2022年数值分析试卷及其答案 .pdf

1、 （本题 5 分）试确定722作为的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。解因为722=3.142857=1103142857.0=3.141592所以31210211021005.0001264.0722（ 2 分）这里，3,21,0nnmm由有效数字的定义可知722作为的近似值具有3 位有效数字。（1 分）而相对误差限310210005.00004138.0001264.0722r（2 分）2、 （本题 6 分）用改进平方根法解方程组：654131321112321xxx；解设111111131321112323121321323121llldddlllLDLAT由矩阵乘法得：57,21,21527,25,2323121321lllddd（3 分）由yDxLbLyT1,解得TTxy)923,97,910(,)563,7 ,4(（3 分）3、 （本题 6 分）给定线性方程组17722238231138751043214321321431xxxxxxxxxxxxxx1）写出 Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；2）考查 Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的敛散性；解1）Jacoib 迭代格式为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页7)2217()8()2323(8)311(10)57()(3)(2)(1)1(4)(4)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(4)(3)1(1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx（2 分）Gauss-Seidel 迭代格式为7)2217()8()2323(8)311(10)57()1(3)1(2)1(1)1(4)(4)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(4)(3)1(1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx（ 2 分）2）由于所给线性方程组的系数矩阵72211823038151010A是严格对角占优的，所以 Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式均是收敛的。 （2 分）4、 （本题 6 分）已知方程08.023xx在5 .10 x附近有一个根。将此方程改写成如下2 个等价形式：8.0,8.0332xxxx构造如下两个迭代格式：1）,2, 1 , 0,8 .0321kxxkk2）,2 ,1 , 0,8 .031kxxkk判断这两个迭代格式是否收敛；解1）记328.0)(xx，则322)8 .0(32)( xxx，14 7 5 5.005.31)5.18.0(1)5 .18 .0(35 .12)5.1 ( 32322322（2 分）所以该迭代格式是局部收敛的。（1 分）2）记8.0)(3xx，则8 .023)( 32xxx，1103.28.05 .125.13) 5. 1 ( 32（2 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页所以该迭代格式是发散的（ 1分）5、 （本题 6 分）设23)()(axxf（1）写出解0)(xf的牛顿迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。解（1）因23)()(axxf，故)(6)( 32axxxf，由牛顿迭代公式)( )(1nnkkxfxfxx，, 1 ,0k（1 分）得kkkkkkkxaxaxxaxxx665)(6)(32231，, 1 , 0k（2 分）（2）因迭代函数2665)(xaxx，3365)( xax，（1 分）3*ax故021)(365)( 33*aax此牛顿迭代格式是线性收敛的。（2 分）6、 （本题 9 分）给定数据（1）写出)(xf的 3 次 Lagrange 插值多项式)(3xL；（2）写出)(xf的 3 次 Newton 插值多项式)(3xN；解（1）由题意知5, 3, 2,03210 xxxx2)(,4)(, 3)(, 1)(3210 xfxfxfxf)()()()()()(30201032103xxxxxxxxxxxxxfxL)()()()()(3121013201xxxxxxxxxxxxxf)()()()()(3212023102xxxxxxxxxxxxxfx 0 2 3 5 f(x) 1 -3 -4 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页)()()()()(2313032103xxxxxxxxxxxxxf（3 分）)52)(32)(02()5)(3)(0()3()50)(30)(20()5)(3)(2(1xxxxxx)35)(25)(05()3)(2)(0(2)53)(23)(03()5)(2)(0()4(xxxxxx)5)(3(21)5)(3)(2(301xxxxxx)3)(2(151)5)(2(32xxxxxx（2 分）（2）用牛顿插值公式，构造差商表（3 分）则有)3)(2)(0(51)2)(0(31)0(21)(3xxxxxxxN)3)(2(51)2(3121xxxxxx（1 分）7、 （本题 6 分）作一个5 次多项式)(xH使得2)4( , 1)2( ,2)1 ( 3)4(, 1)2(,3)1 (HHHHHH解构造有重节点的牛顿插商表（4 分）则有)2() 1(11)1(6) 1(23)(22xxxxxH)4()2()1(3655)2()1(6252222xxxxx（2 分）0 1 2 323 41315 2 3 34511 3 1 3 2 2 1462 11 5 11 4 3 2 21236254 3 2 0 411253655精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页8、 （本题 6 分）已知数据如下，试用二次多项式来拟合：ix0 1 2 3 4 5 6 iy15 14 14 14 14 15 16 解设xxyy3,14，则上表可化为ix3210 1 2 3 iy1 0 0 0 0 1 2 这时，取2210)(,)(, 1)(xxxxx，并设所求二次多项式为)()()()(2*21*10*0*2xaxaxax，容易得到71),(33200i，0),(3310iix，28),(33220iix28),(33211iix，0),(33321iix，196),(33422iix4),(330iiyy，5),(331iiiyxy，31),(3322iiiyxy（3 分）得正规方程组如下：31196285284287*2*0*1*2*0aaaaa解得285,285,71*2*1*0aaa即228528571xxy（2 分）回代得2)3(285)3(2857114xxy（1 分）9、 （本题 5 分）给定求积节点,43,4110 xx试推出计算积分10)(dxxf的插值型求积公式解由于43,4110 xx所以)34(21434143)(0 xxxl（1 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页) 14(21414341)(1xxxl（1 分）21)34(21)(101000dxxdxxlA（1 分）21)14(21)(101011dxxdxxlA（1 分）故求积公式为)43()41(21)(10ffdxxf（1 分）10、 （本题 6 分）分别用梯形公式和辛普森公式计算积分：91dxx4n解（1）用梯形公式4n，2419h2277402.17)9()(2)1(2314fxffhTii（3 分）（2）用辛普森公式332087.17)9()(2)(4) 1 (63130214fxfxffhSiiii（3 分）11 、（ 本 题8分 ） 求 高 斯 型 求 积 公 式)()()(110010 xfAxfAdxxfx的 系 数.,1010 xxAA及节点解令为权的二次正交多项式构造以xxxx)(,1 , 0, 1)(0：)()()()()()()(01122011xxxxxxx（1 分）由53),(),(1021102100001dxxxdxxx得53)(1xx再由5111111. 04523)53()53(),(),(102212102111112dxxxdxxxxx（2 分）06857.017512)53(),(),(10211022100111dxxdxxx（1 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页得23809666.011111.106857.0)53)(4523()(22xxxxx所以0)(2x的根为821159. 0,289951.010 xx（2 分）389112.0)(277555.0)(100101011101011000dxxxxxxdxxl xAdxxxxxxdxxl xA（ 2分）12、 （本题 6 分）设)(xf为k次多项式，nxxxx,210为1n个互异点，)(xLn为)(xf的n次插值多项式。若nk，试证)()(xfxLn。解：因为)(xf为k次多项式，所以，!)()(kxfk（2 分）又因为nk，故有0)()1(xfn（2 分）由插值关系可知：)()()!1()()()(1)1(xLxnxfxLxfnnnn（2 分）所以，)()(xfxLn13、 （本题 10 分）设5335A，求21,AAA及谱半径)(A。解由定义得88, 8max111maxniijnjaA（2 分）88 , 8max11maxnjijniaA（2 分）又由于)(max2AAAT，而3430303453355335AAT（2 分）)4)(64(30)34(3430303422IAAT所以，8642A。（2 分）因为)2)(8(9)5(53352IA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页所以8)(A（2 分）14、 （本题 6 分）写出用4 阶经典龙格 -库塔法求解初值问题2)0(38yyy的计算公式，并取步长2.0h，计算)4.0(y的近似值，小数点后至少保留4 位。解yyxf38),(，于是nnnnnnnnnnnnnnykyhxhfkykyhxhfkykyhxhfkyyxhfkkkkkyy3156.08416.0),(47.0264.1)2,2(42.012.1)2,2(6.06 .1),()22(61322312143211（4 分）故nnyy5561. 02016. 11，由于2)0(0yy故4883.2)4.0(3138.2)2.0(21yyyy（2 分）15、 （本题 9 分）给定矩阵9 .033399A试用幂法求出A的按模最大的特征值，精确至5位有效数解幂法计算公式：取0u，作如下迭代：1kkAuv，)max(kkvm，kkkmvu，,2 ,1k其中)max(kv表示kv中（首次出现的）绝对值最大的分量，则)(lim1kkm（1 分）计算如下：110u9.33102119. 03339901Auv1021m（2 分）3323529. 011u2 9 9 1 1 7 6 1.339970587.993323529.019.03339912Auv精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页9970587.992m（2 分）3330097.012u2 9 9 7 0 0 8 7.339990029.993330097.019 .03339923Auv9990029.993m（2 分）3330033.013u2 9 9 7 0 0 3.339990099.993330033. 019. 03339933Auv9990099.994m999.991（2 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页