2022年数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学打印 .pdf

名师精编优秀资料数列专题复习一、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断方法：定义法1(nnaad d为常数）或11(2)nnnnaaaan。如设na是等差数列， 求证：以 bn=naaan21*nN为通项公式的数列nb为等差数列。2、等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanm d。如(1) 等差数列na中，1030a，2050a，则通项na（答：210n）；（2） 首项为 -24 的等差数列， 从第 10 项起开始为正数， 则公差的取值范围是_ （答：833d）3、等差数列的前n和：1()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad。如（ 1） 数列na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前 n 项和152nS，则1a ，n（答：13a，10n）；（2） 已知数列na的前n 项和212nSnn，求数列|na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN）. 4、等差中项： 若,a A b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA。提醒 ： （1）等差数列的通项公式及前n和公式中， 涉及到 5 个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知3 求 2。 （ 2） 为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，2 , ,2ad ad a ad ad （ 公 差 为d）； 偶 数 个 数 成 等 差 ， 可 设 为 ，3 ,3ad ad ad ad,（公差为2d）5、等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数， 且斜率为公差d；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页名师精编优秀资料（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（ 3）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa. 如（ 1）等差数列na中，12318,3,1nnnnSaaaS，则n_（答： 27） ； (4)若na、nb是等差数列，则nka、nnkapb(k、p是非零常数) 、*(,)pnqap qN、232,nnnnnS SS SS， 也成等差数列， 而naa成等比数列； 若na是等比数列，且0na，则lgna是等差数列 . 如等差数列的前n 项和为 25， 前 2n 项和为 100， 则它的前 3n 和为。（答：225）（5）在等差数列na中，当项数为偶数2n时，SSnd偶奇；项数为奇数21n时，SSa奇偶中，21(21)nSna中（这里a中即na） ；1-n:nS偶奇：S。如（ 1） 在等差数列中，S1122，则6a_（答： 2） ；（2）项数为奇数的等差数列na中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31） . （ 6 ） 若 等 差 数 列na、nb的 前n和 分 别 为nA、nB， 且( )nnAf nB， 则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB. 如设 na与nb 是两个等差数列， 它们的前n项和分别为nS和nT，若3413nnTSnn，那么nnba_（答：6287nn）(7) “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等 差 数 列 中 ， 前 n 项 和 的 最 小 值 是 所 有 非 正 项 之 和 。 法 一 ： 由 不 等 式 组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（ 1） 等差数列na中，125a，917SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页名师精编优秀资料值。 （答：前 13 项和最大，最大值为169） ；（2）若na是等差数列，首项10,a200320040aa，200320040aa，则使前n 项和0nS成立的最大正整数n 是（答： 4006）（3）在等差数列na中，10110,0aa，且1 11 0|aa，nS是其前n项和，则（）A、1210,S SS都小于 0，1112,SS都大于 0B、1219,S SS都小于 0，2021,SS都大于 0C、125,S SS都小于 0，67,S S都大于 0D、1220,S SS都小于 0，2122,SS都大于 0（答： B）(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意 ：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab. 二、等比数列的有关概念：1 、 等 比 数 列 的 判 断 方 法 ： 定 义 法1(nnaq qa为常数）， 其 中0 ,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。如 （ 1） 一个等比数列na共有21n项，奇数项之积为100， 偶数项之积为120， 则1na为_ （答：56） ； （ 2）数列na中，nS=41na+1 (2n)且1a=1， 若nnnaab21，求证：数列nb是等比数列。2、等比数列的通项：11nnaaq或nmnmaa q。如等比数列na中，166naa，21128na a，前n项和nS126，求n和q.（答：6n，12q或 2）3、等比数列的前n和：当1q时，1nSna； 当1q时，1(1)1nnaqSq11naa qq。如（ 1） 等比数列中，q2， S99=77，求9963aaa（答： 44） ；（2）)(1010nnkknC的值为 _（答： 2046） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页名师精编优秀资料特别提醒： 等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时， 首先要判断公比q是否为 1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为 1 时，要对q分1q和1q两种情形讨论求解。4、等比中项： 若,a A b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。 提醒 ：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数, ()a b ab的等差中项为A，等比中项为B，则 A与 B的大小关系为 _（答： AB ）提醒 ： （1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5 个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知3 求 2； （ 2） 为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，22, ,aaa aq aqqq（公比为q） ；但偶数个数成等比时，不能设为33,aqaqqaqa，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。 （答： 15， ,9，3,1 或 0,4，8,16）5. 等比数列的性质：（ 1）当mnpq时，则有mnpqaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa. 如（ 1） 在等比数列na中，3847124,512aaa a，公比q 是整数，则10a=_（答： 512） ；（2） 各项均为正数的等比数列na中，若569aa， 则3 13 23 1 0l o gl o gl o gaaa（答： 10） 。(2)若na是等比数列，则|na、*(,)p nqap qN、nka成等比数列；若 nnab、成等比数列， 则nna b、nnab成等比数列；若na是等比数列， 且公比1q，则数列232,nnnnnS SS SS，也是等比数列。当1q，且n为偶数时，数列232,nnnnnS SS SS，是常数数列0，它不是等比数列.如 （ 1 ） 已 知0a且1a， 设 数 列nx满 足1lo g1lo gananxx(*)nN， 且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页名师精编优秀资料12100100 xxx，则101102200 xxx. （答：100100a） ；（2）在等比数列na中，nS为其前 n 项和，若140,1330101030SSSS，则20S的值为 _（答： 40）(3) 若10,1aq，则na为递增数列；若10,1aq,则na为递减数列；若10,01aq，则na为递减数列； 若10,01aq, 则na为递增数列； 若0q，则na为摆动数列；若1q，则na为常数列 . (4)当1q时，baqqaqqaSnnn1111，这里0ab，但0,0ab，是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据nS，判断数列na是否为等比数列。如若na是等比数列，且3nnSr，则r（答： 1）(5) mnm nmnnmSSq SSq S. 如设等比数列na的公比为q，前n项和为nS，若12,nnnSS S成等差数列，则q的值为 _（答： 2）(6)在等比数列na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS奇偶. (7)如果数列na既成等差数列又成等比数列，那么数列na是非零常数数列，故常数数列na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如 设数列na的前n项和为nS（Nn） ，关于数列na有下列三个命题：若)(1Nnaann，则na既是等差数列又是等比数列；若RbanbnaSn、2，则na是等差数列； 若nnS11，则na是等比数列。 这些命题中， 真命题的序号是（答：）三、数列通项公式的求法一、公式法)2()111nSSnSannn（；na等差、等比数列na公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页名师精编优秀资料例已知数列na满足123 2nnnaa，12a，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式123 2nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列na的通项公式。二、累加法例 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列na的通项公式。例已知数列na满足112 313nnnaaa，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式12 31nnnaa转化为12 31nnnaa，进而求出11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa， 即得数列na的通项公式。三、累乘法例已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana， 进而求出13211221nnnnaaaaaaaaa，即得数列na的通项公式。四、取倒数法例已知数列 na中，其中, 11a，且当 n2 时，1211nnnaaa，求通项公式na。解将1211nnnaaa两边取倒数得：2111nnaa，这说明1na是一个等差数列，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页名师精编优秀资料首项是111a，公差为2，所以122)1(11nnan，即121nan. 五、待定系数法例已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式123 5nnnaa转化为1152(5 )nnnnaa，从而可知数列5 nna是等比数列，进而求出数列5 nna的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。例已知数列na满足1135241nnnaaa，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式13524nnnaa转化为115 223(5 22)nnnnaa，从而可知数列522nna是等比数列，进而求出数列5 22nna的通项公式，最后再求数列na的通项公式。六、对数变换法例已知数列na满足512 3nnnaa，17a，求数列na的通项公式。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式512 3nnnaa转化为1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列lg 3lg 3lg 2lg4164nan是等比数列，进而求出数列lg 3lg 3lg 2lg4164nan的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。七、迭代法例已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，求数列na的通项公式。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)21nnnnaa两边取常用对数得1lg3(1) 2lgnnnana，即1lg3(1)2lgnnnana，再由累乘法可推知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页名师精编优秀资料(1)123! 213211221lglglglglglglg5lglglglgn nnnnnnnnaaaaaaaaaa，从而1(1)3! 225nn nnna。八、数学归纳法例已知数列na满足11228(1)8(21) (23)9nnnaaann，求数列na的通项公式。解：由1228(1)(21) (23)nnnaann及189a，得。 。 。 。 。 。由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n时，212(2 1 1)18(2 1 1)9a，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，1228(1)(21) (23)kkkaakk。 。 。 。 。 。由此可知，当1nk时等式也成立。根据（ 1） ， （2）可知，等式对任何*nN都成立。九、换元法例已知数列na满足111(14124)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令124nnba，则21(1)24nnab故2111(1)24nnab，代入11(14124)16nnnaaa得。 。 。 。 。 。即2214(3)nnbb因为1240nnba，故111240nnba则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页名师精编优秀资料所以3nb是以1131243124 132ba为首项，以21为公比的等比数列，因此121132()()22nnnb，则21()32nnb，即21124()32nna，得2 111()()3 423nnna。十、构造等差、等比数列法qpaann 1； nnnqpaa1； )(1nfpaann； nnnaqapa12. 例已知数列na中，32, 111nnaaa，求数列na的通项公式 . 【解析】) 3(231nnaa.3224311nnnnaa【反思归纳】递推关系形如“qpaann 1” 适用于待定系数法或特征根法：令)(1nnapa； 在qpaann 1中令pqxxaann11，)(1xapxann；由qpaann 1得qpaann1，)(11nnnnaapaa. 例已知数列na中，nnnaaa32, 111，求数列na的通项公式 . 【解析】nnnaa321，nnnnnaa)23(2211，令nnnba12112211)()()(bbbbbbbbnnnnn2)23(2nnnna23【反思归纳】递推关系形如“nnnqpaa1”通过适当变形可转化为：“qpaann 1”或“nnnnfaa)(1求解 . 十一、不动点法例已知数列na满足1172223nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令7223xxx，得22420 xx，则1x是函数31( )47xf xx的不动点。因为17255112323nnnnnaaaaa，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页名师精编优秀资料2 111()()3 423nnna。评注：本题解题的关键是通过将124na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列3nb为等比数列， 进而求出数列3nb的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。四、数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2) 1(2)(112、等比数列求和公式：) 1(11)1() 1(111qqqaaqqaqnaSnnn前 n个正整数的和2)1(321nnn前 n个正整数的平方和6)12)(1(3212222nnnn前 n个正整数的立方和233332)1(321nnn公式法求和注意事项（1）弄准求和项数 n 的值；（2）等比数列公比 q未知时，运用前 n项和公式要分类。例已知3log1log23x，求nxxxx32的前 n 项和 . 例设 Sn1+2+3+n，nN*,求1)32()(nnSnSnf的最大值 . 1)32()(nnSnSnfnn6434150)8(12nn501 当88n，即 n8 时，501)(maxnf二、错位相减法求和这种方法主要用于求数列anbn的前 n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列 .求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页名师精编优秀资料然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。例： （2009 全国卷理 ）在数列na中，11111,(1)2nnnnaaan（I ）设nnabn，求数列nb的通项公式（ II ）求数列na的前n项和nS分析 ： （I ）由已知有1112nnnaann112nnnbb利用累差迭加即可求出数列nb的通项公式 : 1122nnb(*nN) （II ）由（ I ）知122nnnan,nS=11(2)2nkkkk111(2 )2nnkkkkk而1(2 )(1)nkkn n, 又112nkkk是一个典型的错位相减法模型，易得1112422nknkknnS=(1)n n1242nn三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1naa.例求证：nnnnnnnCnCCC2) 1() 12(53210证明：设nnnnnnCnCCCS) 12(532100113) 12()12(nnnnnnnCCCnCnSnnnS2) 1(四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例7 求数列的前n 项和：231,71,41, 1112naaan， 解：设)231()71()41()11 (12naaaSnn)23741 ()1111 (12naaaSnn当 a1 时，2)13(nnnSn2)13(nn当1a时，2) 13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页名师精编优秀资料例： （2010 全国卷 2 文） （18） （本小题满分12 分）已知na是各项均为正数的等比数列，且1212112()aaaa，34534511164()aaaaaa（）求na的通项公式；（）设21()nnnbaa，求数列nb的前n项和nT。五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)() 1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）)2)(1(1) 1(121)2)(1(1nnnnnnnan例求数列,11,321,211nn的前 n 项和 . 例在数列 an 中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列 bn的前n项的和 . 六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此， 在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例数列 an：nnnaaaaaa12321, 2, 3, 1，求 S2002. 例在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值 . 七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法. 例求11111111111个n之和 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页