2022年数学分析三试卷及答案 .pdf

数学分析 ( 三)参考答案及评分标准一. 计算题（共 8 题，每题 9 分，共 72 分） 。1.求函数3311( , )sinsinfx yxyyx在点(0,0) 处的二次极限与二重极限. 解：333311( , )sinsinf x yxyxyyx， 因此二重极限为 0 . (4 分) 因为33011limsinsinxxyyx与33011limsinsinyxyyx均不存在，故二次极限均不存在。(9 分) 2.设( ),( )yy xzz x是由方程组(),( , , )0zxf xyF x y z所确定的隐函数 , 其中f和 F 分别具有连续的导数和偏导数 , 求dzdx. 解： 对两方程分别关于x求偏导 : ，(4 分) 。解此方程组并整理得()()()()yyxyzFf xyxfxy FFdzdxFxfxy F. (9 分) 3.取,为新自变量及( , )wwv为新函数，变换方程222zzzzxx yx。设,22yxyxywze（假设出现的导数皆连续）. 解：z看成是, x y的复合函数如下：,( , ),22ywxyxyzwwe。 (4 分) 代人原方程，并将, ,x y z变换为, ,w 。整理得：2222www。(9 分) 4.要做一个容积为31m的有盖圆桶 , 什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r, 高为 h, 则原问题即为： 求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数 : 222Srhr表, ()()(1)0 xyzdzdyf xyxfxydxdxdydzFFFdxdx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 约束条件 : 21r h。 (3 分) 构造 Lagrange 函数：22( , ,)22(1)F r hrhrr h。令22420,20.rhFhrrhFrr(6 分) 解得2hr ，故有3314,.2rh由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为31,2r高为34h时，制作圆桶用料最省。 (9 分) 5.设322( )yx yyFyedx, 计算( )Fy. 解：由含参积分的求导公式332222322222( )32yyx yx yx yx yxyxyyyyFyedxx edxy eye(5 分) 327522232yx yyyyx edxy eye375222751222yyyx yyy eyeedxy。(9 分) 6.求曲线222222xyxyabc所围的面积，其中常数, ,0a b c. 解：利用坐标变换cos ,sin .xayb由于0 xy，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。2,0,0sincos2abc。(3 分) 则( , )2( , )x yVdd122sincos2002abcdab d(6 分)22220sincosa bdc2222a bc. (9 分)7. 计 算 曲线 积 分352Lzdxxdyydz , 其 中 L 是 圆 柱 面221xy与 平 面3zy的交线（为一椭圆），从z轴的正向看去，是逆时针方向. 解： 取平面3zy上由曲线 L 所围的部分作为Stokes 公式中的曲面，定向为上侧，则的法向量为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 11cos ,cos,cos0,22。(3 分) 由 Stokes 公式得352Lzdxxdyydzcoscoscos352dSxyzzxy2dS(6 分) 22122xydxdy2(9 分) 8. 计算积分Syzdzdx, S为椭球2222221xyzabc的上半部分的下侧 . 解：椭球的参数方程为sincos ,sinsin,cosxaybzc，其中02 ,0,2且2( , )sinsin( , )z xac。(3 分) 积分方向向下，取负号，因此，yzdzdx2232200sincos sindbacd(6 分)2223200sinsincosbacdd24abc(9 分) 二. 证明题（共 3 题，共 28 分） 。9. （9 分）讨论函数3222422,0( )0,0 xyxyxyf xxy在原点(0,0) 处的连续性、可偏导性和可微性 . 解：连续性：当220 xy时，2242424( )022xyxyyyf xyxyxy，当,0,0 x y，从而函数在原点0,0 处连续。(3 分) 可偏导性：00,00,00,0lim0 xxfxffx，0,0yf00,00,0lim0yfyfy，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 即函数在原点0,0 处可偏导。(5 分) 可微性：22223242222001limlimxyxyxyffxfyx yxyxyxy不存在，从而函数在原点0,0 处不可微。(9 分) 10. （9 分） （9 分） 设,F x y 满足：（1）在00,Dx yxxayyb上连续，（2）00,0F xy，（3）当x固定时，函数,F x y 是 y 的严格单减函数。试证：存在0，使得在0 xxx上通过,0F x y定义了一个函数( )yy x，且( )yy x在上连续。证明： （i ）先证隐函数的存在性。由条件（3）知，0,F xy 在00,yb yb 上是 y 的严格单减函数，而由条件（ 2）知00,0F xy，从而由函数0,F xy 的连续性得00,0F xyb，00,0F xyb。现考虑一元连续函数0,F x yb 。由于00,0F xyb，则必存在10使得0,0F x yb，x01(,)O x。同理，则必存在20使得0,0F x yb，x02(,)O x。取12min(,)，则在邻域0(,)O x内同时成立0,0F x yb，0,0F x yb。(3分) 于是，对邻域0(,)O x内的任意一点x，都成立0,0Fx yb，0,0Fx yb。固定此x，考虑一元连续函数,Fx y。由上式和函数,Fx y关于 y 的连续性可知，存在,Fx y的零点00,yyb yb 使得,F x y0。而,Fx y关于 y 严格单减，从而使,Fx y0 的y是唯一的。再由x的任意性，证明了对:0(, )O x内任意一点，总能从,0F x y找到唯一确定的 y 与x相对应，即存在函数关系:fxy或( )yfx。此证明了隐函数的存在性。(6 分) （ii ）下证隐函数( )yfx的连续性。设*x是:0(, )O x内的任意一点，记*:yfx。对任意给定的0，作两平行线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - *yy，*yy。由上述证明知*,0F xy，*,0F xy。由,F x y 的连续性，必存在*x的邻域*(,)O x使得*,0F x y，*,0F x y，*(,)xO x。对任意的*(, )xO x，固定此x并考虑 y 的函数,F x y ，它关于 y严格单减且*,0F x y，*,0F x y。于是在*,yy内存在唯一的一个零点y使,0F x y，即 对任意的*(, )xO x，它对应的函数值y 满足*yy。这证明了函数( )yf x是连续的。 (9 分) 11. （10分）判断积分1011sindxxx在 02上是否一致收敛，并给出证明。证明： 此积分在 02上非一致收敛。证明如下：作变量替换1xt，则1201111sinsindxtdtxxt。(3 分) 不论正整数n多么大，当3,2,244tAAnn时，恒有2sin2t。 (5 分) 因此，22121sin2AAAAtdtdttt(7 分) 2214tAt2220434 24n，当2时。因此原积分在 02上非一致收敛。(10 分) 注：不能用 Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 尽管对任意的1B积分1sinBtdt一致有界，且函数21t关于x单调，但是当x时，21t关于0,2 并非一致趋于零。事实上，取,tn相应地取12n，则112111limlim10limtnnnntnn，并非趋于零。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -