2022年数字信号处理讲义滤波器方案方法 .pdf

个人资料整理仅限学习使用第章滤波器的设计方法教案目的1掌握由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2了解常用的窗函数，掌握低通IIR 滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR滤波器的方法；3掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。教案重点与难点重点：本章是本课程的重中之重，滤波器的设计是核心内容之一。1连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2常用的窗函数，掌握低通IIR滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR 滤波器的方法；3掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。难点：1. 冲激响应不变法，双线性变换法2. 用窗函数法设计 FIR 滤波器FIR滤波器的逼近原理与设计方法7.0 基本概念7.0.1选频滤波器的分类数字滤波器是数字信号处理的重要基础。在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中 , 数字滤波器是使用最广泛的线性系统。数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。因此，数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。我们已经知道，一个输入序列x(n，通过一个单位脉冲响应为h(n的线性时不变系统后，其输出响应 y(n为将上式两边经过傅里叶变换，可得式中， Y(ej、X(ej分别为输出序列和输入序列的频谱函数，H(ej 是系统的频率响应函数。可以看出，输入序列的频谱X(ej经过滤波后，变为 X(ejH(ej。如果 |H(ej|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(ej ，使得滤波后的 X(ejH(ej符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如图7-1所示。是以2 为周期的。 可以看出，输入序列的频谱X(ej经过滤波后，变为 X(ejH(ej。如果 |H(ej|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(ej精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用，使得滤波后的 X(ejH(ej符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如图7-1所示。是以2 为周期的。 图 7-1 数字滤波器的理想幅频特性满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于| | 的范围。由图 7-1可知，理想低通滤波器选择出输入信号中的低频分量，而把输入信号频率在c是非因果的，其单位脉冲响应从- 延伸到 + ，因此，无论用递归还是非递归方法，理想滤波器是不能实现的，但在概念上极为重要。一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图 7-2称容限图）所示，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围而不是理想的陡截止的通带、阻带两个范围）。图中1为通带的容限， 2为阻带的容限。图 7-2 低通滤波器频率响应幅度特性的容限图在通带内，幅度响应以最大误差 1逼近于 1，即| | p在阻带内，幅度响应以误差小于2而逼近于零，即s | |精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用式中， p, s分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是数字域频率。幅度响应在过渡带s-p）中从通带平滑地下降到阻带，过渡带的频率响应不作规定。虽然给出了通带的容限 1及阻带的容限 2，但是，在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减 波纹） Ap和阻带应达到的最小衰减As描述，Ap及As的定义分别为：7-1|=1(已被归一化 。例如|H(ej|在 p处满足 |H(ej p|=0.707，则Ap=3 dB；在 s处满足|H(ej s|=0.001，则As=60 dB 7.0.3 FIR型滤波器和 IIR 型滤波器数字滤波器按单位脉冲响应h(n的时域特性可分为无限长脉冲响应IIRInfinite Impulse Response ）滤波器和有限长脉冲响应FIRFinite Impulse Response ）滤波器。IIR滤波器一般采用递归型的实现结构。其N阶递归型数字滤波器的差分方程为7-2）式7-2）中的系数 ak至少有一项不为零。 ak 0 说明必须将延时的输出序列反馈回来，也即递归系统必须有反馈环路。相应的IIR滤波器的系统函数为在Z平面上不仅有零点，而且有极点。FIR滤波器的单位脉冲响应 h(n是有限长的，即 0 n N-1，该系统一般采用非递归型的实现结构，但如果系统函数中出现零、极点相消时, 也可以有递归型的结构 (如频率采样结构 。FIR滤波器的系统函数为7-4）由式的极点只能在 Z平面的原点。7.0.4滤波器的设计步骤按照实际任务要求，确定滤波器的性能指标。用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求。根据精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用不同要求可以用 IIR系统函数，也可以用 FIR系统函数去逼近。利用有限精度算法来实现这个系统函数。这里包括选择运算结构如第4章中的各种基本结构），选择合适的字长包括系数量化及输入变量、中间变量和输出变量的量化）以及有效数字的处理方法舍入、截尾）等。7.1由连续时间滤波器设计离散时间IIR 滤波器7.1.1滤波器设计的冲激响应不换法模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t，即将ha(t进行等间隔采样，使 h(n正好等于 ha(t的采样值，满足h(n=ha(nT 是ha(t的拉普拉斯变换， H(z为h(n的Z变换，利用采样序列的 Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得 (7-6 则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面，这个从s到z的变换z=esT是从S平面变换到 Z平面的标准变换关系式。图 7-3 脉冲响应不变法的映射关系2）混叠失真由式 这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即(7-8 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即 | | 但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图7-精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用4所示。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。图 7-4脉冲响应不变法中的频响混叠现象对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha(t进行采样，采样频率为 fs，若使 fs增加，即令采样时间间隔 T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。求拉普拉斯反变换得到模拟的冲激响应ha(t，然后采样后得到 h(n=ha(nT，再取 Z变换得 H(z，过程较复杂。下面我们讨论如何由脉冲响应不变法的变换原理将Ha(s直接转换为数字滤波器 H(z。设模拟滤波器的系统函数Ha(s只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次 其相应的冲激响应 ha(t是Ha(s的拉普拉斯反变换，即式中, u(t是单位阶跃函数。在脉冲响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉冲响应等于对ha(t的采样，即 (7-10 对h(n求Z变换，即得数字滤波器的系统函数将式和式 加以比较，可以看出：1）S平面的每一个单极点 s=sk变换到 Z平面上z=eskT处的单极点。与H(z的部分分式的系数是相同的，都是Ak。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用3）如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点sk位于S平面的左半平面，即 Resk0，则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即|eskT|=eReskT1，因此数字滤波器也是因果稳定的。的极点 sk以及系数Ak两者而变化。从式=Tha(nT (7-12 则有: (7-14 例 7-1设模拟滤波器的系统函数为试利用脉冲响应不变法将Ha(s转换成 IIR数字滤波器的系统函数 H(z。解直接利用式 以及数字滤波器的频率响应H(ej分别为 : 把|Ha(j |和|H(ej|画在图 7-5上。由该图可看出，由于Ha(j 不是充分限带的，所以 H(ej产生了严重的频谱混叠失真。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用图 7-5 例7-1的幅频特性4）优缺点从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率 和数字频率 之间呈线性关系 = T。因而，一个线性相位的模拟滤波器，而且高频衰减越快，混叠效应越小。至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。7.1.2双线性变换法1）变换原理脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到- /T /T之间，再用 z=esT转换到 Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到 S1平面的- /T /T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个 Z平面上去。这样就使 S平面与 Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图7-6所示。图 7-6 双线性变换的映射关系为了将 S平面的整个虚轴 j 压缩到S1平面j 1轴上的 - /T到 /T段上，可以通过以下的正切变换实现7-15）式中, T仍是采样间隔。当 1由- /T经过0变化到 /T时，由- 经过0变化到+ ，也即映射了整个 j 轴。将式 7-15）写成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用将此关系解读延拓到整个S平面和S1平面，令 j=s，j1=s1，则得再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面z=es1T从而得到 S平面和 Z平面的单值映射关系为：7-16）7-17）式7-16）与式 7-17）是S平面与 Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换2）逼近的情况式7-15）与式 7-16）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。1）首先, 把z=ej代入式5-43），可得7-18即S平面的虚轴映射到 Z平面的单位圆。2）其次，将 s= +j 代入式7-18），得因此由此看出，当 0时，|z|0时，|z|1。也就是说，S平面的左半平面映射到 Z平面的单位圆内， S平面的右半平面映射到 Z平面的单位圆外， S平面的虚轴映射到 Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。3）优缺点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为 S平面与 Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个 j 轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式7-18）所示，重写如下：上式表明， S平面上 与Z平面的 成非线性的正切关系，如图7-7所示。由图7-7看出，在零频率附近，模拟角频率与数字频率 之间的变换关系接近于线性关系；但当 进一步增加时， 增长得越来越慢，最后当 时， 终止在折叠频率= 处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。图7-7 双线性变换法的频率变换关系但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式7-18）及图 7-7所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图 7-8 所示。图 7-8 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用4）模拟滤波器的数字化方法双线性变换法比起脉冲响应不变法来，在设计和运算上也比较直接和简单。由于双线性变换法中， s到z之间的变换是简单的代数关系，所以可以直接将式7-15）代入到模拟系统传递函数，得到数字滤波器的系统函数，即7-19）频率响应也可用直接代换的方法得到7-20）应用式 时，若阶数较高，这时将 H(z整理成需要的形式，就不是一件简单的工作。为简化设计，一方面，可以先将模拟系统函数分解成并联的子系统函数子系统函数相加）或级联的子系统函数子系统函数相乘），使每个子系统函数都变成低阶的 例如一、二阶的），然后再对每个子系统函数分别采用双线性变换。也就是说，分解为低阶的方法是在模拟系统函数上进行的，而模拟系统函数的分解已有大量的图表可以利用，分解起来比较方便。另一方面，可用表格的方法来完成双线性变换设计，即预先求出双线性变换法中离散系统函数的系数与模拟系统函数的系数之间的关系式，并列成表格，便可利用表格进行设计了。设模拟系统函数的表达式为7-21）应用式 7-20）式得的系数与 H(z的系数之间的关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用图7-9 双线性变换时频率的预畸变1）如果给出的是待设计的带通滤波器的数字域转折频率，则直接利用式 的转折频率 1、2、3和4，经双线性变换后就映射到数字滤波器H(z精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用的原转折频率 1、2、3和4。 =2 fT 7-23）再利用式 的转折频率 、2、3和4, 经双线性变换后映射到数字滤波器H(z的转折频率 1、2、3、4，并且能保证数字域频率 1、2、3、4与给定的模拟域转折频率f1、f、f、f4成线性关系。为其频率响应为上述这些步骤比用脉冲响应不变法设计滤波器要简便得多需要特别强调的是，若模拟滤波器Ha(s为低通滤波器，应用变换得到的数字滤波器 H(z也是低通滤波器；若Ha(s为高通滤波器，应用变换得到的数字滤波器H(z也是高通滤波器。若为带通、带阻滤波器也是如此。在IIR数字滤波器的设计中，当强调模仿滤波器的瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好。 而在其余情况下，大多采用双线性变换法。7.1.3双线性变换法设计举例例7-2设计一个一阶数字低通滤波器，3 dB截止频率为 c=0.25 ，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。解数字低通滤波器的截止频率为c=0.25 ，相应的巴特沃思模拟滤波器的3 dB截止频率是 c，就有模拟滤波器的系统函数为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用将双线性变换应用于模拟滤波器，有由上题可知， T不参与设计，即双线性变换法中用设计与用设计得到的结果一致。例7-3用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为fs=4 kHz即采样周期为 T=250 s），其 3dB截止频率为fc=1 kHz。三阶模拟巴特沃思滤波器为解首先，确定数字域截止频率c=2 fcT=0.5 。第二步，根据频率的非线性关系式，得最后，将双线性变换关系代入就得到数字滤波器的系统函数应该注意，这里所采用的模拟滤波器Ha(s并不是数字滤波器所要模仿的截止频率fc=1 kHz的实际滤波器，它只是一个“ 样本” 函数，是由低通模拟滤波器到数字滤波器的变换中的一个中间变换阶段。图7-10给出了采用双线性变换法得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的幅频特性。由图可看出，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快。最后在折叠频率处形成一个三阶传输零点。这个三阶零点正是模拟滤波器在c= 处的三阶传输零点通过映射形成的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用图 7-10用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响7.2 IIR 滤波器的频率变换法图 7-11 两种等效的设计方法(a 先模拟频率变换，再数字化。(b 将(a的两步合成一步设计对于第一种方案，重点是模拟域频率变换，即如何由模拟低通原型滤波器转换为截止频率不同的模拟低通、高通、带通、带阻滤波器，这里我们不作详细推导，仅在表 7-2列出一些模拟到模拟的频率转换关系。一般直接用归一化原型转换，取c=1, 可使设计过程简化。表7-2 截止频率为 c的模拟低通滤波器到其它频率选择性滤波器的转换公式第二种方法实际上是把第一种方法中的两步合成一步来实现，即把模拟低通原型变换到模拟低通、高通、带通、带阻等滤波器的公式与用双线性变换得到相应数字滤波器的公式合并，就可直接从模拟低通原型通过一定的频率变换关系，一步完成各种类型数字滤波器的设计，因而简捷便利，得到普遍采用。此外，对于高通、带阻滤波器，由于脉冲响应不变法不能直接采用，或者只能在加了保护滤波器以后使用，因此，脉冲响应不变法使用直接频率变换要有许多特殊考虑，故对于脉冲响应不变法来说，采用第一种方案有时更方便一些。我们在下面只考虑双线性变换，实际使用中多数情况也正是这样。7.2.1模拟低通滤波器变换成数字低通滤波器首先，把数字滤波器的性能要求转换为与之相应的作为“ 样本” 的模拟滤波器的性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用能要求，根据此性能要求设计模拟滤波器，这可以用查表的办法，也可以用解读的方法。然后，通过脉冲响应不变法或双线性变换法，将此“ 样本” 模拟低通滤波器数字化为所需的数字滤波器H(z。例7-3已经说明了用双线性变换法设计低通滤波器的过程，这里再用脉冲响应不变法来讨论一下例 7-3的低通滤波器设计问题。例 7-4用脉冲响应不变法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为fs=4 kHz式就得到式中， c=cT=2 fcT=0.5 是数字滤波器数字频域的截止频率。将上式两项共轭复根合并，得从这个结果我们看到， H(z只与数字频域参数 c有关，也即只与临界频率fc与采样频率 fs的相对值有关，而与它们的绝对大小无关。例如fs=4kHz，fc=1 kHz与fs=40 kHz，fc=10kHz的数字滤波器将具有同一个系统函数。这个结论适合于所有的数字滤波器设计将c=cT=2 fcT=0.5 代入上式，得这个形式正好适合用一个一阶节及一个二阶节并联起来实现。脉冲响应不变法由于需要通过部分分式来实现变换，因而对采用并联型的运算结构来说是比较方便的。图7-12给出了脉冲响应不变法得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响幅度特性，同时给出例 7-5双线性变换法设计的结果。由图可看出，脉冲响应不变法存在微小的混淆现象，因而选择性将受到一定损失，并且没有传输零点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页个人资料整理仅限学习使用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页