2022年高考数学二轮考点专题突破圆锥曲线的概念及性质 .pdf

学习必备欢迎下载第二讲圆锥曲线的概念及性质一、选择题1(2010 安徽 )双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为() A.22，0B.52，0C.62，0D(3，0) 解析： 原方程可化为x21y2121， a21，b212， c2 a2b232，右焦点为62，0 . 答案： C 2(2010 天津 )已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程是y3x，它的一个焦点在抛物线y224x 的准线上，则双曲线的方程为() A.x236y21081 B.x29y2271 C.x2108y2361 D.x227y291 解析： 渐近线方程是 y3x，ba3.双曲线的一个焦点在y224x 的准线上， c6.又 c2a2b2，由知，a29，b2 27，此双曲线方程为x29y2271. 答案： B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载4(2010 辽宁 )设抛物线 y28x 的焦点为F，准线为 l， P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足如果直线AF 的斜率为3，那么 |PF|() A43 B8 C83 D16 解析： 解法一： AF 直线方程为：y3(x2)，当 x 2 时， y43， A(2,43)当 y4 3时代入 y2 8x 中， x6，P(6,43)，|PF|PA|6(2)8.故选 B. 解法二： PAl， PAx 轴又 AFO 60 ， FAP60 ，又由抛物线定义知PAPF， PAF 为等边三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载又在 RtAFF中， FF 4，FA8， PA8.故选 B. 答案： B 5高 8 m 和 4 m 的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为() A圆B椭圆C 双曲线D抛物线解析： 如图 1，假设 AB、 CD 分别为高 4 m、8 m 的旗杆， P 点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于BPA DPC，则 Rt ABP Rt CDP，BAP ADCPC，从而PC2PA.在平面 APC 上，以 AC 为 x 轴， AC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(图2)，则 A( 5,0)，C(5,0)，设 P(x，y)，得x52y22x 52y2化简得 x2 y2503x25 0，显然， P 点的轨迹为圆答案： A 二、填空题解析： 由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则cb? c2b2a2c2? e20)的焦点为F，点 A(0， 2)若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_解析： Fp2，0 ，则 Bp4，1 ， 2pp41，解得 p2. B24，1 ，因此 B 到 该抛物线的准线的距离为24223 24. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载答案：3248(2010 北京 )已知双曲线x2a2y2b21 的离心率为2，焦点与椭圆x225y291 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_解析： 椭圆x225y29 1的焦点为 ( 4,0)，双曲线的焦点坐标为( 4,0)， c4，ca 2，c2a2b2， a2，b212，双曲线方程为x24y2121，渐近线方程为 ybax 3x，即3x y0. 答案： ( 4,0)3x y0 即 xD3c2，由椭圆的第二定义得|FD |ea2c3c2a3c22a.又由 |BF|2|FD|，得 a2a3c2a，整理得 a2 3c2，即 e213，解得 e33. 答案：33三、解答题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载10已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程解： 解法一：设椭圆的标准方程是x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)，两个焦点分别为 F1、F2，则由题意，知2a|PF1|PF2|2 5， a5.在方程x2a2y2b21 中，令 x c，得 |y|b2a.在方程y2a2x2b21 中，令 y c，得 |x|b2a.依题意知b2a235，b2103.即椭圆的方程为x253y2101 或y253x2101. 解法二： 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，则|PF1|453，|PF2|253. 由椭圆的定义，知2a|PF1|PF2|2 5，即 a5. 由|PF1|PF2|知， PF2垂直于长轴故在 RtPF2F1中， 4c2|PF1|2|PF2|2609，c253，于是 b2a2c2103. 又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为x253y2101 或3x210y251. 11(2010 湖北 )已知一条曲线C 在 y 轴右边， C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线 C 的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A、B 的任一直线，都有 FA FB0)，化简得 y24x(x0)(2)设过点 M(m,0)(m0)的直线 l 与曲线 C 的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)设 l 的方程为xtym，由xtym，y2 4x得y24ty4m0， 16(t2 m)0，于是y1y24t，y1y2 4m.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载又FA(x11，y1)，FB(x21，y2)，FA FB0? (x11)(x2 1) y1y2 x1x2 (x1x2)1y1y20. 又 xy24，于是不等式等价于y214y224y1y2y214y22410?y1y2216y1y214(y1y2)22y1y210，由式，不等式等价于m2 6m14t2，对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t 成立等价于m26m10，即 3 2 2m322. 由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A，B 的任一直线，都有 FA FB0，b0)，离心率e52，顶点到渐近线的距离为2 55. (1)求双曲线 C 的方程；(2)如图， P 是双曲线 C 上一点， A， B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若AP PB， 13， 2 ，求 AOB 面积的取值范围解：解法一： (1)由题意知， 双曲线 C 的顶点 (0，a)到渐近线axby0 的距离为2 55，aba2 b22 55，即abc255. 由abc255，ca52，c2a2b2得a2，b1，c5，双曲线C 的方程为y24x21. (2)由(1)知双曲线C 的两条渐近线方程为y 2x. 设 A(m,2m)，B(n,2n)，m0，n0. 由AP PB PB得 P 点的坐标为m n1，2 mn1 ，将 P 点坐标代入y24 x2 1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载化简得 mn124，设 AOB2 ， tan22，tan 12，sin 2 45. 又|OA|5m，|OB|5n，SAOB12|OA| |OB| sin 22mn12 1 1. 记 S( )12 11， 13，2 ，则 S ( )12112由 S ( )0 得 1，又 S(1)2，S1383，S(2)94，当 1 时， AOB 的面积取得最小值2，当 13时， AOB 的面积取得最大值83. AOB 面积的取值范围是2，83. 解法二： (1)同解法一(2)设直线 AB 的方程为y kxm由题意知 |k|0. 由ykxm，y2x得 A 点的坐标为m2k，2m2k，由ykxmy 2x，得 B 点的坐标为m2k，2m2k. 由AP= PB得 P 点的坐标为m1 12k2k，2m1 12k2k，将 P 点坐标代入y24 x2 1 得4m24k212. 设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点，则Q 点的坐标为 (0，m)SAOB SAOQ SBOQ12|OQ| |xA|12|OQ| |xB|12m (xA xB)12mm2 km2k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载124m24k212 11. 以下同解法一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页