2022年抽象函数练习题教师版 .pdf

第 1 页 共 6 页抽象函数练习题教师版1. 对任意实数x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且 f(1)0,则 f(2001)=_. 解析 :这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：,)1( 2)()1(, 1,2fnfnfynx得令令 x=0,y=1, 得 f(0+12)=f(0)+2f(1)2, 令 x=y=0,得： f(0)=0, f(1)=21,.22001)2001(f,2n)n(f,21f(n)-1)f(n故即2. 已知f(x) 是定义在R 上的函数，f(1)=1, 且对任意x R 都有f(x+5) f(x)+5,f(x+1) f(x)+1. 若g(x)=f(x)+1-x, 则 g(2002)=_.1 解:由 g(x)=f(x)+1-x, 得 f(x)=g(x)+x-1. 而 f(x+5) f(x)+5 ，所以 g(x+5)+(x+5)-1 g(x)+x-1+5 , 又 f(x+1) f(x)+1 ，所以g(x+1)+(x+1)-1 g(x)+x-1+1 即g(x+5)g(x), g(x+1) g(x). 所以 g(x) g(x+5) g(x+4) g(x+3) g(x+2) g(x+1), 故 g(x)=g(x+1) 又 g(1)=1, 故 g(2002)=1. 3.f(x) 的定义域为(0,)，对任意正实数x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) 且 f(4)=2 ，则( 2)f（124，.的值是则且如果)2000()2001()5()6()3()4() 1()2(,2) 1(),()()(fffffffffyfxfyxf。20002(1)(2)(1)fff222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)fffffffff.( ()2nfn,原式 =16) 5、对任意整数yx,函数)( xfy满足：1)()()(xyyfxfyxf，若1) 1(f，则)8(fC A.-1 B.1 C. 19 D. 43 6、函数 f(x) 为 R 上的偶函数，对xR 都有(6)( )(3)f xf xf成立，若(1) 2f，则(2005)f=（） （B）A . 2005 B. 2 C.1 D.0 7，设函数 f(x) 定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21xx, 使得)()(21xfxf，求函数 f(x) 的值域。解：令 x=y=0，有 f(0)=0或 f(0)=1 。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21xx，使得)()(21xfxf成立矛盾，故 f(0)0，必有 f(0)=1。由于 f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y 均成立，因此，0)2()(2xfxf , 又因为若 f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与 f(0) 0 矛盾 ,所以 f(x)0. 8，设对满足x0,x 1 的所有实数x，函数 f(x)满足,xxxfxf11 , 求 f(x)的解析式。解:(1)1),x0(xx1)x1x(f)x(f且- ,12)11()1(:x1-xxxxfxxfx得代换用（2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 6 页:)1(x-11得中的代换再以x.12)()x-11f(xxxf-（3）1)x0(xx2x21xx)x(f :2)2()3()1(223且得由9，已知 f(x) 是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x). 解:易知 f(x) 是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1. 小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。10，已知)( xf是定义在 R上的偶函数， 且)21()23(xfxf恒成立， 当3,2x时，xxf)(，则当)0,2(x时，函数)(xf的解析式为（D ）A2xB4xC12xD13x解：易知 T=2，当)1,2(x时,3,24x, )(4)4(xfxxf; 当)0,1(x时3,22x, )()(2)2(xfxfxxf. 故选 D。11，.232|)x(f:|,x)x1(f2)x(f),)x(f ,x()x(fy求证且为实数即是实数函数设解:02)x(xf3 x,x1)x(f2)x1(f,xx12与已知得得代换用，.232|)x(f |,024)x(9f02得由12，已知定义域为R 的函数 f(x) 满足 f(f(x)-x2+x)= f(x)-x2+x.（）若 f(2)=3，求 f(1)；又若 f(0)=a，求 f(a)；（）设有且仅有一个实数x0，使得 f(x0)=x0，求函数 f(x)的解 析表达式。22222222(),() -)()( 2 )-22 )( 2 )22( 2 )3,(3- 22322 ,(1)1( 0 ),(00 )00 ,()IxRffxxxfxxxfffffffafaafaa解：因为对任意有所以又由得）即若则即22000202000002000000220( II)()().(),()()()0()0()xRffxxxfxxxxfxxxRfxxxxxxfxxxxfxxxxxxxfxxxfxxx因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有再代，得，故= 0 或= 1若= 0 ，则，即2022020()1,()1.()1 ()xxxxxfxxxfxxxfxxxxR但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故若= 1 ，则有即易验证该函数满足题设条件。综上，所求函数为13，函数 f( x) 对一切实数x,y 均有 f( x+y)- f(y)=( x+2y+1) x成立，且f(1)=0 ，（1）求(0)f的值；（2）对任意的11(0,)2x，21(0,)2x，都有 f( x1)+20 时，f(x)1,且对于任意实数x、y，有 f(x+y)=f(x)f(y)， 求证：f(x) 在 R上为增函数。证明：设R上 x11 ，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1)，因为 f(x1)的正负还没确定) 。取 x=y=0 得 f(0)=0或 f(0)=1;若 f（0）=0,令 x0,y=0 ， 则 f(x)=0与 x0 时，f(x)1矛盾，所以 f(0)=1，x0 时，f(x)10,x0 ，f(-x)1,由0)(1)(1)()()0(xfxfxfxff得，故 f(x)0，从而 f(x2)f(x1). 即 f(x)在 R上是增函数。（注意与例4 的解答相比较，体会解答的灵活性）15 ， 已 知 偶 函 数f( x) 的 定 义 域 是x 0的 一 切 实 数 ， 对 定 义 域 内 的 任 意x1,x2都 有1212()()()fxxfxfx，且当1x时()0,(2)1fxf，（1）f( x) 在(0,+ ) 上是增函数；（2）解不等式2(21)2fx解： （1）设210 xx，则221111()()()()xfxfxfxfxx221111()()()()xxfxffxfxx210 xx，211xx，21()xfx0 ，即21()()0fxfx，21()()fxfx()fx在(0,)上是增函数（ 2）(2)1f，(4 )(2)( 2 )2fff，()fx是偶函数不等式2(21)2fx可化为2(|21|)(4)fxf， 又函数在(0,)上是增函数， 02|21|4x， 解得：10102|222xxx且16， 已知函数 f(x)的定义域为R， 且对 m、 nR,恒有 f(m+n)=f(m)+ f(n)1,且 f(21)=0,当 x21时， f(x)0.求证： f(x)是单调递增函数；证明：设 x1x2,则 x2x12121,由题意 f(x2x121)0, f(x2)f(x1)=f (x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f(21)1=f (x2x1)210, f(x) 是单调递增函数.17，定义在 R+上的函数 f(x) 满足: 对任意实数m,f(xm)=mf(x);f(2)=1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 6 页)293()3xxxf(1)求证 :f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立 ; (2)证明 f(x) 是 R+上的单调增函数; (3)若 f(x)+f(x-3) 2,求 x 的取值范围 . 解:(1)令 x=2m,y=2n,其中 m,n 为实数 ,则 f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n. 又 f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n, 所以 f(xy)=f(x)+f(y) ,2x,2xnm,xx0:)2(n2m121且使可令设证明0nm)2(f )nm()2(f)xx(f)x(f)x(f)1(nm2121得由故 f(x1)f(x2),即 f(x) 是 R+上的增函数 . (3)由 f(x)+f(x-3) 2 及 f(x) 的性质 , 得 fx(x-3) 2f(2)=f(2)，解得30可得 f(a)f(b).122k）20，已知 y=f (2 x+1)是偶函数，则函数y=f(2 x) 的图象的对称轴是（ D ）A. x=1 B. x=2 C.x=21D.x=21解析： f(2x+1) 关于 x=0 对称 , 则 f(x)关于 x=1 对称, 故 f(2x)关于 2x=1 对称 . 21，定义在 R 上的单调函数f( x) 满足 f(3)= log23 且对任意x，yR都有 f(x+y)= f( x)+ f(y) (1) 求证 f( x) 为奇函数；(2) 若 f( k3x)+ f(3x-9x-2) 0 对任意 xR 恒成立，求实数k 的取值范围(1)证明： f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)- 令 y=-x，代入式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令 x=y=0 ，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0) ，即 f(0)=0 即 f(-x)=-f(x) 对任意 xR 成立， f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log230，即 f(3) f(0) ，又 f(x) 在 R 上是单调函数，所以f(x) 在 R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数 f(k 3x) -f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)，k3x-3x+9x+2，babfaf)()(2231124010,24)2()2()2(2)(12,)2(2)(101,0)()()(,0)()(0)(),1(0)()1 ,0()0()(,0)1()3()4,0(2)()2(0)1()1(22222bbbbabbababbafbafbfabbabafbfbaababfbfafbabfafxfxxfxxffxff又而即且又时，时，上单调递增，在的解集为解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 6 页32 x-(1+k) 3x+20 对任意 xR 成立令 t=3x0，即 t2-(1+k)t+20 对任意 t 0 恒成立221( )(1)2,2101(0 )20,20,100,( )02(1)80122令其 对 称 轴当即时 ，符 合 题 意 ；1 +k当时2对 任 意恒 成 立解 得 - 1kfttktxkkfktftkk故：31 2 2(3 )(392)0时，xxkf kf对任意 xR 恒成立。说明： 问题 (2) 的上述解法是根据函数的性质f(x) 是奇函数且在xR上是增函数， 把问题转化成二次函数 f(t)=t2-(1+k)t+2对于任意 t 0 恒成立对二次函数f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由k3x-3x+9x+2 得, 1221323,1323xxxxuk而要使对xR不等式231.3xxk恒成立，只需k 0 ，恒有f (x + T ) = f (x) ，则在区间 0，2T上，方程f (x) = 0根的个数最小值为（）CA. 3 个 B.4个 C.5个 D.6个解：f (0) = 0 x1= 0，又f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0 x2 = T，x3 = 2T. 又因为22TxfTxf令x = 0 得222TfTfTf, 232TfTf=0.( 本题易错选为A) 25，f(x)满足 f(x) =-f(6-x) ，f(x)= f(2-x) ，若 f(a) =-f(2000) ，a5，9且 f(x) 在5，9上单调。求 a 的值。解：f(x)=-f(6-x) f(x)关于（ 3，0）对称又f(x)= f(2-x) f(x)关于 x=1 对称T=8 f(2000)= f(0) 又 f(a) =-f(2000) f(a)=-f(0) 又 f(x) =-f(6-x) f(0)=-f(6) f(a)=f(6) a =6 26，函数)1( xfy是偶函数，则)( xfy的图象关于x=1 对称。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 6 页27，函数)( xfy满足)(1)3(xfxf，且1)3(f，则)2010(f-1 。28，（ 09 山东）已知定义在R 上的奇函数)( xf，满足(4)()fxfx,且在区间 0,2上是增函数 ,若方程 f(x)=m(m0) 在区间8,8上有四个不同的根1234,xxxx,则1234_.xxxx-8 29，设定义在R 上的函数 f(x), 满足当 x0 时,f(x)1, 且对任意x,yR,有 f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2 .1)2(f)3x(f21)x(f)2( ;,4)xx3(f)1(22解方程解不等式解:(1)先证 f(x)0, 且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x0时 f(x)1, 所以 f(0)=1. 则使假设存在某个又,0)x(f,Rx,0)2x(f )2x2x(f)x(foo2f(x)=f(x-xo)+xo=f(x-xo)f(xo)=0, 与已知矛盾，故f(x)0, 任取 x1,x2R 且 x10,f(x2-x1)1,所以 f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-f(x1) =f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10. 所以 xR 时,f(x) 为增函数 . 解得 :x|1x0. 求证 :( ) f(x) 是奇函数；（）).31(f)5n5n1(f)191(f)111(f2解:(1) 易证 f(x) 是奇函数。（2）易证 f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数. )3n)(2n(11)3n)(2n(1f)1)3n)(2n(1(f)5n5n1(f2又)3n1(f)2n1(f)3n1(2n11)3n1(2n1f)3n1(f)31(f)51(f)41(f )41(f)31(f )5n5n1(f)191(f)111(f2命题成立又).31(f)3n1(f)31(f,0)3n1(f名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -