2022年数学高考专题复习多参数问题的解法 .pdf

优秀学习资料欢迎下载多参数问题的解法常用方法有：一、分离变量法。若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例 1已知当xR 时，不等式a+cos2x54sinx+45a恒成立，求实数a的取值范围。分析 ：在不等式中含有两个变量a 及 x，其中 x 的范围已知（ xR） ，另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a及 x 分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x3 即45aa+2 上式等价于2)2(4504502aaaa或04502aa，解得54a8. 说明 ：注意到题目中出现了sinx 及 cos2x，而 cos2x=12sin2x,故若把 sinx 换元成 t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。另解（先确定主元） ：a+cos2x54sinx+45a即a+12sin2x0,( t1,1) 恒成立。设 f(t)= 2t24t+4a+45a则二次函数的对称轴为t=1, f(x) 在1， 1内单调递减。只需 f(1)0, 即45aa2.(下同 ) 例 2 已知函数f(x) 在定义域（， 1上是减函数， 问是否存在实数k， 使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数x 恒成立？并说明理由。分析 ：由单调性与定义域，原不等式等价于ksinxk2sin2x 1 对于任意xR 恒成立，这又等价于)2()21(sin41) 1(sin12222xkkxk对于任意x R 恒成立。不等式（ 1）对任意xR 恒成立的充要条件是k2(1+sin2x)min=1,即1k1-(3) 不等式（ 2）对任意xR 恒成立的充要条件是k2k+41(sinx21)2max=49, 即 k1 或 k 2,-(4) 由（ 3） 、 （ 4）求交集，得k=1,故存在 k=1 适合题设条件。说明 ：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。二、选择恰当的参数作为主元（其余视为常量）例 3、已知 f(x) 是定义在 -1,1上的奇函数,且 f(1)=1 ，若 a,b -1,1,a+b 0 有babfaf)()( 0. （1）判断函数f(x) 在 -1,1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式f(x+21)f();11x（3）若 f(x)m2-2am+1，对所有x -1,1,a -1,1恒成立，求实数m 的取值范围 . 解答：（1）任取 x21, x -1,1,且 x1x2，则 -x2 -1,1,又 f(x)是奇函数，于是有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载f (x1)-f (x2)=f (x1)+f (-x2)=)()()(2121xxxfxf(x1-x2),由已知)()()(2121xxxfxf0,x1-x20, 所以 f (x1)-f (x2)0，即 f (x1)f (x2).所以函数f(x) 在 -1,1上是增函数. (2)因为函数f(x) 在 -1,1上是增函数，所以不等式f(x+)21 f()11x等价于不等式组：,1121, 1111, 1211xxxx由得 -;2123x由得 x0，或 x2;由得 x-1,或 1x.23所以原不等式的解集为x|-x23-1. (3)因为函数f(x) 在 -1,1上都是增函数，且f(1)1,故对所有的x -1,1,有 f(x) 1. 由已知，对所有的 x -1,1 ， a -1,1 ,f(x) m恒成立122am， 有 m122am1 成立，即 mam220.记 g(a)=-2am+ma对所有的,2 -1,1 ， g(a) 0 成立，只需g(a)在 -1,1上的最小值大于等于0.即,0) 1(, 0) 1(gg解得： m -2,或 m=0，或 m2. 故 m 的取值范围为m-2,或 m=0，或 m2. 注：第（ 1）中的 a,b 可分别视为12,x x，第（ 3）涉及到3 个变量 x,m,a，对于右边的两个参数m,a 要善于选择恰当的参数作为主元，运用一次函数的单调性。例 4、4322210,xxaxbxaxa bRab已知关于 的方程有实数根，则的最小值为。24224422264234222222222210,113114235111333639943623333x ax bxa bxa bxxabxxxxxxxtxttxxtttttttttttt3分析：化为 x视为主元， 视为常数，看作关于的直线方程法二：52212ab2类题：、方程 x +ax+b=0有不小于的实根，则的最小值是分析：222224222221211161151xxxxabxxx。2、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载43ABC1D25422221a已知fx =x +ax+b, xR且x0 ，若实数 a,b 使得f x =0有实根，xx则a +b的最小值为，分析：选择A。222222111f x22, 22,2315,16xa xbtatbtxxxxuutut222ta +b 的最小值 =的最小值的最小值94=u+的最小值 =u5三、根据函数的单调性、值域特征或不等式的解集特征对多参数分步讨论例 5、已知函数f xaxx( )()10， （1）若fxx( )2在 1，）上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若函数yf x( )在 m，n上的值域是()mn mn，求实数a 的取值范围。解答：（1）xxa21在（ 1，）上恒成立，即12axx恒成立，设xxxh12则ah x( )在（ 1，）上恒成立h xx( )2102h x( )在 1，）上单调递增hxhmin( )( )1故ah( )1即a3a的取值范围为（，3） ， （2）由题意知nm0时，由（ 1）知fx( )在（ 0，）上单调递增mf mnf n()( )，f xx( )有两个不相等的正根即xax210有两个不相等的正根m， n a00a2例 6、已知不等式x2 3x+t0 的解集为 x|1xm, mR(1) 求 t, m 的值；(2)若 f(x)= x2+ax+ 4 在( ,1)上递增，求不等式log a ( mx2+3x+2 t)0 的解集。解答： (1) 由条件得：tmm131，所以22tm(2)因为 f(x)= (x2a)2+4+42a在( ,1)上递增，所以2a1，a2 log a ( mx2+3x+2 t)= log a ( 2x2+3x)0=log a 1 所以013203222xxxx，所以211230 xxx或所以 0 x21或 1x23例 7、已知 an是首项为2，公比为21的等比数列，Sn为它的前 n 项和（1）用 Sn表示 Sn+1;（2）是否存在自然数c 和 k，使得21cScSkk成立技巧与方法本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型在探讨第2 问的解法时， 采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想即对双参数k,c 轮流分类讨论，从而获得答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载解（ 1）由 Sn=4(1n21） ，得221)211 (411nnnSS， (nN*) （2）要使21cScSkk，只要0)223(kkScSc因为4)211 (4kkS所以0212)223(kkkSSS，(kN*)故只要23Sk2cSk， （kN*）因为 Sk+1 Sk，(kN*) 所以23Sk 223S12=1又 Sk4，故要使成立，c 只能取 2 或 3当 c=2 时，因为 S1=2，所以当k=1 时， cSk不成立，从而不成立当 k2 时，因为cS252232，由 Sk Sk+1(kN*)得23Sk223Sk+12 故当 k2 时，23Sk2 c，从而不成立当 c=3 时，因为 S1=2， S2=3，所以当 k=1， k=2 时， c Sk因为cS4132233，又23Sk223Sk+12 所以当 k3 时，23Sk2c，从而成立综上所述，不存在自然数c,k,使21cScSkk成立四、根据相关参数的联系引入新参数以减少参数的个数例 8设直线l过点 P（ 0，3） ，和椭圆xy22941顺次交于A、B两点，试求APPB的取值范围 . 分析 ：本题中，绝大多数同学不难得到：APPB=BAxx，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 思路 1:从第一条想法入手，APPB=BAxx已经是一个关系式，但由于有两个变量BAxx ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3 个变量直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将BAxx ,转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. 把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去y得到关于 x 的一元二次方程xA= f（k） ，xB = g（k）求根公式AP/PB = （ xA / xB）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载解 1：当直线l垂直于 x 轴时，可求得51PBAP；当l与 x 轴不垂直时， 设)(,2211yxByxA，直线l的方程为：3kxy，代入椭圆方程，消去y得045544922kxxk，解之得.4959627222,1kkkx因为椭圆关于y 轴对称，点P在 y 轴上，所以只需考虑0k的情形 . 当0k时，4959627221kkkx，4959627222kkkx，所以21xxPBAP=5929592922kkkk=59291812kkk=25929181k. 由049180)54(22kk, 解得952k，所以51592918112k，综上511PBAP. 思路 2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来 . 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21xxPBAP不是关于21, xx的对称关系式 . 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21, xx的对称关系式. 把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程， 消去 y得到关于 x 的一元二次方程xA+ xB = f（k） ，xA xB = g（k）韦达定理AP/PB = （ xA / xB）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载解 2：设直线l的方程为：3kxy，代入椭圆方程，消去y得045544922kxxk（* ）则.4945,4954221221kxxkkxx令21xx，则，.20453242122kk在（ *）中，由判别式,0可得952k，从而有5362045324422kk，所以536214，解得551. 结合10得151. 综上，511PBAP. 例 9、 （20XX 年湖南高考题）已知函数 f(x)lnx，g(x)21ax2bx，a0. （）若b2，且 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a 的取值范围；（）设函数f(x)的图象 C1与函数g(x)图象 C2交于点P、Q，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C1，C2于点 M、N，证明 C1在点 M 处的切线与C2在点 N 处的切线不平行. 解：（I）xaxxxhb221ln)(,22时，则.1221)(2xxaxaxxxh因为函数h(x)存在单调递减区间，所以)(xh0 时，则 ax2+2x 10 有 x0 的解 . 当 a0 时， y=ax2+2x1 为开口向上的抛物线，ax2+2x10 总有 x0 的解；当 a0 总有 x0 的解；则 =4+4a0,且方程 ax2+2x1=0 至少有一正根 .此时， 1a0. 综上所述， a的取值范围为（1，0）（ 0，+） . （ II）设点 P、Q 的坐标分别是（x1, y1） ， （x2, y2） ，0 x1x2. 则点 M、 N 的横坐标为,221xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载C1在点 M 处的切线斜率为,2|1212121xxxkxxxC2在点 N 处的切线斜率为.2)(|212221bxxabaxkxxx假设 C1在点 M 处的切线与C2在点 N 处的切线平行，则k1=k2. 即bxxaxx2)(22121，则)2()(2)()(2)(21212221221222112bxxabxxaxxbxxaxxxx=.lnln1212xxyy所以.1)1(2ln121212xxxxxx设,12xxt则.1,1)1(2lntttt令.1,1)1(2ln)(tttttr则.)1()1() 1(41)(222ttttttr因为1t时，0)(tr，所以)(tr在, 1）上单调递增 . 故.0)1 ()(rtr则ttt1)1(2ln. 这与矛盾，假设不成立. 故 C1在点 M 处的切线与C2在点 N 处的切线不平行. 注：1212,xxxxt本题中根据 0，对两个参数，引入一个新参数达到了消元的目的。练习：1、22log (21)0mxaxxma若对于任意实数，关于 的方程恒有解。则实数的取值范围是分析：222log (21)02100,1440axxmaxxaaaa恒有解。能取遍一切正实数或2、设函数232( )cos4 sincos43422xxf xxtttt，xR，其中1t ，将( )f x的最小值记为( )g t （ I）求( )g t的表达式；（II ）讨论( )g t在区间( 11)，内的单调性并求极值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载解： （I）232( )cos4 sincos43422xxfxxtttt222sin12 sin434xtxttt223sin2 sin433xtxttt23(sin)433xttt由于2(sin)0 xt，1t ，故当sin xt时，( )f x达到其最小值( )g t，即3( )433g ttt（II ）我们有2( )1233(21)(21)1g ttttt，列表如下：t12，1212 2，12112，( )g t00( )g t极大值12g极小值12g由此可见，( )g t在区间112，和112，单调增加，在区间1 12 2，单调减小，极小值为122g，极大值为42g3、32/1A 1,1B,3012,3xabcfm fmbs tastx设函数 f=ax +bx +cx，其图象在点，处的切线的斜率分别为，-a.求证： 01, （ ）若函数的递增区间为，求的取值范围，（ ）若当 xk时（ k是与 a,b,c 无关的常数），恒有f+a0，试求 k的最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载/2/2222/2/121212112,120,2 ,220444800,21122032fxaxbxc fabccab fmambmcabbambmcaba acbabaabbabcfxaxbxcaabcfxaa分析：或01。 有两个不等的实根，设两根为 x ,x ，且x =1,x =-1=0 x ，当xx 或xx时，/212112/22222mi2,20,22,422320220221022033000bfxfxs tstabbbxaxbxacxxaaabbbbxaaaagxxkgx0当xxx 时，增区间xxx -xf+a=0,xx构造新函数 g=x 是关于的一次或常数函数，对于 01恒成立。即x-1 或x-1n3-14、设函数12)(xmxxf的图象关于直线y=x 对称 .（1）求 m 的值；（2）若直线y=a(aR)与 f(x)的图象无公共点，且)4(2)23|2(|afatf，求实数 t 的取值范围 . 解答：（1）由mxxxfmyyxxmxy2)(2121得由已知得，.12)(.1)()(1xxxfmxfxf从而（2）由（ 1）知，), 1() 1 ,()(, 1131)(值域为即xfxxf由已知得 :a=1 于是33(|2|)2(4 )(|2|)2(4)4.223|2|2713524|2|4|2| 2|2|.32222|2|12ftafaftfttttttt即即或5、 （20XX 年高考辽宁卷（22） ）已知函数)0)(ln()(aaexfx. （）求函数)(xfy的反函数)()(1xfxfy及的导数);(xf（）假设对任意0)(ln(|)(|),4ln(),3ln(1xfxfmaax不等式成立，求实数m 的取值范围 . （I）解：由y=f(x)=ln( exa)得 x=ln(ey a)，所以y=f1(x)=ln( ex a)（xlna） aeeaexfxxx)ln()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载(II) 解法一：由)(ln()(1xfxfm0 得)ln(lnaeeaexxxmxxxeaeaeln)ln(即对于 xln(3 a)，ln(4a)恒有)()(aeaeexxxemxxeae2)(设 t= ex，u(t)=atatt)(， (t)=tat22，于是不等式化为u(t)em (t) t3a，4a 当 t1t2，t1、t23a， 4a时，u(t2) u(t1)=)()()()()(212212112111222atatattattttatattatatt0 .0)()()()(2312212211221222212ttttatttttattattvtv所以)(),(tvtu都是增函数 . 因此当4,3aat时，)(tu的最大值为)(,512)4(tvaau的最小值为,38)3(aav而不等式成立当且仅当),3()4(aveaum即aeam38512，于是得).38ln()512ln(ama解法二：由0)(ln(|)(|1xfxfm得.)ln()ln()ln()ln(xaeaemxaeaexxxx设,)ln()ln()(,)ln()ln()(xaeaexxaeaexxxxx于是原不等式对于)4ln(),3ln(aax恒成立等价于).()(xmx由1)(,1)(aeeaeexaeeaeexxxxxxxxx，注意到,0aeeaexxx故有0)(,0)(xx，从而可)()(xx 与均在)4ln(),3ln(aa上单调递增，因此不等式成立当且仅当).3(ln()4(ln(ama即).38ln()512ln(ama精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页