2022年数值分析试B卷答案 .pdf

1 / 6 上海海事大学2018-2018学年第 2 学期研究生数值分析课程考试试卷B 答案）学生姓名：学号： 专业：一填空题 每小格 3 分共 33分）1.以线性迭代求解 Ax=b 时，迭代收敛的充要条件是迭代矩阵2.已知，是以整数点 0,1,2,n为节点的 Lagrange插值基函数，则：= x ，3.设则差商5 0 4.对于求解非线性方程，Newton 法的迭代公式是5.Newton-Cotes数值求积公式的代数精度至少具有n_次，当n 为偶数时，求积公式代数精度至少具有n_+1_次,且16. QR法是计算非奇异矩阵的 所有特征值和特征向量的计算方法7求解常微分方程初值问题的 Euler二步法公式为， 它是 2阶方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 / 6 二用基函数构造法，求一个次数不高于4 次的 Hermite插值多项式，使它满足：，。7分）解：解：；插值余项：，三 假设已知矩阵A 的某个特征值的近似值，即有，。试分析用什么方法可以修正特征值的近似值，并得到相应于特征值的特征向量。6 分）解：设，故是B的按模最小特征值。由反幂法可得：，作，即得，则对充分大的，即为特征值对应的特征向量）且：四 设 有 方 程 组Ax=b， 其 中A 为 对 称 正 定 矩 阵 ， 迭 代 公 式试证明：当时，迭代序列收敛。 其中是 A 的最大特征值）6 分）证明：可以得迭代矩阵，特征值为如，则，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 / 6 时，成立，所以迭代收敛。五设，其中 A是， 当取何范围值时 A 为正定。又取何范围值时， Jacobi 迭代为是收敛的。 0, ,得。如2D-A 也正定，则 Jacobi迭代收敛，所以, 得六给定求积公式试决定 A、B和 C使其具有尽可能高的代数精度，并指出所达到的代数精度的次数 =1 时左，右=A+B+C 当f(x=x 时左，右=x时左，右=x时的左，右，左右当f(x=x时左，右左右综上，当求积公式中求积系数取，时得到求积公式，其代数精度取到最高，此时代数精度为七. 求在-1,1 上的最佳二次逼近多项式。已知。5分）解因所以八证明用单步法求解初值问题，可以给出准确解 。 7分）解： 因：又由 taylor展开得：由此：，故当时，该法可得准确解。九试用关于互异节点和的插值多项式和构造出关于节点的不超过 n-1 次的多项式。7分）解：因为，且都为不超过n-2次的多项式，故，所以为不超n-1次多项式有得到所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 / 6 十证明：左矩形求积公式。设，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛的 。8分）解：因为：；故： =又：分划 a,b 得：，k=1,2, n得复合公式：所以：=其中：， 且有：十 一 对 于 初 值 问 题，若 函 数在 区 域，满 足条 件 ， 试说 明 二 阶 Runge-Kutta方法在条件下是收敛的。并用该方法求解初值问题，讨论绝对稳定性对步长的限制。8分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 / 6 解：因为：所以：， 其中由收敛定理得：二阶Runge-Kutta方法是收敛的。另：由，得。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页