2022年数学建模课后习题作业 .pdf

学习资料欢迎下载选修课数学建模部分习题详细解答【陈文滨】1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？【模型假设】（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 ( 没有像台阶那样的情况) ，即从数学的角度看，地面是连续曲面这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言， 地面是相对平坦的因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰( 即使是连续变化的) ，此时三只脚是无法同时着地的。【模型建立】在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180 度后， 椅子仍在原地把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度 这一变量就表示了椅子的位置为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD ，以对角线AC所在的直线为x 轴，对称中心O为原点， 建立平面直角坐标系椅子绕 O点沿逆时针方向旋转角度 后，长方形 ABCD 转至精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 33 页学习资料欢迎下载A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角（0 ）表示出椅子绕点O旋转 后的位置其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地 由于椅子在不同的位置是 的函数， 因此， 椅脚与地面的竖直距离也是 的函数由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是 的函数而由假设(3) 可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的，其函数值至少有三个同时为0因此，只需引入两个距离函数即可考虑到长方形ABCD是中心对称图形， 绕其对称中心 O 沿逆时针方向旋转180后， 长方形位置不变，但 A,C 和 B,D 对换了因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f （）， C、D两脚与地面竖直距离之和为g（），其中 0 ， ，从而将原问题数学化。数学模型：已知f（）和 g（ ）是 的非负连续函数，对任意，f （）?g( ) 0，证明：存在00 ， ，使得 f （0） g（0） 0 成立。【模型求解】如果 f （ 0） g（0） 0，那么结论成立。如果 f （ 0）与 g（ 0）不同时为零，不妨设f （ 0） 0，g（0） 0。这时，将长方形ABCD绕点 O逆时针旋转角度 后，点 A，B分别与 C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f （） g（0）， g（） f （0）. 而由 f （0） 0，g（0） 0，得g（） 0， f （ ） 0。令 h（ ） f( ) g（ ），由 f( )和 g( ) 的连续性知h( ) 也是连续函数。又 h（0） f(0)g（0） 0，h（） f( )g（） 0，, 根据连续函数介值定理，必存在 0（ 0，）使得 h（ 0） 0，即 f（0） g（0） ；又因为 f （0）?g（ 0） 0，所以 f （0） g（0） 0。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。【模型讨论】用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键本模型的巧妙之处就在于用变量 表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 33 页学习资料欢迎下载2、人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河【模型假设】人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。【符号说明】1X：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0；2X：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0；3X：代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0；4X：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0；1234(,)KSXXXX：状态向量，代表时刻K左岸的状态；1234(,)KDXXXX：决策向量，代表时刻K船上的状态；【模型建立】限制条件：23134202XXXXX初始状态：00(1,1,1,1),(0,0,0,0)SD目标：确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由(1,1,1,1)(0,0,0,0)【模型求解】根据乘法原理，四维向量1234(,)XXXX共有4216种情况，根据限制条件可以排除(0,1,1,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1)三种情况， 其余 13 种情况可以归入两个集合进行匹配，易知可行决策集仅有五个元素：(1,1,1,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,0,0,0),(0,0,0,0)D, 状态集有 8 个元素，将其进行匹配，共有两种运送方案：方案一：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 33 页学习资料欢迎下载方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表2）。表 1：方案一的状态与决策时刻左岸状态KS船上KD0K（1,1,1,1）（ 0,0,0,0）1K（0,1,0,1）（ 1,0,1,0）2K（1,1,0,1）（ 1,0,0,0）3K（0,1,0,0）（ 1,0,0,1）4K（1,1,1,0）（ 1,0,1,0）5K（0,0,1,0）（ 1,1,0,0）6K（1,0,1,0）（ 1,0,0,0）7K（0,0,0,0）（ 1,0,1,0）表 2：方案二的状态与决策时刻左岸状态KS船上KD0K（1,1,1,1）（ 0,0,0,0）1K（0,1,0,1）（ 1,0,1,0）2K（1,1,0,1）（ 1,0,0,0）3K（0,0,0,1）（ 1,1,0,0）4K（1,0,1,1）（ 1,0,1,0）5K（0,0,1,0）（ 1,0,0,1）6K（1,0,1,0）（ 1,0,0,0）7K（0,0,0,0）（ 1,0,1,0）3、 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 33 页学习资料欢迎下载纸赔。报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。【符号说明】报纸具有时效性每份报纸进价b元，卖出价 a 元，卖不完退回份报纸c 元。设每日的订购量为 n，如果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。为了获得最大效益，现在要确定最优订购量n。n 的意义。 n 是每天购进报纸的数量，确定n 一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。所以，笔者认为n 的意义是双重的。本题就是让我们根据a、 b、c 及 r 来确定每日进购数n。【模型假设】1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量n。2、假设报纸每日的需求量是r ，但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量r 的分布函数 , 只知道每份报纸的进价b、售价 a 及退回价c。3、假设每日的定购量是n。4、报童的目的是尽可能的多赚钱。【模型建立】应该根据需求量r 确定需求量n，而需求量r 是随机的，所以这是一个风险决策问题。而报童却因为自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。但是要得到 n 值，我们可以从卖报纸的结果入手，结合 r 与 n 的量化关系， 从实际出发最终确定n 值。由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、 赔钱会有三种结果。现在用简单的数学式表示这三种结果。1、赚钱。赚钱又可分为两种情况: rn ，则最终收益为(a-b)n (1) r0 整理得： r/n(b-c)/(a-c) (2) 2、由 (2) 式容易得出不赚钱不赔钱。r/n=(b-c)/(a-c) (3) 3、赔钱。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 33 页学习资料欢迎下载r/nbc, 可得 a-ca-b ， 而(a-b)恰好是卖一份报纸赚得的钱。然后采用放缩法，把(2) 式中的 (a-c)换成 (a-b) ，得到r/n(b-c)/(a-b) (5) 不等式依然成立。由(5) 式再结合 (1) 式可知收益与n 正相关， 所以要想使订购数n 的份数越多， 报童每份报纸赔钱 (b-c) 与赚钱 (a-b) 的比值就应越小。 当报社与报童签订的合同使报童每份报纸赔钱与赚钱之比越小，订购数就应越多。5、赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。现在考虑八人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg）和轻量级组（桨手体重不超过73kg），建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5% 。【符号说明】符号意义l艇长b艇宽P总功率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 33 页学习资料欢迎下载A艇排水体积W艇与浆手总重0W赛艇净重1W重量级浆手重量2W轻量级浆手总重s艇的浸没面积1V重量级艇速2V轻量级艇速F艇前进时受到的阻力1t重量级赛艇成绩（时间）2t轻量级赛艇成绩（时间）比例常数【模型假设】1/lb为常数，赛艇净重0W与浆手数目成正比，即08W；2赛艇前进时收到阻力与2sv成正比；3. 每个浆手比赛时划桨功率保持不变，且功率与体重成正比。【模型建立】克服阻力做功功率为Fst，因此总功率满足PFv，且2,Fsv PW，我们用量纲法进行建模：对于重量级八人赛艇：111PFV (1) 211FsV (2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 33 页学习资料欢迎下载11PW (3) 由上述各式有：311WsV，因此1311WVs (4) 且已知23sA (5) 又赛艇总重018WWW; 由于假设2 可知：08Ww（w为常数）， 因此有1()WWw。我们如下定义：111WwW (6) 从而11WW (7) 根据阿基米德定律AW, 根据（ 7）式：11AW (8) 将（ 8）式代入（ 5）式中有：2311sW (9) 将（ 9）式代入（ 4）式中有：2193111VW (10) 因为 V与 t 成反比，有：2193111tW (11) 同理，对于轻量级快艇，我们有：2193222tW (12) 结合（ 11）与（ 12）式，我们可以知道两种快艇成绩比值的关系：2193111222tWtW（13）【模型求解】根据（ 13）式，我们有重量级八人赛艇比轻量级八人赛艇的成绩领先率为：219311122211tWtW259911122211tWwWtWwW我们令 W1=86kg ，W2=73kg 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 33 页学习资料欢迎下载在12十分接近1 时，13286110.5615.61%73tt；在12,wW wW的情况下，791286110.13613.6%73tt。模型求解的结果表明86kg 重量级 8 人赛艇的成绩至少可以73kg 比轻量级赛艇成绩好5.6%，成绩提升的上限约为13% 。【模型讨论】这个模求解结果表明，各个参赛选手训练，配合水平相近的情况下，对于浆手数量相同的赛艇比赛，有以下途径提升成绩：在竞赛许可范围内增加运动员体重；尽可能减少赛艇重量；这也说明了为什么赛艇项目是西方发达国家的传统强项，因为这些国家普遍生活水平高，远动员身体素质较好，体重较大； 而且这些国家科技比较发达，对于制作赛艇的新材料研制走在了世界前列，其赛艇重量比一般国家要轻。7、 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t的人口为)(tx, 单位时间内人口的增量与)(txxm成正比 （其中mx为最大容量） . 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较. 【模型建立】现考察某地区的人口数，记时刻t的人口数为tx（一般tx是很大的整数）, 且设tx为连续可微函数 . 又设00|xtxt. 任给时刻t及时间增量t, 因为单位时间内人口增长量与)(txxm成正比 , 假设其比例系数为常数r. 则t到tt内人口的增量为：ttxxrtxttxm)(. 【模型求解】两边除以t, 并令0t, 得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 33 页学习资料欢迎下载0)0()(xxxxrdtdxm解为rtmmexxxtx)()(08、 一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品， 1 桶牛奶可以在设备甲上用12 小时加工成 3 公斤 A1，或者在设备乙上用8 小时加工成4 公斤 A2。根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1 获利 24 元，每公斤A2获利 16 元。现在加工厂每天能得到50 桶牛奶的供应， 每天工人总的劳动时间为480 小时，并且设备甲每天至多能加工100 公斤 A1，设备乙的加工能力没有限制。（1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。（2）33元可买到1 桶牛奶，买吗？（3）若买，每天最多买多少?（4）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? (5)A1的获利增加到30 元/ 公斤，应否改变生产计划？【模型假设】每天生产将x 桶牛奶加工成A1， y 桶牛奶加工成A2，所获得的收益为Z 元。加工每桶牛奶的信息表: 产品A1 A2 所需时间12 小时8 小时产量3 公斤4 公斤获利 / 公斤24 元16 元【模型求解】x+y0 则，牛奶33 元/ 桶 可以买。(3) 若不限定牛奶的供应量，则其优化条件变为： W=39x+31y 12 x8 y48003 x100y0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 33 页学习资料欢迎下载解得，当x=0，y=60 时 ， Wmax=1860元则最多购买60 桶牛奶。(4) 若将全部的利润用来支付工人工资，设工资最高为n 元。 n=Wmax/480=3.875（元）(5) 若 A1 的获利为30 元，则其优化条件不变。Z1=90 x+64y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 33 页学习资料欢迎下载解得，当 x=0， y=60 时， Z1max=3840 （元）因此，不必改变生产计划。9、 建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k， 销售速率为常数r，rk 在每个生产周期内，开始的一段时间00Tt一边生产一边销售，后来的一段时间)(0TtT只销售不生产，画出贮存量)(tg的图形 . 设每次生产准备费为1c，单位时间每件产品贮存费为2c，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论rk和rk的情况 . 【模型建立】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 33 页学习资料欢迎下载建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数k，销售速率为常数r，rk在每个生产周期内，开始的一段时间00Tt一边生产一边销售，后来的一段时间)(0TtT只销售不生产，画出贮存量)(tg的图形 . 设每次生产准备费为1c，单位时间每件产品贮存费为2c【模型求解】由题意可得贮存量)(tg的图形如下：贮存费为niTiitTTrkcdttgctgc10202022)()()(lim又)()(00TTrTrkTkrT0 , 贮存费变为kTTrkrc2)(2于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTrkrcTckTTrkrcTcTC2)(2)()(21221krkrcTcdTdC2)(221. 0dTdC令 , 得)(221rkrckcT易得函数处在TTC)(取得最小值，即最优周期为：)(221rkrckcTrcc，Trk212时当 . 相当于不考虑生产的情况. rk)(tgrtgT0TO 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 33 页学习资料欢迎下载，Trk时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量. 10、在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设tqtq0)(，为增长率. 又设单位时间的销售量为)( 为价格pbpax. 今将销售期分为TtTTt220和两段，每段的价格固定， 记作21, pp. 求21, pp的最优值，使销售期内的总利润最大. 如果要求销售期T 内的总售量为0Q，再求21, pp的最优值 . 【模型求解】按分段价格，单位时间内的销售量为TtTbpaTtbpax2,20 ,21又tqtq0)(. 于是总利润为202221121)()()()(),(TTTdtbpatqpdtbpatqppp=22)(022)(20222011TTttqtpbpaTttqtpbpa=)8322)()822)(20222011TtqTpbpaTTqTpbpa)(2)822(12011bpaTTTqTpbp)(2)8322(22022bpaTTtqTpbp0,021pp令, 得到最优价格为: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 33 页学习资料欢迎下载)43(21)4(210201TqbabpTqbabp在销售期T内的总销量为20221210)(2)()(TTTppbTaTdtbpadtbpaQ于是得到如下极值问题：)8322)()822)(),(max2022201121TtqTpbpaTTqTpbpappts.021)(2QppbTaT利用拉格朗日乘数法，解得：880201TbTQbapTbTQbap即为21, pp的最优值 . 11、某厂生产甲、乙两种产品, 一件甲产品用A原料 1 千克 , B原料 5 千克；一件乙产品用A原料 2 千克 , B原料 4 千克 . 现有A原料 20 千克 , B原料 70 千克 . 甲、乙产品每件售价分别为 20 元和 30 元. 问如何安排生产使收入最大？【模型建立】设安排生产甲产品x 件, 乙产品 y 件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为： max S=20 x+30y s.t. Zyxyxyxyx, 0,7045202【模型求解】这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 33 页学习资料欢迎下载可行域为：由直线1l：x+2y=20, 2l:5x+4y 70 2l y 以及 x=0,y=0 组成的凸四边形区域. 直线l：20 x+30y=c 在可行域内l平行移动 . 易知：当l过1l与2l的交点时，1l x S取最大值 . 由7045202yxyx解得510yx此时maxS2053010350（元）12 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物体积（立方米 / 箱）重量（百斤 / 箱）利润（百元 / 箱）甲5 2 20 乙4 5 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24 立方米，重量不超过13 百斤 . 试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润. 【模型建立】设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x,2x, 所获利润为z.则问题的数学模型可表示211020maxxxzZyxxxxxxxst, 0,13522445212121【模型求解】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 33 页学习资料欢迎下载这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线2445:211xxl1352:212xxl及0, 021xx组成直线cxxl211020:在此凸四边形区域内平行移动 . 易知：当l过l1与l2的交点时，z取最大值由135224452121xxxx解得1421xx90110420maxz. 13、在 5.3 节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4ba初始兵力00yx 与相同 . (1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定. (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援 , 重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负 . 【模型建立】用tytx,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数 , 则正规战争模型可近似表示为: 2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 33 页学习资料欢迎下载000,01,yyxxbxdtdyaydtdx【模型求解】现求 (1) 的解 : (1)的系数矩阵为00baAababbaAE1,22. 01212,21，对应的特征向量分别为tabtabeCeCtytx1212121的通解为. 再由初始条件，得2220000tabtabeyxeyxtx又由.1aybxdxdy可得其解为3,202022bxaykkbxay而(1) .231000202011yabyabxayaktytx时，当即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y又令. 0222,01100001tabtabeyxeyxtx）得由（注意到000020022,1xyyxeyxtab得. .43ln,3121btetab(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援 . 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 33 页学习资料欢迎下载000,)0(4yyxxbxdtdyraydtdx.,4rdyaydybxdxbxraydydx即得由相轨线为,222kbxryay.222220.020karbxaryabxryayk或此相轨线比书图11 中的轨线上移了.ar乙方取胜的条件为.,0222020arxabaryk亦即14、在 6.1 节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h(1) 分别就4/rNh，4/rNh，4/rNh这 3 种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况(2) 如何获得最大持续产量，其结果与6.1 节的产量模型有何不同【模型建立】设时刻 t 的渔场中鱼的数量为tx，则由题设条件知：tx变化规律的数学模型为hNxrxdttdx)1 ()(记hNxrxxF)1()(【模型求解】(1). 讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：由0 xF，得0)1 (hNxrx即102hrxxNr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 33 页学习资料欢迎下载)4(42NhrrNrhr，(1) 的解为：2412,1NrNhNx当4/rNh，0，(1) 无实根，此时无平衡点；当4/rNh，0，(1) 有两个相等的实根，平衡点为20Nx. NrxrNrxNxrxF2)1()(，0)(0 xF不能断定其稳定性. 但0 xx及0 xx均有04)1()(rNNxrxxF，即0dtdx0 x不稳定；当4/rNh，0时，得到两个平衡点：2411NrNhNx，2412NrNhNx易知：21Nx，22Nx，0)(1xF，0)(2xF平衡点1x不稳定，平衡点2x稳定.(2) 最大持续产量的数学模型为0)(. .maxxFtsh即)1(maxNxrxh，易得2*0Nx此时4rNh，但2*0Nx这个平衡点不稳定这是与6.1 节的产量模型不同之处x Nxrx/12x2/N1x4/rNh4/rNh4/rNh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 33 页学习资料欢迎下载要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2Nx，且尽量接近2N，但不能等于2N16、对于 7.1 节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1k时段的价格1ky由第1k和第k时段的数量1kx和kx决定，如果仍设1kx仍只取决于ky，给出稳定平衡的条件，并与7.1 节的结果进行比较. （2）若除了1ky由1kx和kx决定之外，1kx也由前两个时段的价格ky和1ky确定 .试分析稳定平衡的条件是否还会放宽. 【模型建立】（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：)()2(111kkkkkyhxxxfy【模型求解】在),(000yxP点附近用直线来近似曲线hf ,，得到)2(0,)()1(0),2(0010101yyxxxxxyykkkkk由（ 2）得)3()(0102yyxxkk（1）代入（ 3）得)2(0102xxxxxkkk0012222xxxxxkkk对应齐次方程的特征方程为022特征根为48)(22, 1当8时，则有特征根在单位圆外，设8，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 33 页学习资料欢迎下载248)()4(2222, 1212, 1即平衡稳定的条件为2与207P的结果一致 . （2）此时需求函数、供应函数在),(000yxP处附近的直线近似表达式分别为：)5(0,)2()4(0),2(01010101yyyxxxxxyykkkkkk由（ 5）得，)() yyy(y)x(xkkk62010203将（ 4）代入（ 6），得)2()2()(20101203xxxxxxxxkkkkk001234424xxxxxxkkkk对应齐次方程的特征方程为(7)02423代数方程（ 7）无正实根，且42, 不是（ 7）的根 . 设（ 7）的三个非零根分别为321,，则424321133221321对（ 7）作变换：,12则, 03qp其中)6128(41),122(412233322qp精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 33 页学习资料欢迎下载用卡丹公式：33233223332233223323321)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2pqqwpqqwpqqwpqqwpqqpqq其中,231iw求出321,，从而得到321,，于是得到所有特征根1的条件 . 18、在1. 9节传送带效率模型中, 设工人数n固定不变 . 若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m，比如增加一倍，其它条件不变另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变， 于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样 试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好【模型建立】两种情况的钩子数均为m2第一种办法是m2个位置，单钩放置m2个钩子；第二种办法是m个位置，成对放置m2个钩子【模型求解】 由1. 9节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为nmnmD21112当mn2较小，1n时，有mnmnnmnmD41181211122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 33 页学习资料欢迎下载ED1，mnE4 下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于m个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m个钩对任一只钩对被一名工人接触到的概率是m1；任一只钩对不被一名工人接触到的概率是m11；记mqmp11,1由工人生产的独立性及事件的互不相容性得，任一钩对为空的概率为nq，其空钩的数为m2；任一钩对上只挂上件产品的概率为1nnpq，其空钩数为m所以一个周期内通过的m2个钩子中，空钩的平均数为1122nnnnnpqqmnpqmqm于是带走产品的平均数是122nnnpqqmm，未带走产品的平均数是122nnnpqqmmn）此时传送带效率公式为1111112222nnnnmmnmnmnnpqqmmD 近似效率公式：由于321621121111mnnnmnnmnmn2112211111mnnmnmn26211mnnD当1n时，并令1DE，则226mnE 两种办法的比较：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 33 页学习资料欢迎下载由上知：mnE4，226mnEmnEE32/ ，当nm时，132mn，EE所以第二种办法比第一种办法好20、某甲早8：00 从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00 到达山顶并留宿. 次日早 8：00 沿同一路径下山，下午5：00 回到旅店 . 某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点. 为什么？【模型建立】我们以山下旅店为始点记路程, 设从山下旅店到山顶的路程函数为)(tf(即 t 时刻走的路程为)(tf), 同样设从山顶到山下旅店的路函数为)(tg, 并设山下旅店到山顶的距离为a(a0). 【模型求解】,0)8(faf)17(,ag)8(,0)17(g. 令)()()(tgtfth, 则有0)8()8()8(agfh，0)17()17()17(agfh，由于)(tf,)(tg都是时间t 的连续函数 , 因此)(th也是时间t 的连续函数 , 由连续函数的介值定理,17, 80t, 使0)(0th, 即)()(00tgtf. 21、已知某商品在k时段的数量和价格分别为kx和ky，其中 1 个时段相当于商品的一个生产周期 . 设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kkkxxfy和)(1kkygx. 试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 【模型建立】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 33 页学习资料欢迎下载商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kkkxxfy和)(1kkygx. 设曲线f和g相交于点),(000yxP，在点0P附近可以用直线来近似表示曲线f和g【模型求解】0, )2(0101xxxyykkk -（ 1）0,)(001yyxxkk - -（2）由（ 2）得)(0102yyxxkk -（3）（1）代入（ 3），可得)2(0102xxxxxkkk,2, 1,2220012kxxxxxkkk， -（4）上述（ 4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022容易算出其特征根为48)(22, 1 -（5）当8 时，显然有448)(22 -（6）从而22，2在单位圆外下面设8，由 (5) 式可以算出22, 1要使特征根均在单位圆内，即2, 11，必须2故0P点稳定平衡条件为2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 33 页学习资料欢迎下载22、设某渔场鱼量)(tx( 时刻t渔场中鱼的数量) 的自然增长规律为：)1 ()(Nxrxdttdx其中r为固有增长率 ,N为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h. （1）求渔场鱼量的平衡点, 并讨论其稳定性; （2）试确定捕捞强度mE, 使渔场单位时间内具有最大持续产量mQ, 并求此时渔场鱼量水平*0 x. （1）【模型建立】)(tx变化规律的数学模型为hNxrxdttdx)1()(【模型求解】记hNxrxxf)1 ()(, 令0)1(hNxrx，即02hrxxNr-（1）)4(42NhrrNrhr， （1）的解为：2412, 1NrNhNx当0时，（ 1）无实根，此时无平衡点；当0时，（ 1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx. NrxrNrxNxrxf2)1()(，0)(0 xf不能断定其稳定性. 但0 xx及0 xx均有04)1()(rNNxrxxf，即0dtdx0 x不稳定； 当0时，得到两个平衡点：2411rNhNNx，2412rNhNNx易知21Nx，22Nx0)( 1xf，0)( 2xf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 33 页学习资料欢迎下载平衡点1x不稳定，平衡点2x稳定 . （2）【模型建立】最大持续产量的数学模型为：0)(. .maxxftsh【模型求解】)1 (maxNxrxh，易得2*0Nx此时4rNh，但2*0Nx这个平衡点不稳定. 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2Nx, 且尽量接近2N, 但不能等于2N. 23、某工厂生产甲、乙两种产品, 生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：品种原材料能源消耗 ( 百元 ) 劳动力 ( 人) 利润 (千元 ) 甲2 1 4 4 乙3 6 2 5 现有库存原材料1400 千克；能源消耗总额不超过2400 百元；全厂劳动力满员为2000 人.试安排生产任务( 生产甲、乙产品各多少件), 使利润最大 , 并求出最大利润. 【模型建立】设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为ZyxyxyxyxyxtsyxS,0,020002424006140032. .54max【模型求解】用图解法 .可行域为：由直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 33 页学习资料欢迎下载0,0200024:24006:140032:3:21yxyxlyxlyxl及组成的凸五边形区域. 直线Cyxl54:在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l过31ll 与的交点时， S取最大值 . 由200024140032yxyx解得：200,400 yx260020054004maxS（千元） . 故安排生产甲产品400 件、乙产品200 件, 可使利润最大 , 其最大利润为2600 千元 . 24、证明 8.1 节层次分析模型中定义的n阶一致阵A有下列性质：（1）A的秩为 1，唯一非零特征根为n；（2）A的任一列向量都是对应于n的特征向量 . 证明：（1）由一致阵的定义知：A满足ikjkijaaa，nkji,2, 1,于是对于任意两列ji,，有ijjkikaaa，nk,2 , 1. 即i列与j列对应分量成比例. 从而对A作初等行变换可得：00000011211nbbbA初等行变换 B