第三步：由连续性可求Ayeeylnlimlnlim如：)1(求xxxx1cos2sinlim解：设xxxyxxyx1cos2sinlnln,1cos2sin21c o s2si n1s i n2c o s2lim11cos2sinlnlim1cos2sinlnlimlnlimxxxxxxxxxxyxxxx所以2lnlim1cos2sinlimeexxyxxx)2(求xxxex1lim解：设)ln(1ln,1xxxexxyexy11lim1lim)ln(limlnlimxxxxxxxxxeeexexexy所以eeeexyxxxx1lnlim1lim数列极限不能直接使用罗比塔法则（数列不是连续变化的，无导数可言），但可以求。结论：若)(limxfx存在且等于A，则)(limnfn存在且等于A。如：求nnn24tanlim解：先求xxx24tanlim，设xxyxyx24tanlnln,24tan，而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页学习必备欢迎下载4224tan4sec224tan24seclim124tanlnlimlnlimexxxxyxxx因此424tanlimexxx，所以424tanlimennn。注：虽然只是一个形式的转变，但这样做是必要的，因为对数列求导数是无意义的。00和型不一定能用罗比塔法则，如果)()(limxgxfxax不存在，则该法则失效。如：1sin1limsinlimxxxxxxx11si nsi nlimsin1sinlim020 xxxxxxxxx罗比塔法则不是万能的。如：shxchxchxshxxxlimlimxexexexexexexxxxxxxxxcossinlimsincoslimcossinlim事实上111limlimlim22xxxxxxxxxeeeeeechxshx10101c o s1si n1limcossinlimxxxxxxexexxexe第四讲 泰勒公式一泰勒展开式线性函数（多项式）是最简单的函数，因为多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、乘运算。一些复杂的函数经常用多项式函数在近似表达。比如：xxxnxxexxnx)1ln(,111,1,sin所 有 这 些 函 数 都 是 用 一次 多 项 式 函 数 来 近 似 表示 的 函 数 ， 对xxsin来 说 ，xxPxxf)(,sin)(1并且满足)0()0(),0()0(11fPfP，其实从图形来看，这种近似存在着不足： 首先近似程度并不高，其次误差不能估计，为了提高近似程度可用二次多项式来近似。假设22102)(xaxaaxP且)0()0(),0()0(),0()0( 211fPfPfP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页学习必备欢迎下载于是可以确定多项式的系数：! 2)0(),0(),0( 210fafafa，所以2 2!2)0()0()0()(xfxffxP. 说明：若在0 x点相交，则)()(00 xfxPn；若有相同的切线，则)()(00 xfxPn；若弯曲方向相同，则)()(0 0 xfxPn依次类推可以得更高阶的近似公式：nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 定理 1 设函数)(xf在0 x点具有直到1n阶导数，则有：)(!)0(! 2)0()0()0()()(2 xRxnfxfxffxfnnn其中,)!1()()(1)1(nnnxnfxR在x和0之间，则称上式为函数在0 x附近关于x的幂级数的展开式（麦克劳林展开式）。注：)1 () 10( ,)!1()()!1()()(1)1(1)1(nnnnnxnxfxnfxR称为拉格朗日余项。)2(当n固定时0)(lim0 xRnx，且0)(lim0nnxxxR即)()(nnxoxR称为皮亚诺余项。更一般地可得函数)(xf在0 xx点附近关于0 x的幂级数展开式（泰勒展开式）定理 2 （泰勒中值定理）如果)(xf在含0 x点的某个开区间),(ba内具有直到1n阶导数，则对任一),(bax则有：)()(!)()(! 2)()()()(00)(200 000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn其中,)()!1()()(10)1(nnnxxnfxR在x和0 x之间。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页学习必备欢迎下载拉格朗日余项：) 10( ,)()!1()()()!1()()(10)1(10)1(nnnnnxxnxfxxnfxR皮亚诺余项：)()(0nnxxoxR注 ： 拉 格 朗 日 余 项 是 定 量 的 讨 论 结 果 ， 可 以 估 值 ， 对 固 定 的n， 当),(bax时 ，Mxfn)()1(，则10)()!1()(nnxxnMxR，而皮亚诺余项是定性的讨论结果。题目：第133页15题设)(xRn在0 xx的某邻域具有直到1n阶导数，0)0()0()0()1(nnnnRRR，用柯西中值定理证明)!1()()()()1(10nRxxxRnnn。证明：只要证明,)()!1()()(10)1(nnnxxnfxR在x和0 x之间。二 泰勒展开式的应用（一）展开基本初等函数（常用函数的麦克劳林展开式）例 1 ) 10()!1(!1! 21112nxnxxnexnxxe)(!1! 2112nnxxoxnxxe例 2 )10()!12(2) 12(sin)!12() 1(! 5! 3sin1212153mkkxmmxkxxxxx) 10()!22()1(cos)!2()1(! 4! 21cos22242mkxmmxkxkxxx例 3 )10()1)(1() 1(!) 1(! 3! 2)1ln(1132nnnnnxnxnxxxxx例 4 )(!)1()1(! 2)1(1)1(2xRxnnxxxnn其中)10()!1()1)()1()(11nnnxnxnxR（二）利用泰勒展开式求近似值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页学习必备欢迎下载例 应用三阶泰勒展开式求下列数的近似值：10725.3918158119191311391133033330899.0)10(! 311010sin18sin3（三）利用泰勒展开式求函数极限例 计算下列函数的极限121)(121lim)(04!2121)(! 4! 21limcoslim4440444244204202xxoxxxxxxoxxxexxxxx3131limsin)(!21)(! 3limsincossinlim33032233030 xxxxoxxxoxxxxxxxxx练习：1求下列函数的极限31)(31lim)(! 3)(! 21(lim)1 (sinlim3330323322030 xxoxxxxxoxxxoxxxxxxexxxx2设xxexxf111)1 ()(，求)(lim0 xfx. 解：先取对数1)1ln(1)(ln1xxxxf，而21)(3121lim)1ln(lim)(lnlim23320200 xxxoxxxxxxxfxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页学习必备欢迎下载因此21)(lnlim00)(limeexfxfxx. 作业：第143 页 10 题第五讲 函数的单调性与曲线的凹凸性一函数的单调性1函数单调性的定义：设)(xf在区间I上有定义，Ixx21,，且2xx，若)()(21xfxf，则函数)(xf是单调增加。如3xy，由定义容易验证在),(上是单调递增的函数。如果函数)(xf在,ba上单调增加（单调减少），那么它的图形是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线。若曲线上升，则其上各点处的切线斜率是非负的，即0)(xfy；若曲线下降，则其上各点处的切线斜率是非正的，即0)(xfy。由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的关系。微分中值定理是连接导数和函数的桥梁。设函数)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，则任意的21xx，根据拉格朗日定理知)()()()(211212xxxxfxfxf，由此可知函数的单调性的确定完全取决于)(f的符号。2 函数单调性的确定：定理：设函数)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导)1(在),(ba内0)(xf，则)(xf在,ba上单调递增；)2(在),(ba内0)(xf，则)(xf在,ba上单调递减。比如：函数3xy，032xy，当0 x时，032xy。结论 1函数)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，如果)0)(0)(xfxf且0)(xf点是孤立的（即不能构成小段形成区间），则)(xf单调增加（单调减少） 。例 1 讨论下列函数的单调性：（1）上，在20cosxxy（2）xxysin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页学习必备欢迎下载（3）xxyarctan例 2 讨论函数的单调性：) 1(1xeyx)2(32xy这两个函数在其定义域上都不是单调函数，但可以划分其定义区间使其在部分区间上单调。问题的关键是找单调增与单调减的分界点，分界点或为0)(xf的根，或为导数不存在的点。结论 2 如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程0)(xf的根以及)(xf不存在的点划分函数的定义区间，就能保证)(xf在各个部分区间内保持固定的符号。例 3 讨论函数296)(23xxxxfy的单调性。例 4 利用函数的单调性证明不等式：) 1(任意0 x，xxxx)1ln(1)2(证明当1x时，xeex)3(当0 x时，! 3sin3xxx二 曲线的凹凸性 (Concavity and Convex of Curvel ) 函数的单调性反映在图形上就是上升和下降，但就上升来说， 上升的方式也不一样。如2xy和21xy都单调增函数，但2xy是向下鼓，21xy是向上鼓，曲线的这种性质就是曲线的凹凸性。1凹凸的定义：设函数)(xf在区间I上有定义，对任意的Ixx21,，如果2)()(22121xfxfxxf，则)(xf在区间I上的图形是凹的；2)()(22121xfxfxxf，则)(xf在区间I上的图形是凸的。2凹凸性的判定：设函数)(xf在,ba上连续，在),(ba内具有一阶和二阶导数，如果) 1(在),(ba内0)( xf，则函数)(xf在,ba上图形是凹的；)2(在),(ba内0)( xf，则函数)(xf在,ba上图形是凸的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页学习必备欢迎下载例 1 判定下列曲线的凹凸性：) 1(xyln)2(3xy3曲线的拐点：曲线的凹凸性在某一点处发生了改变，则这样的点称为曲线的拐点。例 2 求曲线14334xxy的拐点及凹凸区间。练习：)1(求曲线3xy的拐点。)2(讨论函数xxy1arctan的凹凸性及其拐点。)3(求曲线4xy的拐点。例 3 利用函数图形的凹凸性证明不等式：第151 页 9 题。思考题：1讨论方程)0(lnaaxx有几个实根？2第 152 页的 14 题第六讲 函数的极值与最值一函数的极值：1极值的定义：设)(xf在0 x的某邻域有定义，任意的)(00 xUx，)()()()(00 xfxfxfxf，则称0 x是)(xf的极大值点（极小值点），)(0 xf是极大值（极小值） ，通称为极值。2极值的条件：定理 1（必要条件）函数)(xf在0 x点可导且0 x是函数)(xf的极值点，则0)(0 xf。定理 2 （必要条件）若0 x是函数)(xf的极值点，那么0 x只可能是)(xf的驻点或)(xf的不可导点。问题：如果0 x是驻点，则0 x不一定是函数的极值点。如32,xyxy. 问题：如果0 x是不可导点，则0 x也可能是极值点。如0,0,2,xxxxyxy. 定理 3（第一充分条件）设函数)(xf在0 x连续，且在0 x的某去心邻域),(0 xU内可导。) 1(在),(00 xx内0)(xf，而在),(00 xx内0)(xf，则0 x是极大值点。)2(在),(00 xx内0)(xf，而在),(00 xx内0)(xf，则0 x是极小值点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页学习必备欢迎下载)3(在),(0 xU内)(xf的符号没有发生改变，则在0 x无极值点。证明：直观而简单. 结论：求极值的方法步骤：第一步：求出函数)(xf的全部驻点和不可导点。第二步：根据第一充分条件确定极大值与极小值。例 求函数32)1()4()(xxxf的极值 . 分析：函数在1x不连续即为不可导点；利用对数求导法得313)1(5)(xxxf，驻点为1x。练习： 1 求函数23)5(xxy的极值 . 2 求函数32) 1(xxy的极值 . 定理 4（第二充分条件）设函数)(xf在0 x具有二阶导数，且0)(,0)(0 0 xfxf，则)1(如果0)(0 xf，则0 x是极大点 . )2(如果0)(0 xf，则0 x是极小点 . 证明 : 考虑能否用泰勒中值定理证明? 注意 :只有当0)(0 xf时才可以用第二充分条件;只有驻点才可以考虑用第二充分条件. 分析 : 1 求函数23)5(xxy的极值 . 2 求函数32) 1(xxy的极值 . 练习：求函数1)1()(32xxf的极值。分析： 函数有三个驻点：1, 1 , 0，但只有0点可以用第二充分条件判断，而1, 1只能用第一充分条件了。二 函数的最大值和最小值问题 1： 求函数)(xf在某区间,ba上最值的方法第一步：求出函数)(xf在),(ba内的驻点和不可导点；第二步：计算函数在驻点、不可导点、端点ba,处的函数值；第三步： 比较上述诸值的大小，最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。如:课本 160 页 4 题. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页学习必备欢迎下载例 1 求函数23)(2xxxf在4,3上的最大值和最小值。问题 2： 在实际问题中求目标函数的最值的方法函数)(xf在一个区间内可导且只有一个驻点，并且这个驻点0 x是函数的极值点， 那么，当)(0 xf是极大值时，)(0 xf就是)(xf在该区间上的最大值；当)(0 xf是极小值时，)(0 xf就是)(xf在该区间上的最小值。如:课本 161 页 6 题和 7 题. 在实际中往往根据问题的性质就可以断定可导函数)(xf确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得，这是如果)(xf在定义区间内部只有一个驻点0 x，那么不必讨论)(0 xf是不是极值，就可以断定)(0 xf是最大值或最小值。例 有边长为a的正方形铁皮，从各角截去同样的小正方形做成无盖的方匣，问截去多少使得方匣的容积最大？分析：设截去边长为x的小正方形，则目标函数为xxay2)2()20(x。课堂练习：研究课本157 页例 4、例 5、例 6。作业：第160 页 9、11、13 题第七讲 综合应用部分应用（一）描绘函数图形（微分作图法）1 曲线的渐近线：)1(渐近线的定义： 如果存在直线bkxyL :，使得当),(xxx时，曲线)(xfy上的动点),(yxM到直线L的距离0),(LMd，则称L为曲线)(xfy的渐近线。当直线L的斜率0k时，称L为斜渐近线。)2(渐近线的分类：垂直渐近线、斜渐进线、水平渐近线垂直渐近线如果)(lim0 xfxx，则0 xx是曲线的垂直渐近线。例11lim1xx，则1x是函数11xy图形的垂直渐近线；xkxtanlim2，则函数xytan有无限多条垂直渐近线。斜渐近线)0(k命题：直线bkxyL :为曲线)(xfy的渐近线的充分必要条件是：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页学习必备欢迎下载xxfkxxx)(lim，)(limkxxfbxxx水平渐近线)0(k例 求曲线的渐近线)1() 1(4) 3()(2xxxf解：因为)(lim1xfx，所以1x为曲线的垂直渐近线。又41)(limxxfkx，45)(limkxxfbx，所以斜渐近线为：4541xy。)2(xxxxf12)(2解：因为)(lim0 xfx，所以0 x为曲线的垂直渐近线。又2, 1 bk，所以斜渐近线为：2xy。2描绘函数的图像具体步骤：第一步：确定函数的定义域。第二步：观察函数是否具有某些特性（奇偶性、周期性）。第三步：观察函数是否具有垂直、斜渐近线，如果有求出来。第四步：求出函数的单调区间、极值；凹凸区间、拐点，并列表。第五步：确定函数的特殊点，如与坐标轴的交点、极值点、拐点等。例 1 画出函数2xey的图像。分析：定义域：),(；偶函数：（关于y轴对称）；0lim2xxe，所以0y是水平渐近线；如：课本164 页的例 2 例 2 画出函数) 1(4)3()(2xxxf的图形。分析：定义域：), 1 () 1 ,(；不具有特性（奇偶性、周期性）；) 1(4)3(lim21xxx，所以1x为垂直渐近线，斜渐近线为54yx；如：课本165 页的例 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页学习必备欢迎下载练习：1画出函数123xxxy的图形。分析：定义域为),(； 不具有特性；xxxfxf)(lim,)(lim，所以无渐近线；2描绘函数xxy12的图像。分析：定义域为：),1()1,(；)(lim,)(lim11xfxfxx，所以1x为垂直渐近线，斜渐近线为1xy；应用（二）求方程的近似解求方程的近似解的方法步骤：第一步：（根的隔离）确定根的大致范围，即确定一个隔离区间,ba，使所求的根是位于这个区间内的唯一实根。第二步： 以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求的满足精确度要求的近似解。方法 1：二分法设)(xf在,ba上连续，0)()(bfaf，并且0)(xf在,ba内仅有一个实根。方法 2：切线法设)(xf在,ba上有二阶导数，0)()(bfaf，并且)(),( xfxf在,ba上保持定号。例：用两种方法求方程04.19.01.123xxx的实根的近似值。作业：1 第 166 页习题 3-6 2 第 180 页习题 3-8 第八讲 平面曲线的曲率一曲线的曲率(Curvature)：在生产实践或工程技术中，常常要考虑曲线的弯曲程度，如厂房结构中的钢梁在外力的作用下会发生弯曲，弯曲到一定程度就会断裂，因此在设计时对他们的弯曲程度要有一定的限制，即要定量的研究曲线的弯曲程度。如何用数量来描绘曲线的弯曲程度呢？直觉认识到：直线不弯曲，半径较小的圆比半径较大的圆弯曲程度要大。那么曲线的弯曲程度与那些因素有关呢？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页学习必备欢迎下载曲线的弯曲程度不仅与其切线方向变化的角度有关，而且与曲线段的弧长有关，因此一段曲线的弯曲程度可以用sk来衡量， 即单位弧度段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度。1平均曲率：sk特别地：半径为R的圆，曲线段的平均曲率为：Rsk1（常数）对直线来说，0sk（直线不曲）2曲率：平均曲率的极限叫做曲线在一点处的曲率即sdsdks0lim，曲